1、专题08：数列一、单选题1（2022广东惠州一模）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2022广东一模）已知正项数列满足，当最大时，的值为（）A2B3C4D53（2022广东湛江一模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（）ABCD4（2022广东汕头一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，成等差数列，则（）ABCD55（2022广东茂名一模）已知等比
2、数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则6（2021广东佛山一模）已知数列的前n项和，则k的值为（）A2BC1D二、多选题7（2022广东一模）已知数列满足，则下列结论中正确的是（）AB为等比数列CD8（2022广东广州一模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同
3、样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（）ABCD三、填空题9（2022广东深圳一模）已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差_10（2021广东佛山一模）已知数列，且，则数列的前100项的和为_11（2022广东茂名一模）如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形的边长为4，取正三角形各边的四等分点，作第2个正三角形，然后再取正三角形各边的四等分点， 作第3个正三角形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案 .如图阴影部分，设三角形面积为，后续各阴影三角形面积依次为，.则_，数
4、列的前项和_四、解答题12（2022广东惠州一模）已知数列满足，且数列是等差数列.(1)求数列的通项公式：(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.13（2022广东一模）已知正项数列，其前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；(2)数列中是否存在连续三项，使得，构成等差数列？请说明理由.14（2022广东湛江一模）已知数列是等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和，并证明：.15（2022广东广州一模）在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一列323第二列465第三列9
5、128(1)写出，并求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和.16（2022广东汕头一模）已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.17（2022广东深圳一模）已知数列的首项，且满足(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和18（2022广东广东一模）设数列的前n项和为，满足，且(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和19（2022广东韶关一模）在；这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，_，数列是等差数列，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.20（2022广东茂名一模）已知
6、数列，满足，且，(1)求，的值，并证明数列是等比数列；(2)求数列，的通项公式21（2021广东佛山一模）已知数列，的各项均为正数在等差数列中，；在数列中，(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和为参考答案1C【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义判断即可.【详解】充分性：若，则，即，即，所以充分性成立；必要性：若，即，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件.故选：C.2B【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.【详解】令，两边取对数，有，令，则，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以时，取到最大值，从而有最大值
7、，因此，对于，当时，；当时，.而，因此，当最大时，.故选：B3C【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可.【详解】由，得.故选：C.4A【分析】设等比数列的公比，根据题意列出方程组，解得答案.【详解】设等比数列的公比为 ， ，故由题意可得： ，解得 ， ，故选：A5B【分析】A选项可用片段和性质，BD选项使用基本量法，C选项借助下标和性质求解.【详解】A选择中，由即，解得B选项中， C选项中，由，D选项中，故选：B6C【分析】利用的关系可得，结合已知即可求k的值.【详解】由题设，当时，又，可得.故选：C7AD【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结
8、果，判断C; 将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;【详解】，则 ，又 ，同理 ，故A正确；而 ，故不是等比数列，B错误； ，故C错误；，故D正确，故选：AD8BC【分析】分析题意发现是一个等比数列，按照等比数列的性质逐一验证即可，其中B选项是化简成一个等差数列进行判断，CD两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列，利用做差法验证单调性.【详解】由题可知，；，；，由此可知，即一个等比数列；A：，A错误；B：，因为，所以该数列为递减数列，又因为当时，所以恒成立，B正确；C：，即，两边约去得到，当时，原式成立；当时，恒成立，所以成立，即成立，C正确；D：令，再
9、令，令解得，因为，所以取，由此可知时；时，故为最大值，根据单调性，即不恒成立，D错误.故选：BC92【分析】根据题意可得，直接利用等差数列前n项和公式计算即可.【详解】由题意知，解得.故答案为：10150【分析】由题目条件可以得到，进而得到，由此得出是常数数列，最后求出答案.【详解】根据题意，所以，即是常数数列，而，所以的前100项的和为：.故答案为：150.11 【分析】设正三角形边长为，后续各正三角形边长依次为，进而由余弦定理得，在结合三角形面积公式得，故数列是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列求即可.【详解】设正三角形边长为，后续各正三角形边长依次为，由题意， ，由于，所以，于是
10、数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：；12(1)(2)【分析】(1)根据求出和，根据等差数列定义即可求出，从而求出通项公式；(2)分n为奇数和偶数时讨论数列的前项和为，由即可求出A.(1)由，故，可得，又，数列是等差数列，数列的公差，；(2)由(1)得，可得，为奇数时，故1，3，5，.109都是集合A中的元素，又，为偶数时，由得，2，4，6，8，10，是集合A中的元素，.13(1)证明见解析，；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.(1)依题意，正项数列中，即，当时，即，整理得，
11、又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，因为是正项数列，即，所以.(2)不存在，当时，又，即，都有，则，假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，则，即，两边同时平方，得，即，整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，所以数列中不存在满足要求的连续三项.14(1)；(2)，证明见解析.【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行运算证明即可.（1）设等比数列的公比是q，首项是.由，可得.由，可得，所以，所以；（2）证明：因为，所以.又，所以.15(1)，(2)【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到，进而求得通项公式；（2）由（1）
12、知，利用分组求和，含有需讨论为偶数与奇数，然后按照等差数列求和.(1)根据等比数列的定义和表格中数据，得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，故.(2)因为当为偶数时，当为奇数时，综上所述，16(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出，然后将的换成，与原式相减可得，从而可得即可证明，求出通项公式， 再分组可求和.（2）先求出，可得出，裂项相消法求和，可证明.（1）当时，即 由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则（2）所以17(1)证明见解析(2)【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等比数列.（2）利用分组求和法求得.（1）由，得， 又，故， 故，所以，
13、 所以数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）可知，所以，所以18(1)(2)【分析】（1）利用与的关系，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和.（1）当时，得即，即所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故（2）由（1）知，则（1）（2）（1）（2）得所以19(1)选：，；选：，；选：，(2)【分析】（1）若选，可得，再利用累加法求出数列的通项公式；若选：由计算可得；若选：由计算可得；（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得；（1）解：若选：由，则，可得将上述个式子相加，整理的又因为，所以.若选：，当时，当时，所以，所以.综上，若选：，当时，当时，由可得，
14、所以，所以.经检验当时也成立，所以；设等差数列的公差为，由题有，即，解得从而（2）解：由（1）可得，令的前项和是，则，两式相减得，整理得；20(1)，证明见解析(2)，【分析】（1）令，可求得，的值，再利用等比数列定义证明；（2）由（1）知，代入可得，利用累加法可求解.(1)，.，是为首项，为公比的等比数列(2)由（1）知是为首项，为公比的等比数列.，当时，.当时，也适合上式所以数列的通项公式为数列的通项公式为.21(1)；(2)【分析】（1）结合等差数列性质，将具体项转化为关于的关系式，可求通项， ，可求解的通项公式；（2）由（1）知，再采用错位相减法即可求解(1)（1）方法1：设数列的公差为d，由题意得：，解得，故；由可得：，即有或（舍），从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得；(2)（2）由（1）得，得：，故