1、专题03：函数一、单选题1（2022广东广州二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）ABCD2（2022广东湛江二模）若，则（）ABCD3（2022广东佛山二模）核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（）(参考数据：，)A0.369B0.415C0.585D0.6314（2022广东佛山二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（）A的最大值为-aB的最小值为-aCD5（2
2、022广东梅州二模）设函数，则（）A2B6C8D106（2022广东肇庆二模）声压级，是一个表示声强大小的量，单位为dB（分贝），其中为特定的点声源的声功率级，是常量，r为测试点与点声源的距离（单位：米），当测试点从距离点声源2米处移到1米处时，声压级约增加了（）A4dBB6dBC7dBD9.6dB7（2022广东珠海市第三中学二模）设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）ABCD8（2022广东惠州二模）函数有（）A最大值B最小值C最大值2D最小值29（2022广东惠州二模）函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A2B3C4D010（2022广东韶关二模）函数 的图象大致为（）AB
3、CD11（2022广东二模）定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）ABCD12（2022广东二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（）ABCD13（2022广东潮州二模）已知函数，若函数的两个零点分别在区间和内，则实数的取值范围为（）ABCD14（2022广东汕头二模）函数的图象可能是ABCD15（2022广东茂名二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇Peuk
4、ert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（）A28hB28.5hC29hD29.5h二、多选题16（2022广东茂名二模）已知函数f（x）的定义域为0，+），f（x） ，当x2时，f（x）f（x2），则下列说法正确的是（）A当1时，f（log280）B当0时，f（x）在10，11）单调递增C当1时，f（x）在0，4n（nN*）的值域为2n1，2n2D当0，且1时，若将函数g（x）与f（x）的图像在0，2n（nN*）的n个交
5、点记为（xi，yi）（i1，2，3，n），则 n2+n117（2022广东普宁市华侨中学二模）已知，且，则（）ABCD18（2022广东普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（）A任取，都有B，其中；C对一切恒成立；D函数有个零点；19（2022广东韶关二模）已知 则下列结论正确的是（）ABCD20（2022广东潮州二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（）A函数的定义域为B函数为非奇非偶函数C过点且与图象相切的直线方程为D若，则21（2022广东汕头二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（）ABCD三、填空题22（2022广东广州二模）函数的所有零点之和为_2
6、3（2022广东茂名二模）请写出一个函数_，使之同时具有以下性质：图象关于y轴对称；，24（2022广东肇庆二模）写出一个同时具有下列性质的函数：_.；.25（2022广东珠海市第三中学二模）写出一个值域为，在上单调递增的函数_26（2022广东深圳二模）已知函数是偶函数，则_27（2022广东茂名二模）满足方程的整点（即都是整数）称为佩尔方程的解，其中是给定的整数.当是无理数时，记.若，使得恒成立，则称为方程的基本解.佩尔方程的所有正整数解可由基本解导出，具体关系为：.则佩尔方程的基本解为_；佩尔方程满足的正整数解构成的集合为_.参考答案1C【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进
7、行逐一判断，即可选择.【详解】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；对：容易知是偶函数，当时，其在单调递增，在单调递减，故错误；对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；对：容易知是奇函数，故错误；故选：C.2A【分析】利用对数和对数函的性质进行化简后比较.【详解】解：故故选：A3C【分析】由题意，代入，解方程即可.【详解】由题意知，即，所以，解得.故选：C.4D【分析】根据给定条件，用a表示b，c，再结合二次函数的性质求解作答.【详解】依题意，因，则是奇函数，于是得，即，因此，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；，即，因此，C不正确，D正确.故选：D5B
8、【分析】根据分段函数的解析式，分别求出函数值即可得解.【详解】解：因为，所以，所以.故选：B.6B【分析】根据题意，依次代入，计算对应的声压级，再结合对数运算求解即可.【详解】当时，声压级，当时，声压级，则故选:B7D【解析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为,即可得解.【详解】因为,分别是函数和的零点则,分别是和的解所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标所以交点分别为 因为所以,由于函数与函数和函数都关于对称所以点与点关于对称因为关于对称的
9、点坐标为所以 即,且所以,由于,所以不能取等号因为所以即故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.8D【分析】分离常数后，用基本不等式可解.【详解】（方法1），则，当且仅当，即时，等号成立.（方法2）令，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D9C【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点故选：C10A【分析】首先判断函数的奇偶性，然后再判断当或时的函数值即可得出选项.【详解】由，定义域为 ，所以
