1、专题09：解三角形一、解答题1（2022广东广州二模）在平面四边形中，(1)求的面积；(2)若，求的值；2（2022广东湛江二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.(1)求、两地之间的距离；(2)求.3（2022广东佛山二模）记的内角的对边分别为，且(1)求证；(2)若的面积为，求.4（2022广东梅州二模）在中，点在上，平分，已知，(1)求的长；(2)求的值.5（2022广东茂名二模）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，(1)求角
2、B的大小；(2)若，求ABC的面积6（2022广东肇庆二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角C；(2)若，且的面积为，求的周长7（2022广东珠海市第三中学二模）的内角，的对边分别为，且，(1)若 ，求的面积(2)试问能否成立若能成立，求此时的周长若不能成立，请说明理由8（2022广东茂名二模）图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）已知.(1)求证：EF=EB；(2)求 的值9（2022广东惠州二模）在中，是角，所对的边，有
3、三个条件：；，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.（1）两个条件中能有吗？说明理由；（2）请指出这两个条件，并求的面积.10（2022广东普宁市华侨中学二模）在中，内角A，所对的边分别为，已知，.(1)求的值；(2)求的值.11（2022广东韶关二模）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角A的大小；(2)若a=1，ba，求ABC的面积12（2022广东二模）如图，已知ABC内有一点P，满足(1)证明：(2)若，求PC13（2022广东潮州二模）已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，(1)求角B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出
4、BC边上的中线的长度的面积为；的周长为14（2022广东汕头二模）已知钝角ABC内接于单位圆，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，(1)证明：；(2)若，求ABC的面积15（2022广东深圳二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)证明：；(2)当时，求的面积S16（2022广东茂名二模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求C；(2)求ABC的面积参考答案1(1)；(2)8.【分析】（1）在中，由余弦定理求得得，再根据三角形的面积公式可求得答案；（2）在中，由正弦定理求得，再由正弦和角公式求得，在中，根据正弦定理求得，由此可求得答案.(1)解：在中，所以，
5、解得（舍去），所以；(2)解：在中，所以，即，解得，又，所以，所以，又，所以，所以，在中，即，所以，所以.2(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的长；（2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.（1）解：由余弦定理可得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，则为锐角，故，因此，.3(1)证明见解析；(2).【分析】（1）对进行化简可得，再由余弦定理即可得到答案.（2）由（1），再利用面积为，即可求出答案.(1)证明： ，即由余弦定理得，即 整理可得.(2)由（1）知， 故的面积为 得，解得或（舍）故.4(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出；（2）先用正
6、弦定理求出，利用同角三角函数平方关系求出，再用正弦的差角公式求出答案.(1)依题意，由余弦定理得：，解得：(2)依题意，由正弦定理得：，所以.因为，所以为锐角，所以.因为，所以，所以.5(1)；(2)或.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系，及已知条件可得，再根据三角形内角性质求B的大小；（2）由（1）及余弦定理求c，再根据三角形面积公式求面积即可.（1）由正弦定理知：，则，所以，则且，可得或，又，所以.（2）由题设，则，又，所以，整理得，解得，满足题设.由，所以，当时；当时；6(1)(2)30【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得；（2）根据面积公式得，进而结合已知得，再根据余弦定理得，
7、进而得周长.(1)解：由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以(2)解：由（1）得，所以，所以，又，解得，由余弦定理可得，所以，所以的周长为7(1)；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据条件先算出 ，再运用正弦定理和三角形面积公式即可算出 的面积；(2)运用反证法，先假设 能成立，再运用余弦定理和基本不等式推出悖论即可.（1）由，可得，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，因为 ，所以，所以 ；（2）假设能成立，所以，由余弦定理，得 ，所以，所以，故，解得或舍，此时，不满足，所以假设不成立，故不成立；综上， ，不成立.8(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，可得DEF和ABC的面积的比值，由
8、此设，可推出x,y的关系，即可证明结论；（2）在ABE中，由余弦定理求得 ，可求得，利用两角差的余弦公式，可求得答案.（1）证明：,故设DEF的面积为m,则 ，则ABC的面积为，三个全等的不等腰三角形的面积各自为，设 ，则由题意可得 DEF为等边三角形， 故在DEF中，在 中，,由 得， ，化简得 ， ， 即 ,故EFEB（2）由（1）知， ，在ABE中，由余弦定理知，由题意知是锐角，故 ，同理可得,由题意知是锐角，故,故.9（1）不能有，理由见解析；（2）只能选择和，.【分析】（1）根据正弦定理由，可得，解得，若条件中有，可得，则与矛盾；（2）只能选择和，由余弦定理得，由，可得，即可得解.【
9、详解】（1） ，由正弦定理得.，.，.假设两个条件中有，则会推出矛盾.过程如下：，此时，.（2）只能选择和.由余弦定理得，即，而，此时，解得或，所以存在，.10(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再用余弦定理求解；（2）根据同角三角函数平方关系，二倍角公式及正弦差角公式进行求解.(1)由正弦定理得：，因为，所以，由余弦定理得：；(2)由（1）知：，因为，所以，则，故11(1)或(2)【分析】(1)由正弦定理及正弦两角和可求解; (2)由正弦定理、余弦定理、面积公式可求解.(1)依题意，由正弦定理，可得：，即：，由于在中，所以，又，所以，或.(2)由，则，又由正弦定理，得，在中，由余弦定理
10、，得，所以，所以，即的面积为.12(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；（2）由题意求得，继而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案.（1）证明：在ABP中，由正弦定理得，即，要证明，只需证明，在ABP中，在ABC中，所以，所以，所以（2）由（1）知，又因为，所以，由已知得ABC为等腰直角三角形，所以，则，所以在PBC中，由正弦定理得，即，即由余弦定理得，由题意知，故解得，所以13(1)(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理可得，再由和的范围可得答案；（2）选择（1），由（1）可得，则解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长
11、度为：选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长解得，由余弦定理可得BC边上的中线的长度（1），则由正弦定理可得，解得（2）若选择（1），由（1）可得，即则，解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：14(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式分类讨论进行证明即可；（2）根据（1）的结论，结合三角形面积公式、单位圆的性质、正弦定理进行求解即可.(1)根据正弦定理，由，因为，所以，所以由，由，因为ABC
12、是钝角三角形，所以，或，当时， ，所以有，这与ABC是钝角三角形相矛盾，故不成立，当时，所以有，显然此时B为钝角，所以ABC是钝角三角形，符合题意；(2)由，由（1）可知：，所以，因为B为钝角，所以，所以，因为A为锐角，所以，所以，因为钝角ABC内接于单位圆，所以由正弦定理可知：，因此ABC的面积为.15(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦， 整理可证明成立.（2）由正弦定理及已知中的和的值，整理可求得值，进而利用三角形面积公式，即可求解.(1)由题意：因为正弦定理：，所以对于，有，整理得：，所以，因为A，为的三个角，所以，得.(2)由(1)及题意可得：，则所以的面积为.16(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理将化角为边，可得的关系，再结合（1）可求得，再根据三角形的面积公式，即可得解.(1)解：因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，则；(2)因为，所以，即，因为，所以，所以，所以