1、 20232023 年中考数学一轮复习专题特训年中考数学一轮复习专题特训 9 9：一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1 （2022海珠模拟）某小区原有一块长为 30 米，宽为 20 米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为 214 平方米，设这条步道的宽度为 x 米，可以列出方程是（ ） A(30 2)(20 2) = 214 B(30 )(20 ) = 30 20 214 C(30 2)(20 2) = 30 20 214 D(30 + 2)(20 + 2) = 30 20 214 2 （2022南海模拟）若 a、b 是关于 x
2、的一元二次方程 x22kx4k=0 的两个实数根，且 a2b212，则 k 的值是（ ） A-1 B3 C-1 或 3 D-3 或 1 3 （2022南沙模拟）若 16m+20，则关于 x 的方程 mx2（2m+1）x+m10 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 4（2022花都模拟）已知a， b， 4是等腰三角形的三边长， 且a， b是关于x的方程2 6 + + 6 = 0的两个实数根，则 m 的值是（ ） A = 2 B = 9 C = 3或 = 9 D = 2或 = 3 5 （2022番禺模拟）如图 1，矩形 ABCD 中，点
3、 E 为 BC 的中点，点 P 沿 BC 从点 B 运动到点 C，设 B，P两点间的距离为 x，PAPEy，图 2 是点 P 运动时 y 随 x 变化的关系图象，则 BC 的长为（ ） A4 B5 C6 D7 6（2022罗湖模拟）如图， 在长为 32 米、 宽为 20 米的矩形地面上修筑同样宽的道路 （图中阴影部分） ，余下部分种植草坪，要使小路的面积为 100 平方米，设道路的宽米，则可列方程为（ ） A32 20 32 20 = 100 B(32 )(20 ) + 2= 100 C32 + 20 = 100 + 2 D(32 )(20 ) = 100 7 （2022新会模拟）已知关于的一
4、元二次方程2 (2 3) + 2 = 0有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A 94 B 94且 0 D 94 8（2022潮南模拟）关于x的一元二次方程( + 2)2 3 + 1 = 0有实数根， 则a的取值范围是 （ ） A 14或 2 B 14 C 14或 2 D 14 9 （2022中山模拟）已知关于 x 的一元二次方程 ( 1)2+ 2 1 = 0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） A 2 且 1 B 0 C 0 且 1 D 2 0，则1 2（填“”或“=”） 13（2022广州模拟）点 A 是反比例函数 =( 0)上的点， 过点 A 作 轴， 垂足为 B 若 的面积
5、为 8，则一元二次方程2 4 + = 0的根的情况为 14（2022从化模拟）已知二次函数yx2+bx+c的顶点为 （1， 5） ， 那么关于x的一元二次方程x2+bx+cm0 有两个相等的实数根，则 m= 15（2022深圳模拟）关于x的一元二次方程 2+ 6 = 0 的一个根是3， 则另一个根是 16 （2022珠海模拟）已知 x1，x2是一元二次方程 x24x+10 的两个根，则 x1+x2 17 （2022坪山模拟）若菱形的两条对角线分别是方程 x2-14x+48=0 的两个实数根，则菱形的边长为 18（2022龙岗模拟）已知关于x的一元二次方程22 + = 0有两个相等的实数根， 则
6、k 19 （）某种水果的价格经过两次降价后由 20 元调至 12 元，若设该水果平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 . 20 （）已知 x1，x2是一元二次方程 x2-4x-7=0 的两个实数根，则 x12+4x1x2+x22的值是 . 三、计算题三、计算题 21 （2022 九下南雄模拟）解下列方程： （1）x2x2（x1） （2）x26x10 22 （2020深圳模拟）解方程： 12x2x10 23 （2020 八上湛江月考）已知（2x1）2491，求 x 的值 24 （2021 九上海珠期末）解方程： （1）x24x； （2）x（x2）3x6 25 （2021 九上揭东期末）解方程
7、：32 ( + 6) = 20 四、综合题四、综合题 26 （2022 八下罗湖期末）2022 年 2 月 4 日，万众瞩目的冬奥会在我们的首都北京开幕了，与往届冬奥会所不同的是， 这届冬奥会大家都被吉祥物冰墩墩吸引了， 导致市场大量缺货， 为满足市场需求，温州某玩具加工厂打算紧急招聘 70 名工人进行冰墩墩的制作， 已知冰墩墩分为普通款和升级款两种款式， 普通工人每人每天可以生产 2 件普通款或 1 件升级款， 根据市场行情， 普通款每件利润为 140 元，升级款每件利润为 350 元，为保证全部售出，每生产 1 件升级款就将升级款的售价降低 5 元（每件利润不低于 150 元） ，设每天生
