1、专题：04导数一、单选题1（2022山东烟台市教育科学研究院二模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）ABCD2（2022山东烟台市教育科学研究院二模）声音是由物体振动产生的我们平时听到的声音几乎都是复合音复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音已知刻画某声音的函数为，则其部分图象大致为（）ABCD3（2022山东德州市教育科学研究院二模）已知函数是偶函数，其导函数的图象见下图，且对恒成立，则下列说法正确的是（）ABCD4（2022山东日照二模）曲线在处的切线的倾斜角为，则的值
2、为（）ABCD5（2022山东聊城二模）实数，满足：，则的最小值为（）A0BCD86（2022山东潍坊二模）已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是()A若直线l是曲线的切线，则B若直线l与曲线无公共点，则C若，则点P到直线l的最短距离为D若，当点P到直线l的距离最短时，二、多选题7（2022山东烟台市教育科学研究院二模）已知、，且，则（）ABCD8（2022山东德州市教育科学研究院二模）若函数存在两个极值点 ，则（）A函数至少有一个零点B或CD9（2022山东泰安二模）已知函数，则下列结论正确的是（）A对任意的，存在，使得B若是的极值点，则在上单调递减C函数的最大值为D若有两个零点
3、，则三、解答题10（2022山东青岛二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若有两个不同的零点，为其极值点，证明：.11（2022山东烟台市教育科学研究院二模）已知函数(1)设的导函数为，讨论零点的个数；(2)设的极值点为，若恒成立，求实数的取值范围12（2022山东菏泽二模）设函数(1)当时，恒成立，求k的最大值；(2)设数列的通项，证明：13（2022山东德州市教育科学研究院二模）已知函数，(1)当时，求图象在(，f()处的切线方程；(2)当时，求的极值；(3)若，为函数的导数，恒成立，求a的取值范围14（2022山东临沂二模）已知函数(1)若存在，使成立，求a的取值范围；(2)若，存在，
4、且当时，求证：15（2022山东日照二模）已知函数，其中.(1)当时，求的最小值；(2)讨论方程根的个数.16（2022山东滨州二模）已知函数(1)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；(2)设函数在上的最小值为a，求证：17（2022山东济南二模）已知函数，.(1)若曲线在点处的切线在y轴上的截距为，求a的值；(2)是否存在实数t，使得有且仅有一个实数a，当时，不等式恒成立？若存在，求出t，a的值；若不存在，说明理由.18（2022山东泰安二模）已知函数当m1时，曲线在点处的切线与直线xy10垂直(1)若的最小值是1，求m的值；(2)若，是函数图象上任意两点，设直线AB的斜率为k证明：方程在
5、上有唯一实数根19（2022山东济宁二模）已知函数.(1)若函数在上有极值，求在上所有极值的和；(2)若对任意恒成立，求正实数a的取值集合.20（2022山东聊城二模）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)为的导函数，记，证明：当时，函数有两个极值点.21（2022山东潍坊二模）已知函数(1)若，当时，求证：为单调递减函数；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围四、双空题22（2022山东济南二模）已知函数，则函数的最小值为_；若关于x的方程有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是_.参考答案：1C【分析】由已知条件可得出，可得出关于、的方程组，即可解得的值.【详解】设，则，直线的斜率为，由题意
6、可得，解得.故选：C.2C【分析】令，进而求导得，再讨论时，的符号得的单调区间与函数值的符号，进而得答案.【详解】解：令，求导得，所以，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；由于，所以，时，且单调区间变化不具有对称的性质，所以，只有C选项满足.故选：C3D【分析】利用函数的奇偶性与对称轴，将，移到同一个单调区间，由导函数图象确定原函数单调性，再利用函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】 又由导函数的图象得，当时，单调递增， 故选：D.4B【分析】根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，从而根据二倍角公式求
7、得结果.【详解】根据已知条件，因为曲线在处的切线的倾斜角为，所以，所以.因为，则解得，故.故选：B.5D【分析】由题设，将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求上与平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.【详解】由，则，又，的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，得：，与平行的直线的斜率为1，解得或（舍，可得切点为，切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，的最小值为：.故选：D.6D【分析】求f(x)导数，令求出可判断D；若直线l是曲线的切线，则再根据(，f()在l上即可求出t；当处切线与l平行时，P到l距离最短，求出P的坐标，利用点
