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2022届山东省高三数学二轮复习专题训练08:数列(含答案解析)

1、专题08:数列一、单选题1(2022山东菏泽二模)已知数列中,且对任意的m,都有,则下列选项正确的是()A的值随n的变化而变化BC若,则D为递增数列2(2022山东济南二模)已知数列,其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数;接下来两项是分子与分母之和为3的有理数,并且从大到小排列;再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数,并且从大到小排列,依次类推.此数列第n项记为,则满足且的n的最小值为()A47B48C57D58二、多选题3(2022山东潍坊二模)已知数列,有,则()A若存在,则B若,则存在大于2的正整数n,使得C若,且,则D若,则关于的方程的所有实数根可构

2、成一个等差数列4(2022山东烟台市教育科学研究院二模)给出构造数列的一种方法:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现自1,1起进行构造,第1次得到数列1,2,1,第2次得到数列1,3,2,3,1,第次得到数列,记,数列的前n项和为,则()ABC D5(2022山东日照二模)已知数列满足,则下列说法正确的有()ABC若,则D6(2022山东济宁二模)已知一组数据,是公差不为0的等差数列,若去掉数据,则()A中位数不变B平均数变小C方差变大D方差变小三、填空题7(2022山东聊城二模)已知数列,当时,则数列的前项的和为_8(2022山东

3、青岛二模)将等差数列中的项排成如下数阵,已知该数阵第n行共有个数,若,且该数阵中第5行第6列的数为42,则_.a1a2a3a4a5a6a79(2022山东泰安二模)已知数列是公差大于0的等差数列,且,成等比数列,则_10(2022山东济宁二模)已知数列满足:,且,其中.若,则使得成立的最小正整数m为_.11(2022山东德州市教育科学研究院二模)十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础,著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间0,1均分为三段,去掉中间的区间段,记为第1次操作;再将剩下的两个区间,分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,

4、记为第2次操作;每次操作都在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段:操作过程不断地进行下去,剩下的区间集合即是“康托三分集”,第三次操作后,依次从左到右第三个区间为_,若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于,则需要操作的次数n的最小值为_(,)12(2022山东滨州二模)某资料室在计算机使用中,出现如表所示的以一定规则排列的编码,表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的,此表中,主对角线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,的通项公式为_,编码99共出现_次1111111234561357911147101316159131721161116212

5、6四、解答题13(2022山东潍坊二模)已知正项数列的前n项和为,且,数列满足(1)求数列的前n项和,并证明,是等差数列;(2)设,求数列的前n项和14(2022山东聊城二模)已知数列的前项和为,且()(1)求数列的通项公式:(2)若数列满足,求数列的前项和15(2022山东青岛二模)已知等比数列为递增数列,是与的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)若项数为n的数列满足:(,2,3,n)我们称其为n项的“对称数列”.例如:数列1,2,2,1为4项的“对称数列”;数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”,其中,是公差为2的等差数列,数列的最大项等于.记数列的前项和

6、为,若,求k.16(2022山东烟台市教育科学研究院二模)已知正项数列的前项和为,且、成等比数列,其中(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和17(2022山东菏泽二模)已知数列中,它的前n项和满足(1)证明:数列为等比数列;(2)求18(2022山东德州市教育科学研究院二模)已知数列的首项,且满足(1)证明是等比数列,并求数列的通项公式;(2)记,求的前n项和19(2022山东临沂二模)已知数列的前n项和为,(1)求的通项公式;(2)记,求数列的前n项和20(2022山东日照二模)已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.求的通项公式;从中依次取出第项,第项,第项,, 第项,按照

7、原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项?并说明理由.21(2022山东滨州二模)已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中,(1)求数列和的通项公式;(2)令,抽去数列的第3项、第6项、第9项、第3n项、余下的项的顺序不变,构成一个新数列,求数列的前n项和22(2022山东济南二模)已知是递增的等差数列,分别为等比数列的前三项.(1)求数列和的通项公式;(2)删去数列中的第项(其中 ),将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,求数列的前n项和.23(2022山东泰安二模)已知数列单调递增,其前n项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和为24(2022山东济宁二模)已知

8、数列满足,(1)设,证明:数列为等差数列;(2)求数列的前2n项和.参考答案1D【分析】令,得,故A不正确;再根据等差数列的通项公式和求和公式可判断BCD.【详解】因为对任意的m,都有,所以令,得,故A不正确;所以,所以,所以B不正确;若,则,故C不正确;,所以为递增数列,故D正确.故选:D.2C【分析】将数列的项分组,设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上,由此列式,求得,结合,即可求得答案.【详解】将数列分组为(),(,),(,),(,),设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上,则 ,此时数列共有项数为 ,即得,解得 由于 ,而,故 ,又,故符合条件的m,的最小值为11,则满足且的