8、产升级款件 （1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天的产量（件） 每件可获得的利润（元） 普通款冰墩墩 升级款冰墩墩 （2）当取多少时，工厂每日的利润可达到 17200 元？ 27（2022濠江模拟）已知| + 22|与 2互为相反数， 且 a， b 为一元二次方程2+ + = 0的两个实数根 （1）求 c、m 的值； （2）试判断以 a、b、c 为三边的三角形的形状，并说明理由 28 （2022广州模拟）老张与老李购买了相同数量的种兔 （1）一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了 2 只，老李养兔数比买入种兔数的 2 倍少 1 只，老张养兔数不超过老李养兔数的23一年前老张至少买
9、了多少只种兔？ （2）两年后，老张的养兔数比买入种兔数增加了 69%若这两年兔子数目的增长率不变，则每年的增长率为多少？ 29 （2022南海模拟）某商场以每件 210 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 270 元时，每天可售出 30 件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每天就可以多售出 3 件 （1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 30 （2022南海模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x23x+m
10、+10 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）当 m1 时，求出此时方程的两个根 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：设这条步道的宽度为 x 米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为（30 20 214）米，根据题意得， (30 2)(20 2) = 30 20 214 故答案为：C 【分析】设这条步道的宽度为 x 米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为（30 20 214）米，再利用矩形的面积公式可得(30 2)(20 2) = 30 20 214。 2 【答案】A 【解析】【解答】
11、解：a、b 是关于 x 的一元二次方程 x22kx4k=0 的两个实数根， = (2)2 4 1 4 = 42 16 0 ab2k，ab4k 2+ 2 = ( + )2 2 = (2)2 2 4 = 42 8 42 812 解得1= 1，2= 3 当1= 1时， = 42 16 = 4 (1)2 16 (1) = 20 0 1= 1符合题意， 当2= 3时， = 42 16 = 4 32 16 3 = 12 0 2= 3不符合题意，应舍去， 综上，k 的值是1 故答案为：A 【分析】利用根与系数的关系求出 ab2k，ab4k，再利用 a2b212，可得42 812，求出 k 的值即可。 3 【
12、答案】A 【解析】【解答】解：由已知 16m+20，解得 18，即方程为二次方程， 判别式 = (2 + 1)2 4( 1) = 42+ 4 + 1 42+ 4 = 8 + 1， 18， 8 + 1 0， 解得： 94且 0， 故答案为：B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式组求出即可。 8 【答案】A 【解析】【解答】解： ( + 2)2 3 + 1 = 0为一元二次方程， + 2 0，解得 2， 关于 x 的一元二次方程( + 2)2 3 + 1 = 0有实数根， = (3)2 4 ( + 2) 1 0，即 + 2 94，解得 14， 综上所述，a 的取值范围是 14且 2， 故
13、答案为：A 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ( 1)2+ 2 1 = 0 有实数根， = 2 4 = 4 + 4( 1) 0 ， 解得 0 又(m1)x22x-10 是一元二次方程， m10，即 m1， 综合知，m 的取值范围是 m0 且 m1， 故答案为：C 【分析】利用一元二次方程根的判别式可得 = 2 4 = 4 + 4( 1) 0，再求出 m 的取值范围即可。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：依题意得：2.36（1+x）2 = 2.82， 故答案为：D 【分析】设年平均增长率为 x，再根据题意直