8、到直线距离公式可求最短距离，据此可判断C；令，研究的图像，yt的图像和yg(x)图像无交点时直线l和曲线yf(x)无公共点，据此可求t的范围，从而判断B选项【详解】f(x)定义域为(0，)，若直线l是曲线的切线，则，代入得，故A错误；当t2时，当在点P处的切线平行于直线l时，P到切线直线l的最短距离，则，故D正确；此时，故P为，P到l：的距离为，故C错误；设，令，则，当时，单调递减，当，单调递增，又时，；时，若直线l与曲线无公共点，则t3，故B错误故选：D7ABD【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；构造函数，利用函数在上
9、的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，所以，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，B对；对于C选项，取，则，此时，C错；对于D选项，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，因为，则，D对.故选：ABD.8ACD【分析】对于A，只需将 代入验证即可，对于B，通过函数存在2个极值点转化为导函数有2个变号零点问题，从而转化为二次函数根的分布问题即可，对于C，利用B选项的条件即可推导；对于D，计算 ，构造函数 ，求函数 的最小值即可【详解】对于A， ， 是 的一个零点，故A正确对于B， 存在两个极值点 ， 有两个不相等的实数根，即 有两个变号零点
10、 ，即 ， 又， ，解得 综上， ，故B错误对于C，由B选项可得， ， ， ， 故C正确对于D， 将 代入上式 令 有 在 上单调递增， ，故D正确故选：ACD9BD【分析】先求导得，分和讨论函数的单调性及最值，依次判断4个选项即可.【详解】由题意知：，当时，单增，无最大值，故C错误；当时，在上，单增；在上，单减；故，当，即时，无零点，故A错误；若是的极值点，则，故在单减，B正确；若有两个零点，则，且，解得，又时，时，此时有两个零点，D正确.故选：BD.10(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导后，分和两情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，（2）由（1）可知函数的极
11、值点为，从而得，再由是函数 的两个不同的零点，可得，设 ，将问题转化为证，设 ，只需证明: ，构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可（1），当 时， 在 上为减函数；当 时，由 得: 在 上为增函数；由 得: 在 上为减函数（2）由 （1） 可知: 且当 时， 取极大值为 从而 的最大值为 为满足题意，必有，即，设 ， 则 ，当 时， ， 所以 在 上单调递增；当 时， ， 所以 在 上单调递减，所以 ， 从而 ， 是函数 的两个不同的零点，两式相减得: .设 ， 所以要证明: ，只需要证明: .即证明: ， 也就是证明: ，设 ， 下面就只需证明: ，设 ， 则 ， 在 上为增函数， 从而
12、 ， 成立， 从而 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是根据题意将问题转化为证明成立，令，再次将问题转化为，然后构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题11(1)时，存在两个零点；当或时，存在一个零点；当时，无零点.(2).【分析】（1）求出，再求出它的导数，按和分类讨论导函数的零点，正负，从而得的性质，结合零点存在定理得结论；（2）由（1）知有两个极值点时，的范围，极值点满足的等式，这两个式子相除并取对数得，由此恒成立的不等式变形得分离参数，令，换元后引入的函数，由导数求得的最小值
13、从而得所求范围.(1) 当时,，所以则上单调递减，当时，当时，由零点存在定理可得，此时存在唯一零点；当时，令，解得，故当时，单调递增，时，单调递减，所以.又当当时，当时，所以当，即时，由零点存在定理存在两个零点；当时，存在一个零点；当时，无零点.综上，时，存在两个零点；当或时，存在一个零点；当时，无零点.(2)由（1）知，的极值点是，即方程的两根，且，所以，两式相除并取对数得，由得所以，令，令则恒成立，令，则令，在上递增，所以存在，使得，且当时，单调递减，时，单调递增，又，所以存在，时，单调递减，时，单调递增，又，所以时，递减，时，递增，所以时，的取值范围是.【点睛】本题主要考查用导数求函数的
14、零点个数，研究不等式恒成立问题解题基本方法是由导数研究函数的单调区间，极值，结合零点存在定理得零点个数，而有关极值点的不等式恒成立问题，关键是对两个极值点进行变化，一是变形消去题中参数，二是两个极值点之间适当组合后利用换元法化二元为一元，然后引入新函数，利用导数研究函数的最值，从而得参数范围此处在求最值时需要对导函数再次求导，注意利用零点存在定理确定导函数的零点以便得上一级函数的极值点，本题属于困难题.12(1)2(2)证明见解析【分析】（1）求出，然后分、讨论的单调性，结合可得答案；（2）首先可得，然后由可得、，即可证明.(1)，当时，由得，令，则，所以在上单调递增，所以，即所以在上单调递增
