1、2022年北京各校九年级数学中考复习训练：压轴题一试题（共48小题）1如图，已知，是的平分线，分别在，上，且以点为中心，将线段旋转到处，使点的对应点恰好在射线上，在射线上取一点，使得（1）依题意补全图；求证：；（2）连接，若，求的度数，并直接写出的值2是等边三角形，点在上，点，分别在射线，上，且（1）如图1，当点是的中点时，则；（2）如图2，点在上运动（不与点，重合）判断的大小是否发生改变，并说明理由；点关于射线的对称点为点，连接，依题意补全图形，判断四边形的形状，并证明你的结论3如图，在等腰中，将点关于直线对称得到点，作射线与的延长线交于点，在的延长线上取点，使得，连接（1）依题意补全图形；
2、（2）求证：；（3）作的延长线与的延长线交于点，写出一个的值，使得成立，并证明4已知，为射线上的点，（1）如图1，均为射线上的点，为等边三角形，且，两点位于直线的异侧，连接依题意将图1补全；判断直线与的位置关系并加以证明；（2）若，为射线上一动点与不重合），以为斜边作等腰直角，使，两点位于直线的异侧，连接根据（1）的解答经验，直接写出的面积5在中，斜边的中点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转至，连接，如图所示（1）在，中，等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）；（2）若，求的大小（用含的式子表示）；（3）点是的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明6在中，为平面内一点，且满足，以点
3、为中心，将线段逆时针旋转，得到线段（1）如图1，当点在线段上时，恰有，连接交于，求证：为中点；（2）连接，取的中点，连接，当点在内时，如图2，用等式表示与的数量关系，并证明；令，若当，三点共线时，恰有，直接写出此时的值7将线段绕点逆时针旋转得到线段，继续旋转得到线段，连接（1）连接如图，若，则的度数为 ；在第二次旋转过程中，请探究的大小是否改变若不变，求出的度数；若改变，请说明理由（2）如图以为斜边作，使得，连接，且试猜想线段，之间的数量关系，写出结论并给予证明8如图，在正方形中，点在直线上，作射线，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，交直线于点，过点作于点，交于点，连接（1）依题意补全图形；（2
4、）用等式表示线段，之间的数量关系，并证明9是等边三角形，点在的延长线上，以为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，（1）如图1，若，画出当时的图形，并写出此时的值；（2）为线段的中点，连接写出一个的值，使得对于延长线上任意一点，总有，并说明理由10如图，已知是矩形的一条对角线，点在的延长线上，且连接，与相交于点，与相交于点（1）依题意补全图形；（2）若，解答下列问题：判断与的位置关系，并说明理由；连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明11已知，点，分别在，边上，且，点在线段上（不与点，重合），连接将射线绕点逆时针旋转得到射线，将射线绕点逆时针旋转与射线交于点（1）根据题意补全图1；（2）求
5、证：；（提示：可以在上截取，连接；（3）点在线段的延长线上，当线段，满足什么等量关系时，对于任意的点都有，写出你的猜想并证明12在菱形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）请你写出线段，之间的数量关系13在等腰直角中，过点作的垂线点为直线上的一个动点（不与点，重合），将射线绕点顺时针旋转交直线于点（1）如图1，点在线段上，依题意补全图形求证：；用等式表示线段，之间的数量关系，并证明（2）点在线段的延长线上，直接写出线段，之间的数量关系14在正方形中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到
6、线段，连接，（1）如图1，当点在线段上时，依题意补全图1；（2）在图1的条件下，延长，交于点，求证：（3）在图2中，当点在线段的延长线上时，连接，若点，恰好在同一条直线时，猜想，之间的数量关系，并证明15已知：在中，（1）如图1，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接求证：；用等式表示线段、之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，的平分线交的延长线于点，连接请补全图形，并用等式表示线段、之间的数量关系，并证明16在等边中，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接如图1，当点与点重合，且的延长线
7、过点时，连接，求线段的长；如图2，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接，求证：；（2）如图3，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积17如图，正方形，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，于，交于，连接（1）补全图形，（用含的式子表示）；（2）判断与的位置关系，并证明；（3）若正方形的边长为2，点是的中点，直接写出的最大值18在中，为的平分线，为边中点，线段绕点旋转得到线段（点是点的对应点），连接，直线交直线于点（1）如图1，当为等边三角形且点在边上时，若，则；（2）如图2，点在边上，与交于点，求证：（3）如图3