14、接列出方程 2.36（1+x）2 = 2.82 即可。 11 【答案】9 【解析】【解答】解：根据题意得= 62 4 = 0， 解得 = 9 故答案为：9 【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。 12 【答案】 2 0， 12， 故答案为： 【分析】根据一元二次方程的判别式可得 m 的值，再根据反比例函数的增减性进行比较。 13 【答案】无实数根或有两个不相等的实数根 【解析】【解答】解：由题意得：=12| = 8， = 16， 当 = 16时，则一元二次方程为2 4 + 16 = 0， = 16 4 16 = 48 0， 方程有两个不相等的实数根； 故答案为无实数根或有两个不相等的
15、实数根 【分析】先求出 k 的值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。 14 【答案】5 【解析】【解答】设抛物线解析式为 = ( )2+ ， 顶点为（1，5） ， = ( 1)2+ 5 = 2+ 2 + 4 ， 2+ + = 0 可化为 2+ 2 + 4 = 0 ， 有两个相等的实数根， = 2 4 = 4 4 (1) (4 ) = 0 ， 4 + 16 4 = 0 ， = 5 ； 故答案是 5 【分析】先利用抛物线的顶点坐标求出二次函数的解析式，可得2+ 2 + 4 = 0，再利用一元二次方程根的判别式可得= 2 4 = 4 4 (1) (4 ) = 0，再求出 m 的值即可。 15 【
16、答案】9 【解析】【解答】方法一： 解：设方程的另一个根是 1 ， 由题意得： 1+ 3 = 6 ， 解得： 1= 9 ， 方法二： 解： 关于 x 的一元二次方程 2+ 6 = 0 的一个根是 3， 9 + 18 = 0 ， 解得： = 27 ，即 2+ 6 27 = 0 ， 则 ( + 9)( 3) = 0 ， 解得： 1= 9 ， 2= 3 ， 所以另一个根为-9 故答案为：-9 【分析】将 x=3 代入一元二次方程可得 a 的值，再利用一元二次方程的解法求出解即可。 16 【答案】4 【解析】【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x24x+10 的两个根， 则 x1+x2= 41= 4
17、 故答案为 4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2= 41= 4。 17 【答案】5 【解析】【解答】解：x2-14x+48=0， x=6 或 x=8， 该菱形的对角线长分别为 6 或 8， 由勾股定理可知：菱形的边长为32+ 42=5， 故答案为：5. 【分析】先利用十字相乘法求出 x=6 或 x=8，再利用菱形的性质和勾股定理可得菱形的边长。 18 【答案】1 【解析】【解答】解：方程有两个相等的根， = 2 4 = 4 4 = 0， 解得： = 1， 故答案为：1 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程 = 2 4 = 4 4 = 0求解即可。 19 【答案】20
18、（1-x）2=12 【解析】【解答】解：设该水果平均每次降价的百分率为 x， 根据题意得：20（1-x）2=12. 【分析】设该水果平均每次降价的百分率为 x，得出该种水果第一次降价后的价格为 20（1-x） ，第二次降价后的价格为 20（1-x）2，再根据经过两次降价后由 20 元调至 12 元，列出方程即可. 20 【答案】2 【解析】【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x2-4x-7=0 的两个实数根， x1+x2=4，xx2=-7， x12+4x1x2+x22=（x1+x2）2+2x1x2=42+2（-7）=2. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 x1+x2=4，xx2=-
19、7，再把原式化为（x1+x2）2+2x1x2的形式，代入进行计算，即可得出答案. 21 【答案】（1）解：x2x2（x1） ， 移项得：x（x1）2（x1）0， 整理得： （x1） （x2）0， 所以：x10 或 x20， 所以 x11，x22 （2）解：x2+6x10， 移项得：x2+6x1， 配方得：x2+6x+910， 所以： （x+3）210， x+310， 所以 x13 + 10，x23 10 【解析】【分析】 （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可. 22 【答案】解：12 x2x10， x22x20， x22x+13， （x1）23， x1 3 ； 【解析】