15、，又，因此恒成立；当时，令，则，当，得，所以在上，单调递减，又，所以，即，所以在上单调递减，又，所以当时，不满足要求综上，,最大值为2.(2)由，要证，即证，即证明：由（1），即，取（），得，所以，累加得：，所以13(1)(2)极小值为1a，无极大值(3)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）求函数的导数，判断其正负，确定函数的单调性，求得答案；（3）由展开，分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即在恒成立，构造函数，利用导数求得该函数在的最大值，即得答案.(1)当时，故，所以，即；(2)因为，令，当时，恒成立，所以单调递增，且，则在(，0)上，)在(，
16、0)上单调递减；则在(0，+)上)，)在(0，+)上单调递增；且，所以，函数的极小值为1a，无极大值(3)已知，由，即在恒成立，即在恒成立设，设，由可得，所以，则在上单调递减，可得，所以，在上单调递减，则a的取值范围是【点睛】本题考查了导数的几何意义以及求函数极值和利用导数解决恒成立时求参数的范围问题，综合性较强，解答时要注意能灵活运用导数的相关知识，解答的关键是将函数恒成立问题转化为函数最值问题，根据函数式的特点构造适当的函数，从而判断正负，确定原来函数的单调性，进而求最值.14(1)；(2)证明见解析【分析】(1)参变分离不等式，构造函数，求h(x)的最小值即可得a的取值范围；(2)整理化
17、简可得，构造函数并判断单调性，从而可利用将等式中替换掉，问题即可转化为证明，令即可进一步转化为证明即可(1)由，得，即，令， ，则，设，则，在上单调递增，在上，单调递增，取值范围是；(2)不妨设，(*)，令，故，故函数在上单调递增，从而，由(*)得，下面证明：，令，则.即证明：，则只要证明，设，在恒成立，在单调递减，故，【点睛】本题第二问关键是构造函数，将转化为，构造，将问题转化为即可15(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据已知条件去掉绝对值，再利导数法求函数的最值即可求解；（2）根据已知条件及对数恒等式，利用导数法求出函数的单调性进而得出自变量的关系，再结合方程的根转化为函数与函数的交点
18、即可求解.（1）时，.时，所以，即在时单调递减；时，.所以，即在时单调递增；当时，取得最小值为所以的最小值是.（2）由题，则，即.所以.由，得.当时，；当时，；所以，在上递减；在上递增.又因为，所以，当且仅当或.又，故和不可能同时成立.所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和，其中当时，函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数，令，即，解得.当易知时，,单调递减，当时，单调递增；在处取得最小值为，所以时，直线与函数图象无交点，函数无零点；时，直线与函数图象有一个交点，函数有1个零点；时，直线与函数图象有2个交点函数，有2个零点.同理：函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数，设，则所以函
19、数在单调递增，在处的函数值为，所以故时，在上必有1个零点.综上所述，时，方程有1个根；时，方程有2个根；时，方程有3个根.【点睛】解决此类型的关键第一问去掉绝对值分别讨论单调性，但要注意分段函数是一个函数，利用导数法求函数的最值的步骤即可，第二问先对方程变形，然后利用导数法得出函数单调性进而出自变量与函数值的关系，再结合方程的根转化为函数与函数交点的问题即可.16(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意，原问题等价于对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解；（2）由，令，利用函数单调性及函数零点存在定理可得，存在使得，即，所以，进而可得在上单调递减，在上单调递增，从而可得，即可证明.(
20、1)解：若对任意，恒成立，即对任意恒成立，令，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以；所以实数m的取值范围；(2)解：，则，当时，令，则0，所以在上单调递增，因为，所以存在使得，即，所以，所以当时，此时，当时，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值 ，令，则，所以当时，单调递减，所以，所以.17(1)1(2)存在，【分析】（1）由导数的几何意义，求出切线方程，建立关于的方程，求解即可得答案；（2）当时，在上单调递增，只需即可，与有且仅有一个实数a矛盾，不符合题意；当时，令，得，当时，即时，在上单调递增，则；当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，综上，
21、；由题意知，上述不等式关于a有唯一解.然后对分三种情况、和进行讨论即可求解.(1)解：由题意，又因为，所以在处的切线方程为，即，令，得，因为，所以=0，a=1；(2)解：，恒成立，即恒成立.令，当时，恒成立，所以在上单调递增，故当时，只需即可，与有且仅有一个实数a矛盾，不符合题意；当时，令，得，当时，即时，在上单调递增，则；当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，综上，；由题意知，上述不等式关于a有唯一解.（i）若，对于式，无解.对于式，令，时，所以在上单调递增，在上单调递减，故只需即可，解得，此时，符合题意；（ii）若t=1，对于式，a=1，对于式，当时成立，不合题意；（）若，对于式，