8、，若，过点作直线于，连接，当时，请直接写出与的数量关系19如图1，在等边三角形中，为中线，点在线段上运动，将线段绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在射线上，连接，设且（1）当时，在图1中依题意画出图形，并求（用含的式子表示）；探究线段，之间的数量关系，并加以证明；（2）当时，直接写出线段，之间的数量关系20在中，是直线上一点（点不与点、重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点（1）如图1，当点为线段的上任意一点时，用等式表示线段、的数量关系，并证明；（2）如图2，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段、的数量关系是否发生改变，并证明21已知正方形，点是延长线上一点，位置如
9、图所示，连接，过点作于点，连接（1）求证：；（2）作点关于直线的对称点，连接，依据题意补全图形；用等式表示线段，之间的数量关系，并证明22在中，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点，取中点，连接（1）依题意在图1中补全图形；求证：；（2）猜想线段，的数量关系，并证明；（3）当时，若，则的值为 23在等腰直角中，是线段上一动点（与点、不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点（1）若，求的大小（用含的式子表示）（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明24在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“关联点”例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点（1）
10、在点，中，的“关联点”在函数的图象上；（2）如果一次函数图象上点的“关联点”是，求点的坐标；（3）如果点在函数的图象上，其“关联点” 的纵坐标的取值范围是，求实数的取值范围25平面内若，则称点，是点的“互助点”如：平面直角坐标系中，点，是点的“互助点”（1）下列点中是点的“互助点”的是 ，（2）点是轴上一动点，直线上另一个点的“互动点”记为猜想线段与的位置关系并证明直接写出线段长度的取值范围26在平面直角坐标系中，点为一定点，点和图形的“旋转中点”定义如下：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”（1）如图1，已知点，在点，中，点 是点
11、关于线段的“旋转中点”；求点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围；（2）已知点，的半径为2若的内部（不包括边界）存在点关于线段的“旋转中点”，求出的取值范围27在平面直角坐标系中，点坐标为，点为图形上一点我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“宽度”（1）如图，半径为2，与轴分别交于点，在点视角下，的“宽度”为 ，线段的“宽度”为 点为轴上一点，若在点视角下，线段的“宽度”为2，求的取值范围（2）的圆心在轴上，且半径为，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，若线段上存在点，使得在点视角下，的“宽度”可以为2，求圆心的横坐标的取值范围28在的两边，上分别取点，作弧（可以是优弧
12、，也可以是劣弧）若弧上所有点都在内部或边上，称点、是的内嵌点，弧所在圆的半径为的“角半径”，记为例如，图1、图2、图3中的、都是的内嵌点已知，、是的内嵌点时，（1）当时，的最小值是；（2）当，弧是半圆时，求线段长度的取值范围；（3）当，时，求线段长度的范围29规定：平面内点到图形上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离，点到图形上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离，定义点到图形的距离跨度为在平面直角坐标系中，（1）如图1，图形为以为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形的距离跨度：的距离跨度 ；的距离跨度 ；的距离跨度 ；（2）如图2，图形为以为圆心，2为半径的圆，
13、直线上存在到的距离跨度为2的点，求的取值范围；（3）如图3，射线，是以3为半径的圆，且圆心在轴上运动，若射线上存在点到的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 30对于点和给定的，给出如下定义：若上存在点，使点绕点旋转的对应点在上，此时是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则称点为的“等直顶点”若是坐标原点，的半径为2，（1）在点，中，可以作为的“等直顶点”的是 ；（2）若点为的“等直顶点”，且点在直线上，求点的横坐标的取值范围；（3）设的圆心在轴上，半径为2，若直线上存在点，使得半径为1的上存在点是的“等直顶点”，求圆心的横坐标的取值范围；（4）直线分别和两坐标轴交于，两点，若线段上的所有
14、点均为的“等直顶点”，求的半径的最大值与最小值31在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点“例如：点的“可控变点”为点，点的”可控变点”为点（1）点的“可控变点”坐标为 ；（2）若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标是7，求“可控变点” 的横坐标：（3）若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，求的值32在平面直角坐标系中，的半径为2，为外两点，给出如下定义：平移线段，使线段的一个端点落在上，其他部分不在外，点，的对应点分别为点，线段长度的最大值称为线段到的“极大距离”，记为（1）若点当点为，如图所示，平移线段，在点，中，连接点与点的线段的长