20、【分析】利用配方法求解即可。 23 【答案】解：移项得： (2 + 1)2= 50 ，所以有： 2 + 1 = 50 ，可得 =5012 ， 原方程的解为： =5212 或者 =5212 【解析】【分析】应用配方法可以得到方程的解 24 【答案】（1）解：x2=4x， x2-4x=0， 则 x（x-4）=0， x=0 或 x-4=0， 解得 x1=0，x2=4； （2）解：x（x-2）=3x-6， x（x-2）-3（x-2）=0， 则（x-2） （x-3）=0， x-2=0 或 x-3=0， 解得 x1=2，x2=3 【解析】【分析】 （1）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可； （2）
21、先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。 25 【答案】解：整理，得：x2-3x-10=0， （x+2） （x-5）=0， 则 x+2=0 或 x-5=0， 解得 x1=-2，x2=5 【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。 26 【答案】（1） （70-x） ；2（70-x） ；140；350 （2）解：由题意得：140 2(70 ) + (350 5) = 17200，整理得：2 14 480 = 0，解得：1= 30，2= 16（不合题意，舍去） 当 = 30时，350 5 = 350 5 30 = 200 150，符合题意答：当取 30 时，工厂每日的利润可达到 17200 元
22、 【解析】【解答】（1） 解： 普通工人每人每天可以生产 2 件普通款或 1 件升级款， 且每天生产升级款件， 安排人生产升级款冰墩墩，安排(70 )人生产普通款冰墩墩，每天生产2(70 )件普通款冰墩墩又普通款每件利润为 140 元，升级款每件利润为 350 元，填表如下： 产品种类 每天工人数（人） 每天的产量（件） 每件可获得的利润（元） 普通款冰墩墩 70 2(70 ) 140 升级款冰墩墩 350 故答案为： （70-x；2（70-x；140；350； 【分析】安排人生产升级款冰墩墩，安排(70 )人生产普通款冰墩墩；每天可以生产 2 件普通款：每天生产2(70 )件普通款冰墩墩；
23、普通款每件利润为 140 元，升级款每件利润为 350 元 。 27 【答案】（1）解：| + 22|与 2互为相反数， | + 22| + 2 = 0 + = 22， = 2 a，b 为一元二次方程2+ + = 0的两个实数根 由根与系数的关系可知 + = ， 解得， = 22； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： 将 = 22， = 2代入 2+ + = 0 ， 即2 22 + 2 = 0 解得，1= 2=2，即 = = 2 2+ 2= 4，2= 4， 2+ 2= 2 以 a、b、c 为三边的三角形是直角三角形， 又 = = 2， 以 a、b、c 为三边的三角形是等腰直角三角形 【解析】
24、【分析】 （1）根据非负数之和为 0 的性质求出 + = 22， = 2，再利用一元二次方程根与系数的关系可得 + = ，从而得解； （2）先求出2+ 2= 2，利用勾股定理的逆定理可得以 a、b、c 为三边的三角形是直角三角形，再结合 = = 2可得以 a、b、c 为三边的三角形是等腰直角三角形。 28 【答案】（1）解：设一年前老张买了 x 只种兔，由题意得： + 2 23(2 1)， 解得： 8， 答：一年前老张至少买了 8 只种兔 （2）解：设每年的增长率为 m，由题意得： (1 + )2= 1 + 69， 解得：1= 0.3，2= 2.3（不符合题意，舍去） ； 答：每年的增长率为
25、30 【解析】【分析】 （1）设一年前老张买了 x 只种兔，根据题意列出不等式 + 2 23(2 1)求解即可； （2）设每年的增长率为 m，根据题意列出方程(1 + )2= 1 + 69求解即可。 29 【答案】（1）解： （270210）301800 （元） 降价前商场每天销售该商品的利润是 1800 元 （2）解：设每件商品应降价 x 元， 由题意，得 （270 x210） （30+3x）3600， 解得 x120，x230 要更有利于减少库存， x30 答：每件商品应降价 30 元 【解析】【分析】 （1）根据题意列出算式（270210）30 求解即可； （2）设每件商品应降价 x 元，根据题意列出方程（270 x210） （30+3x）3600，再求解即可。 30 【答案】（1）解：根据题意得 （3）24（m1）0， 解得 m54； （2）解：当 m1 时，方程变形为 x23x0， x（x3）0， x0 或 x30， 所以 x10，x23 【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可； （2）将 m=-1 代入方程，再利用因式分解法求出一元二次方程即可