22、时均成立，不合题意；综上所述，当时，存在唯一的，使得恒成立.【点睛】关键点点睛：（2）问解题的关键是，当时，令，得，当时，即时，在上单调递增，则；当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，从而得，上述不等式关于a有唯一解.18(1)2(2)证明见解析【分析】（1）先由m1时，曲线在点处的切线与直线xy10垂直解出，再分和讨论函数单调性，确定最小值解出即可；（2）先得出，构造函数，求导确定的单调性，再由当时，得到，即可说明方程在上有唯一实数根(1)由题知，的定义域为R，当m1时，当m1时，曲线在点处的切线与直线xy10垂直n11，n2，当时，在上单调递减又，当时，不合题意当时，令，解得，当时
23、，单调递增；当时，单调递减，又，当时，m2；(2)令，则单调递增又，令，则令，解得x0，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，又，在上有唯一零点方程在上有唯一实数根【点睛】本题关键点在于先表示出，再转化为的零点问题，求导确定其单调性，结合时，得到，由零点存在定理即可得证.19(1)答案见解析(2)【解析】(1)，当时，在上单调递增，无极值.当时，在上单调递减，无极值.当时，在上有2个实根，设其为，且.当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，在单调递增.所以为的极大值，为的极小值.由正弦函数的对称性可知，所以在上的所有极值的和为.(2)即.设，则，设.当时，所以在R上单调递增.又，所以，使得
24、，所以，当时，单调递减：当时，单调递增.所以，不合题意.当a=1时，所以在R上单调递增.又，所以，当时，单调递减；当时，单调递增.所以，符合题意.当时，因为函数在上都为增函数，所以在上单调递增.又，所以，所以在上单调递增.又，所以，使得，所以，当时，单调递增.所以，不合题意.综上，正实数a的取值集合是.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非
25、常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.20(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的导函数，对参数进行分类讨论，根据函数单调性与导数的关系即可求解；（2）根据函数有两个极值点，得到有两个异号的根，令，根据的单调性得到在区间上至少存在一个零点m，从而得到是函数的极小值点.，再根据零点存在性定理得到在上存在唯一的极大值点.(1)解：的定义域是R，. 当时，令，得；令，得. 当时，令，得或；当时，令，得或；令，得； 当时，恒成立，且仅在处；当时，令，得或；令，得
26、. 综上，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在R 上单调递增；当时，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减.(2)证明：由题意得，则.要使函数有两个极值点，则方程有两个不同的根，且这两根的左、右两侧的函数值异号. 令，则，令，得，令，得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.则函数在处取得极大值，也是最大值.当时，且，即函数在区间上至少存在一个零点m.又函数在区间上单调递增，函数在区间上存在唯一的零点m，且当时，；当时，是函数的极小值点. 下面证明函数在区间上存在唯一的极大值点.先证：当时，.令，令，当时，函数在区间上单
27、调递增，在区间上单调递增，即. 当时，取，由零点存在性定理，得函数在区间上至少存在一个零点.又函数在区间上单调递减，在区间上存在唯一的零点n，且在区间上，在区间上，是函数的极大值点.综上，函数有两个极值点.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数有两个极值点，转化为有两个异号的根，再根据函数的单调性以及零点存在性定理进行求解.21(1)证明见解析(2)【分析】（1）若，当时，对求导，令，解不等式即可求出答案.（2）在上恒成立转化为，令，求在的最小值即可.（1）若，则，因为，在为单调递减函数；（2），即，令，则，令，单调递减，单调递增，而，故在恒成立，故在恒成立，所以在为减函数，所以，故，所以
28、实数a的取值范围是22 2a 【分析】对于第一空，求函数倒数，判断导数正负，判断函数单调性，即可求得最小值；第二空，将方程变形为，构造函数，将根的问题转化为图象的交点问题，根据函数的单调性可知，在 上图象和图象有一交点，即关于x的方程有一个实根，故需满足在 时，二者图象无交点，由此构造函数，分离参数，利用导数，求得答案.【详解】对于第一空：由可知，当 时， ，对于 ，其图象对称轴为 ，故时，为增函数，则，即，故当 时，是单调增函数，由于，故当 时，是单调减函数，故；第二空：即，即，而函数结合第一空的分析可知，在 时取得最小值，如图示，而函数，故是单调增函数，由图可知，在 上图象和图象有一交点，即关于x的方程有一个实根，故需满足在 时，二者图象无交点，此时 而，则即，则需满足 无解，对于 ，令 ，当 时，单调递增，当 时，单调递减，故，故要使 无解，需满足 ，故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最小值以及方程有唯一跟的问题，综合性较强，要求思维能力较强，解答时的关键是将方程有唯一跟的问题转化为图象有一个交点的问题，数形结合灵活处理.