10、函数为奇函数，故排除BD；当时，；当时，函数的增长速度比的增产速度快，所以，故排除C；故选：A11D【分析】由正弦函数，指数函数和幂函数的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案.【详解】A. ,由正弦函数的性质可知在上不为增函数，故排除；B.在上单调递减，故排除；C. ，故函数在上为偶函数，故排除；D. ，故函数在上为奇函数，且由幂函数的性质知在上单调递增，则在上单调递增，满足题意；故选：D12D【分析】先判断出必为偶函数.对四个选项中的函数的奇偶性一一判断，即可得到答案.【详解】因为对于都有，且为偶函数，所以必为偶函数.对于A：为奇函数.故A错误；对于B：为非奇非偶函数.故B错误；对于C：对
11、于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；故选：D13A【解析】先作出的图像，令，利用数形结合法求解即可【详解】先作出的图像，令， 在区间内时，得到，所以，；在区间内时，得到，解得，所以，；综上，得故选A【点睛】解题的关键在于先作出的图像，并令，然后，分段讨论出的范围，属于中档题14A【详解】试题分析：因为，所以为奇函数，故排除B、D；当时，故排除C，故选A考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性15B【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得，则当时，所以，即当放电电流，放电
12、时间为28.5h.故选：B.16BC【分析】理解函数 的性质： ，即(x0) ，自变量x每增加2，则对应的函数值为原来的 倍，利用这个性质逐项分析可以求解.【详解】不妨令 ，则 图像如下：由函数的性质可得： ， ， 当时， ；对于A，当1时, ，是周期为4的周期函数， ，由于 ， = ，故A错误；对于B，当0时， 在 上，由：， 的单调性与在 上相同，即为增函数，故B正确；对于C， ， 的振幅是递增的， 中当 时， ， 为奇数，所以有极小值 ，当 时， ，有极大值 ，在上其值域为 ，故C正确；对于D， ， 时， 函数与 图像如下：其交点为 ，其横坐标为首项为1，公差为2的等差数列， ，纵坐标为
13、首项为1，公比为 的等比数列， ， ，故D错误；故选：BC17ACD【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为，且，对A，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，当且仅当取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故C正确；对D，当，所以；当，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.故选：ACD.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误18ACD【分析】作出函数的
14、图象.对于A：利用图象求出，即可判断；对于B：直接求出，即可判断；对于C：由，求得，即可判断；对于D：作出和的图象，判断出函数有3个零点.【详解】作出函数的图象如图所示.所以.对于A：任取，都有.故A正确；对于B：因为，所以.故B错误；对于C：由，得到，即.故C正确；对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：当时,;当时,函数与函数的图象有一个交点;当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D正确.故选：ACD19ABC【分析】由题意可知，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确
15、.【详解】由题可知，又，所以 ，D错误；因为，有所以A正确；由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；又因为，所以，故，B正确；由于，所以，C正确.故选：ABC20BC【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.【详解】设，将点代入，得，则，即，对于A：的定义域为，即选项A错误；对于B：因为的定义域为，所以不具有奇偶性，即选项B正确；对于C：因为，所以，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，又因为切线过点，所以，解得，即切线
16、方程为，即，即选项C正确；对于D：当时，即成立，即选项D错误故选：BC21ACD【分析】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案【详解】解：设，则，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，又，所以，即，故C正确；故选：ACD229【分析】根据给定条件，构造函数，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由，令，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答
17、案为：923(答案不唯一)【分析】根据题设函数性质的描述，只需写出一个周期为4的偶函数，结合余弦函数的性质即可写出函数解析式.【详解】由题设，写出一个周期为4的偶函数即可，所以满足题设要求.故答案为：(答案不唯一)24（底数大于e的指数函数均可）【分析】由指数函数的性质可求解.【详解】由可知函数是指数函数，由可知函数单调递增，又，故只要即可故答案为：（底数大于e的指数函数均可）25答案不唯一【分析】由指数函数性质求解【详解】令，由指数函数性质知在上单调递增，值域为，满足要求故答案为：答案不唯一26#0.5【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.【详解】由题意知：是偶函数，则，即：即：即：，解得：.故答案为：.27 【分析】根据题意得，进而根据函数的单调性得是的一组实数解，进而得，再根据得或，最后分别讨论即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以，令，则所以函数为单调递增函数，所以，由于是的一组实数解，所以，当，使得恒成立，所以为方程的基本解.所以其所有正整数解为：，因为，故所以所以，由于，所以，由于，所以或，当时，满足题意，当时，不满足；所以佩尔方程满足的正整数解构成的集合为.故答案为：；.