15、度就是；当点为，求线段到的“极大距离”所对应的点的坐标（2）若点，的取值范围是33在平面直角坐标系中，的半径为1给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段，分别为点，的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”（1）已知点的坐标为，点在轴上若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为 ；若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为 ；（2）若点，都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围34在平面直角坐标系中，对于，点在边的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的与三条边的公共点个数之和不
16、小于3，则称点为关于边的“点”如图所示，点即为关于边的“点”已知点，（1）如图1，在点、，、中，关于边的“点”为（2）如图2，已知，点为关于边的“点”，请直接写出线段的长度的取值范围；将绕原点旋转一周，直线交轴、轴于点、，若线段上存在关于边的“点”，求的取值范围35如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点在平面直角坐标系中：（1）如图2，已知点，点在直线上若点，点，则在点，中，点 是关于点的内联点；若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围；（2）已知点，点，将点绕原点旋转得到点若关于点的内联点存在，直接写出点横坐标
17、的取值范围36定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点若存在，则称图形与图形关于原点 “平衡”（1）如图1，已知是以为圆心，2为半径的圆，点，在点，中，与关于原点 “平衡”的点是；点为直线上一点，若点与关于原点 “平衡”，求点的横坐标的取值范围；（2）如图2，已知图形是以原点为中心，边长为2的正方形的圆心在轴上，半径为2若与图形关于原点 “平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围37对于平面直角坐标系中的点和，给出如下定义：若上存在一个点，使得，则称点为的“等径点”，已知点，（1）当的半径为1时，在点，中，的“等径点”是；作直线，若直线上的点是的“等径点”，求的取值范围（2）过
18、点作交轴于点，若各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径的取值范围38在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”已知点，点，点（1）当时，记线段为图形画出图形；若点为图形，则“转后距”为；若线段为图形，求“转后距”；（2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出的取值范围39定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同
19、构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”例如：图是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图所示，且它的“派生函数”的解析式为（1）直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式（2）点是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“派生函数”当时，若函数值的范围是，求此时自变量的取值范围；直接写出以点、为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，的取值范围40对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点例：已知，则点为线段的一个覆盖的特征点（1
20、）已知：，点，在，中，是的覆盖特征点的为 ；若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围（2）以点为圆心，半径为1作圆，在抛物线上存在的覆盖的特征点，直接写出的取值范围 41已知的半径为，点是与圆心不重合的点，点关于的反演点的定义如下：若点在射线上，满足，则称点是点关于的反演点图1为点及其关于的反演点的示意图（1）在平面直角坐标系中，的半径为6，与轴的正半轴交于点如图2，若点，分别是点，关于的反演点，则点的坐标是，点的坐标是；如图3，点关于的反演点为点，点在正比例函数位于第一象限内的图象上，的面积为，求点的坐标；（2）点是二次函数的图象上的动点，以为圆心，为半径作圆，若点关于的反演点的
21、坐标是，请直接写出的取值范围42在平面直角坐标系中，图形的“外围矩形”定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小设“外围矩形”的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的“外围矩形比”如图，矩形为的外围矩形，其外围矩形比（1）如图，若点，则外围矩形比的值为 ；（2）已知点，在函数的图象上有一点，若的外围矩形比，求点的坐标；（3）已知点，动点在抛物线上，若的外围矩形比，直接写出点的横坐标的取值范围43在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络