9、n的最小值为 ,故选:C【点睛】本题综合考查了数列的相关知识,解答时要明确数列的项的规律特点,分组,从而列出相应的等式或不等式关系,这是解题的关键所在.3ACD【分析】根据题意,证明得到时,且,再逐个选项进行计算和证明,逐个选项判断即可求解.【详解】因为,所以,即,所以,必有,得到;对于A,若存在,取,有,则,所以,必有,则有,同理,若,由可得故A正确;对于B,若,则,又因为,必有,得到,所以当时,因为,必有,故B错;对于C,若,且,则,则,又,所以,根据递推公式,可得,;利用累加法,整理得,又因为,必有,得到,所以,所以,所以,C正确;对于D,若,得到,所以,则关于的方程可以化为,化简得,设

10、,可得,化简得,所以,或(舍去),得,写成数列形式,即所有实数根可构成一个等差数列,其通项公式为:,故D正确;故选:ACD4CD【分析】通过计算求出的值,运用归纳法得到之间的关系,最后根据等比数列的定义和前n项和公式进行求解判断即可.【详解】由题意得:,所以有,因此选项AB不正确;,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,因此有,因此选项C正确;,所以选项D正确,故选:CD【点睛】关键点睛:通过计算得到是解题的关键.5BCD【分析】直接计算出即可判断A选项;构造函数函数,由,得到,进而判断B选项;由得到,再结合累乘法得到,按照等比数列求和公式即可判断C选项;构造函数,由得到,结合累乘法求得,按照

11、等比数列求和公式即可判断D选项.【详解】,则,又,所以,A不正确.令函数,则,则在上单调递减,在上单调递增,即,又易得是递增数列,故,所以,B正确.易知是递增数列,所以,则,则,即,所以,即,所以,所以,而当时,则有,C正确.令函数,则,所以在上单调递减,所以当时,则,所以,所以,D正确.故选:BCD.【点睛】本题关键点在于B选项通过构造函数进行放缩得到,结合即可判断;C选项由放缩得到,D选项构造函数得到,再结合累乘法和求和公式进行判断.6AC【分析】由中位数的概念可判断A,根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B,由方差计算公式即可判断CD.【详解】对于选项A,原数据的中位数为,去掉后的中位

12、数为,即中位数没变,故选项A正确;对于选项B,原数据的平均数为,去掉后的平均数为即平均数不变,故选项B错误:对于选项C,则原数据的方差为,去掉后的方差为,故,即方差变大,故选项C正确,选项D错误.故选:AC.7【分析】分别取、时,满足的项数,计算得出,利用错位相减法可求得数列的前项的和.【详解】当时,共项,当时,共项,当时,共项,当时,共项,又因为,所以,数列的前项的和为,记,则,上述两个等式作差可得,所以,因此,数列的前项的和为.故答案为:.8【分析】利用等比数列前项和公式确定42为数列中的第几项,可以求出公差,从而确定等差数列的通项公式.【详解】解:设公差为,因为该数阵第n行共有个数,则前

13、4行共有个数,所以第5行第6列数为,则,所以故答案为:920【分析】先利用解出公差,再通过等差数列计算即可.【详解】设公差为,则,即,化简得,解得或,又,故,则.故答案为:20.10121【分析】先求导,根据,得到,进而求得,得到,利用裂项相消法求解.【详解】解:因为,所以,因为,所以,即,所以是以1为首项,以1为公差的等差数列,所以,则,所以,则,因为,所以,解得,所以使得成立的最小正整数m为121故答案为:12111 ; .【分析】先根据题意把第次操作所去掉的长度和求出来,然后再求和即可得到前次操作所去掉的长度,再建立不等式即可求出的最小值.【详解】第一次操作去掉了区间长度的,剩下的区间:

14、,第二次去掉个长度为的区间,即长度和为,剩下的区间:,第三次去掉个长度为的区间,即长度和为,剩下的区间:, .以此类推,第次将去掉个长度为的区间,即长度和为,则的前项和可表示为 由题意知,两边同时取对数,即,解得: 故答案为:;.12 6【分析】观察表中形成的数列,第二项比第一项大1,第三相比第二项大3,第四相比第三项大5,第五相比第四项大7,依此类推,后一项与前一项的差形成一个公差为2的等差数列,用叠加法可求解第一空;观察可得第行的第个数为,令,则,解出满足条件的m,n即可求解第二个空.【详解】解:设主对角线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,为,因为,将以上个式子相加,可得;由编码观

15、察可得,第行是首项为1,公差为的等差数列,则第行的第个数为,令,则,所以,或,或,或,或,或,所以99共出现6次故答案为:;6.13(1),证明见解析;(2)【分析】(1)利用求出数列的通项公式,从而求出,从而求出.证明即可证明,是等差数列;(2)根据通项公式的特征,分n为奇数和偶数讨论其前n项和(1),当时,或(舍),当时,:,是以2为首项,2为公差的等差数列,数列是首项为2,公比为2的等比数列,成等差数列;(2),当n为偶数时,当n为奇数时,综上可知14(1);(2).【分析】(1)利用与的关系可得,进而即得;(2)利用分组求和法即得.(1)当时,当时,又,数列为首项为1,公比为3的等比数

16、列,;(2)由及,可得,.15(1)(2)或【分析】(1)设数列的公比为q,根据等差中项的性质,结合等比数列的基本量列式求解即可;(2)先确定,进而根据等差数列的通项公式得出,再根据等差数列前项和的公式结合求解即可(1)设数列的公比为q,由题意知:,所以,解得或(舍),所以.(2)由题知:,是以8为末项,2为公差的等差数列,所以,解得,所以,所以所以,即,解得或.16(1)(2)【分析】(1)由已知可得,令可求得的值,令,由可得,两式作差推导出数列为等差数列,确定该数列的首项和公差,利用等差数列的通项公式可求得的通项公式;(2)求出,可求得,利用分组求和法结合裂项相消法可求得.(1)解:对任意

17、的,由题意可得.当时,则,解得,当时,由可得,上述两个等式作差得,即,因为,所以,所以,数列为等差数列,且首项为,公差为,则.(2)解:,则,因此,.17(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据已知等式构造一个等式,两式相减,得,再变为即可得解;(2)利用分组求和法和等比数列的求和公式可求出结果.(1)由,得,由,得,得,又当时,由得,所以对任意的,都有,故是以为首项,为公比的等比数列(2)由(1)知,所以,代入,得,所以18(1)证明见解析; (2)【分析】(1)对于两边取倒数,可推得,结合等比数列的通项公式,求得答案;(2)由(1)求得的表达式,利用错位相减法,即可求得答案.(1)由题意得

18、,所以,即是等比数列,则的首项为,公比为3,所以,所以(2)由(1)得:,所以,得,所以.19(1).(2).【分析】(1)根据题中给出得递推关系式,以及,即可求解数列的通项公式;(2)将数列的通项公式带入数列,进行化简,利用错位相减法进行求解.(1)由得,.又,整理得.数列是首项为1,公比为2的等比数列,数列的通项公式为:.(2)由(1)得,.,即,两式相减,得,.20;是数列中的项,理由见解析.【分析】设等差数列的公差为,由题意可知与的等差中项为,利用等差数列的定义列出式子求出公差为,进而列出的通项公式;写出,将代入验证即可.【详解】解:设等差数列的公差为,根据等差中项的性质可得与的等差中

19、项为,所以,又因为,即.所以,因为公差为正数,所以.则,则.的通项公式.结合可知,.令,即,符合题意,即.所以是数列中的项.【点睛】本题考查等差数列的定义,通项公式的求法,考查推理能力,属于基础题.21(1),;(2)【分析】(1)由题意,列出关于公差与公比的方程组,求解方程组,然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案;(2)由(1)可得,然后分和进行讨论,利用分组求和法及等比数列的前n项和公式即可求解.(1)解:由题意,整理得,解得或,因为公比,所以,则,所以,;(2)解:由(1)可得,当时,当时,综上,.22(1),(2)【分析】(1)根据题意可列出方程组,求得等差数列的公差,继而求得等

20、比数列的首项和公比,即得答案;(2)删去数列中的第项(其中 )后,求和时讨论n的奇偶性,并且分组求和,即可求得答案.(1)设数列的公差为,数列的公比为q,由已知得,解得, ,所以;所以,所以.(2)由题意可知新数列为:,则当n为偶数时,则当n为奇数时,,综上: .23(1);(2)【分析】(1)先利用退位相减法得到,再结合等差数列的定义及通项求解即可;(2)先得到,再利用错位相减法求出,即可求解.(1)因为,所以当时,所以当时,整理得,因为数列单调递增,且,所以当时,所以当时,即所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列所以(2),所以设,则,所以所以所以24(1)证明见解析;(2).【分析】(1)由已知得,根据递推关系可得,结合等差数列的定义即可证结论.(2)由题设可得,应用错位相减法求,即可得结果.(1)由题意,当时,所以,则是以1为公差,为首项的等差数列.(2)由题设,由(1)知:,则.其中,即,所以,两式相减得,所以,综上,.