22、图形例如，如图中的正方形即为线段的联络图形已知点，（1）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 （填序号）（2）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围；（3）若第一象限内的点满足，点，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围44点到的距离定义如下：点为的两边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点到的距离，记为特别的，当点在的边上时，在平面直角坐标系中，（1）如图1，若，则，；（2）在正方形中，点如图2，若点在直线上，且，求点的坐标；如图3，若点在抛物线上，满足的点有个，请你画出示意图，并标出点45对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：
23、记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为0例如，点到轴的距离为3，到轴的距离为2，因为，所以点的“引力值”为2（1）点的“引力值”为 ；若点的“引力值”为2，则的值为 ；（2）若点在直线上，且点的“引力值”为2，求点的坐标；（3）已知点是以为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点的“引力值” 的取值范围是 46在平面直角坐标系中，点是轴外的一点，若平面内的点满足：线段的长度与点到轴的距离相等，则称点是点的“等距点”（1）若点的坐标为，点，中，点的“等距点”是；（2）若点和点是点的两个“等距点”，求点的坐标；（3）
24、记函数的图象为，的半径为2，圆心坐标为若在上存在点，上存在点，满足点是点的“等距点”，直接写出的取值范围47在平面内，为线段外的一点，若以，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在点，中，线段的直角点是；（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，直线的解析式为如图2，是直线上的一个动点，若是线段的直角点，求点的坐标；如图3，是直线上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点若的半径为，且上恰有两个点为直线关于点的伴随点，直接写出的取值范围48在平面直角坐标系中，对于第
25、一象限的，两点，给出如下定义：若轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图，则称点与点为关联点（1）在点，中，与为关联点的是 ；（2）如图2，若线段上存在点，使点与点为关联点，结合图象，求的取值范围；（3）已知点，若线段上至少存在一对关联点，直接写出的取值范围参考答案解析一试题（共48小题）1【解答】（1）解：补全图形，如图证明：平分，由旋转，（2）如图所示，在中，此时，的值为2【解答】解：（1）点是等边的边的中点，同理：，故答案为：120；（2）不发生变化，理由：是等边三角形，点，在以点为圆心，为半径的圆上，补全图形如图2所示，四边形为平行四边形，证明如下：由知，点和点关于射线对称，四
26、边形是平行四边形3【解答】解：（1）如图所示（2）证明：点与点关于直线对称，；（3），证明：如图，点与点关于直线对称，由（2）得，（或者，垂直平分，由（2）得，4【解答】解：（1）如图所示：结论：理由：连接，是等边三角形，是等边三角形，即，（2）作于，取的中点，连接，四点共圆，5【解答】解：（1）如图1，连接，由旋转知，旋转角为，故答案为；（2）如图2，连接，在中，点是中点，点和点关于直线对称，点，在以为圆心，为半径的圆上，；（3），理由：如图3，连接并延长至点，使，连接，由（2）知，四边形是平行四边形，6【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：，在和中，为中点；（2）证明：如图2，延长至，使，
27、连接，点是的中点，在和中，在和中，如图3、图4，延长至，使，连接，三点共线，设，则，点是的中点，在和中，在和中，当点在内部时，如图3，则，；当点在外部时，如图4，则，；综上所述，的值为或7【解答】解：（1），故答案是；不变，理由如下：，（2）如图，作于，即，是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，8【解答】解：（1）图形如图所示（2）结论：理由：如图，作于四边形是正方形，在和中，四边形是平行四边形，9【解答】解：（1）如图1所示：是等边三角形，又，时，连接，过作于，则四边形是矩形，由旋转的性质得：，与重合，、三点共线，是等边三角形，即；（2）理由如下：延长至，使得，连接，如图2所示：
28、为线段的中点，四边形是平行四边形，是等边三角形，以为中心，将线段逆时针旋转得到线段，在和中，是等边三角形又，10【解答】解：（1）补全的图形，如图1所示：（2）解：理由如下：由矩形性质知，在与中，线段，之间的数量关系：证法一：如图2，在线段上取点，使得，连接在与中，为等腰直角三角形证法二：如图3，过点作的垂线，与的延长线交于点，连接，在与中，为等腰直角三角形，即11【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：由旋转得：，；在上截取，连接，如图2所示：则，由旋转得：，在和中，；（3）解：猜想时，对于任意的点都有；理由如下：在上截取，连接、，如图3所示：则，是等边三角形，在和中，1
29、2【解答】解：（1）补全图形，如图1所示：（2）证明：连接，如图四边形是菱形，是菱形的对角线，又，由菱形的对称性可知，则，在与中，；（3）由（2）得，在三角形中，13【解答】解：（1）补全图形如图1，证明：如图1，设与的交点为点，根据题意可知，；证明：如图2，过点作交于点，又，在等腰直角中，（2）证明：如图3，过点作交于点，由（1）可知，同（1）可得，14【解答】解：（1）补全图形如图（2）如图1，延长，交于点，四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转得到线段，；（3）证明：连接，如图2，线段绕点顺时针旋转得到线段，四边形是正方形，在中，在中，又，15【解答】证明：（1）将线段绕点逆时针旋转得到，
30、且，平分，又，理由如下：过点作于点，（2）补全图形如图，理由如下：如图2，以为顶点，为一边作，交延长线于点，平分，将线段绕点逆时针旋转得到，又，是等边三角形，16【解答】解：（1）过作于，如图：线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点，是等边三角形，等边，中，中，中，；过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图：绕点逆时针旋转得到线段，是等边三角形，是等边三角形，、共圆，而是等边三角形，即，、共圆，而，由得，中点，中，即，中，中，；补充方法：构造等腰，使，且，如图：，与共线，可证，而，且，可得，；（2）以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图：中，最小即是最小，此时、共
31、线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，则、轨迹的夹角，而，四边形是矩形，等边中，又，等边中，点为中点时，点为中点，中，中，17【解答】解：（1）如图1，四边形是正方形，故答案是：；（2）如图2，理由如下：，点、共圆，；（3）如图3，连接，点在以为直径的上，过点作的直径，则最大，即的最大值是：18【解答】（1）解：如图1中，是等边三角形，是角平分线，（2）证明：如图2中，平分，设，则，（3）解：如图3中，结论：理由：连接，四点共圆，是等边三角形，19【解答】解：（1）当时，画出的图形如图1所示，为等边三角形，为等边三角形的
32、中线，为线段上的点，是的垂直平分线，由等边三角形的对称性得，线段为线段绕点顺时针旋转所得，；解：如图2，延长到点，使得，连接，作于点，点在上， 点在的延长线上，又，于点，在等边三角形中，为中线，点在上，即为底角为的等腰三角形（2）如图4，当时，在上取一点使，为等边三角形，为等边三角形的中线，为线段上的点，是的垂直平分线，由等边三角形的对称性得，线段为线段绕点顺时针旋转所得，又，于点，在等边三角形中，为中线，点在上，即为底角为的等腰三角形20【解答】解：（1）结论：，理由如下：过作于，在和中，；（2）依题意补全图形，结论：，理由如下：过作交的延长线于，在和中，21【解答】（1）证明：，四边形是正
33、方形，又，（2）如图：图形即为所求作解：结论：理由：在上截取点，使得，连接四边形是正方形，在和中，是等腰直角三角形，点关于直线的对称点是点，四边形为平行四边形，22【解答】（1）解：补全图形如图，证明：，（2）当点在上时，结论：，证明：如图2，连接，是的中点，；如图，当点在上时，结论为：，理由如下：，是的中点，；（3），又，故答案为：23【解答】解：（1）；理由如下：，是等腰直角三角形，；（2）；理由如下：连接，作，如图所示：，在和中，是等腰直角三角形，方法二：也可以延长到，使得则易证，即24【解答】解：（1）点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，将点的坐标代
34、入函数，得和在此函数图象上，故答案为：、；（2）当时，点，则，解得：（舍去）；当时，点，解得：，点；（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点” 的纵坐标的取值范围是，而，函数图象只需要找到最大值（直线与最小值（直线直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束都符合要求，即，解得：（舍去负值），观察图象可知满足条件的的取值范围为25【解答】解：（1）由定义可得点的“互助点”指到点的距离为2的点，点，点是点的“互助点”，故答案为，；（2）猜想，理由如下：连接，点，点是点的“互助点”，故答案为；，点，点在以为直径的圆上运动，当点在线段上时，有最小值为，当点在线段上时，有最大值为，的取值范
35、围为：，故答案为：26【解答】解：（1）如图1，绕点顺时针旋转至，可知：是的中点，点是点关于线段的“旋转中点”，点和点不是点和上的点连线的中点，点和点不是点关于线段的“旋转中点”，故答案是；如图2，连接，取的中点，作于，（2）、绕点顺时针旋转对应的点，设的一点的坐标，中点记作，在内，27【解答】解：（1）连接，连接并延长，交于点，如图，则，为点到的长度的最大值与最小值，在点视角下，的“宽度”为；半径为2，与轴分别交于点，点坐标为，点到线段的最大长度为5，最小值为3，在点视角下，线段的“宽度”为；故答案为；4；2；由（1）知：，当点在线段（不含端点）上时，不合题意；当点在点的右侧时，点到的最小距离为3当时，不合题意；当点在点的左侧时，综上，的取值范围为或（2）一次函数的图象与轴，轴分别交于点，令，则，令，则，的半径，在点视角下，的“宽度”为2，点在的内部，它的轨迹为以点为圆心1为半径的圆点线段上，线段与该轨迹有公共点当点在点的右侧时，设该轨迹与切于点，连接，则，圆心的横坐标的范围为：；当点在点的左侧时，该轨迹经过点时，满足条件，圆心的横坐标的范围为：，综上，圆心的横坐标的范围为：28【解答】解：（1），是等边三角形，当是圆的直径时，故答案是1；解：（2）如图1，作于，如图2，作交于，；（3）如