1、2022年北京各校九年级数学中考复习训练：圆综合一圆中特殊角（共20小题）1如图，在中，以为直径的半圆交于点，是该半圆所在圆的圆心，为线段上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径2如图，是的直径，为上两点，于点，交的延长线于点，且（1）求证：是的切线；（2）连接，若，求四边形的面积3如图，为的直径，为上一点，的切线交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求的长4已知中，在上，以为直径的与相切于，连接（1）求证：平分；（2）如果，求的半径5如图，在中，以为直径的圆交于点，是该圆圆心，为线段上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径6如图，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线
2、，交的延长线于点，连接（1）求证：是的切线；（2）连接，若，求的长7如图，是的直径，弦于点，在的切线上取一点，使得（1）求证：是的切线（2）若，求的长8如图，为的直径，是上的点，是外一点，于点，平分（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径9已知：如图为直径，是上一点，在的延长线上，（1）求证：是的切线（2）若与相切，且，求的半径10如图，内接于，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，在弦上取一点，使，连接并延长交于点（1）求证：；（2）若，求的长11如图，是的直径，与交于点，弦平分，垂足为（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若的半径为2，求线段的长12如图，割线与相交于、两点，为上
3、一点，为弧的中点，交于，交于，（1）求证明：是的切线；（2）若，的半径为4，求的长13如图，是的直径，弦于点，点是延长线上一点，（1）求证：是的切线；（2）取的中点，连接，若的半径为2，求的长14如图，是直径，点是上一点，点为延长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）过点作交于点，的延长线交于点，若的直径为4，求线段的长15如图，在中，以为直径的与交于点，垂足为，的延长线与的延长线交于点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求的长16如图，是的弦，是优弧上一点，交延长线于点，连接（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径17如图，中，点在边上，以为直径的与直线相切于点，且是中点，连接（1）
4、求证：；（2）连接，若，求的半径18如图，为的直径，点在的延长线上，与相切于，过点作交于点，连接，若，求的半径19如图，中，点在边上，以为直径的与直线相切于点，且是中点，连接（1）求证：；（2）连接，若的半径为2，求20已知：如图，是的直径，点为半径的中点，弦于点，过点作交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若点在弧上，且，交于点请补全图形；若，求的长二圆中勾股定理（共15小题）21如图，在中，以为直径的分别交，于点，过点作的切线交的延长线于点，连接（1）求证：；（2）过点作于点，若，求的长22如图，是的直径，平分交于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径23如图，在中，以为直径作交
5、于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点（1）求证：与相切；（2）若，求的长24如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点（1）求证：；（2）若长为8，求的半径长25如图在中，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求半径的长26如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接（1）求证：平分；（2）若，求长27如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长28已知：如图，是直径，延长直径到点，使，是的弦，于点，（1）求证：是的切线；（2）连接并延
6、长交于点，连接，请补全图形并求的长29如图，中，点在边上，以为直径作交的延长线于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径30如图，四边形内接于，是的直径，交的延长线于点，平分（1）求证：是的切线（2）若，求的长31如图，为的直径，为上一点，于点为延长线上一点，（1）求证：为的切线；（2），求的半径32如图，在中，是角平分线，点在上，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长33如图，是的直径，是弦，于点，点在直径的延长线上，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长34如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为（1）求证：为的切线；（2
7、）若，的直径为10，求的长度35如图，是的两条切线，切点分别为，；是的直径，过点作于，交于点（1）求证：；（2）若，求长三圆中相似（共12小题）36如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点（1）求证：是切线；（2）若，求的长37如图，在中，以为直径的与边相交于点，与边相交于点，垂足为点，连接（1）求证：与相切；（2）若，的半径，求的长38如图，在中，平分交于点，点是边上一点，以为圆心作且经过，两点，交于点（1）求证：是的切线；（2），求的长39如图，是的直径，与相切于点点在上，且，连接交于点过点作于点，交于点，交于点（1）求证：（2）连接，若，求的长40已知：如图，是的直径，是弦，于
8、点，交于点，连接，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长41如图，是的直径，直线与相切于点过点作的垂线，垂足为，线段与相交于点（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长42如图，中，以为直径的交于点，交于点过作，垂足为（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径43已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径44如图，在中，以为直径的交于点，是中点，连接（1）判断与的位置关系并说明理由；（2）设与的交点为，若，求的长45如图，为的直径，分别切于点，交的延长线于点，的延长线交于点，于点若，（1）求证：；（2）求的半径长（3）求线段的长46如图，是的直径，
9、点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的长47如图，在中，是角平分线，点在上，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长四圆中三角函数（共13小题）48如图，是的直径，为延长线上一点，过点作的切线，为切点，点是的中点，连接并延长交于点，连接，（1）求证：；（2）若，求的半径49如图，已知是以为直径的的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求的长50如图，内接于，过点作的切线，为射线上一点，连接（1）求证：；（2）若的直径为5，求的长51如图，是的直径，为上一点，过点作
10、的切线，交延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的长52如图，中，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点（1）求证：是的切线；（2）若，半径，求的长53如图，内接于，是的直径是的切线，为切点，于点，交于点（1）求证：；（2）若，求的长54如图，切于点，联结并延长交于点，过点作交于点，联结，（1）求证：是的切线；（2）如果，求的半径55如图，是的直径，点在上，与相切，连接，（1）求证：；（2）若，求的半径长56如图，为的外接圆，为的直径，平分，过点作，垂足为（1）求证：为的切线；（2）若，求的直径57如图，为的直径，直线与相切于点，过点
11、作于点，交于点（1）求证：；（2）若，求的长58如图，在，以为直径的分别交、于点、，且是的切线，交的延长线于（1）求证：（2）若，求和的长59如图，在中，以为直径作交于点，交于点，且是中点，垂足为，交的延长线于点（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的长60如图，以的边为直径作，与交于点，点是弧的中点，连接交于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长参考答案解析一圆中特殊角（共20小题）1【解答】（1）证明：连接，是的切线；（2）解：，为直径，是的切线是的切线，中，的半径为22【解答】（1）证明：如图，连接，且，即，是的半径，点为半径外端，是的切线；（2）解：，四边形是平行四边形，是等边三角
12、形，在中，3【解答】（1）证明：是的切线，是的直径，；（2）解：在中，4【解答】（1）证明：连接，为的切线，是的平分线；（2）解：是的切线，的半径为5【解答】（1）证明：连接，是的切线；（2）解：，为直径，是的切线是的切线，中，的半径为16【解答】（1）证明：连接，是的中点，是的切线；（2）解：连接，是等边三角形，由（1）可得，四边形是菱形，7【解答】（1）证明：是的切线，是的切线；（2）连接，是的切线，8【解答】（1）证明：连接，平分，是的半径，是的切线；（2）解：连接，平分，为的直径，设，则，的半径为29【解答】解：（1）与相切证明：为的直径，是上一点，即；，且，是的切线（2）在中，；，的
13、半径为1010【解答】（1）证明：是的切线，为的直径，；（2）解：连接，是直径，即，11【解答】解：（1）直线与相切，连接平分，即，即，是的切线；（2）过作于，四边形是平行四边形，四边形是菱形，12【解答】（1）证明：连接为的中点，于，则，即，是的切线；（2）作于，13【解答】解：（1）连接，如图1所示：，是的直径，为的切线；（2）连接如图2所示：是中点，是中点，过圆心，是中点，14【解答】（1）证明：连接，是的切线（2）解：，直径为4，15【解答】（1）证明：如图，连接，是直径，又在中，又，为半径，是的切线；（2）解：的半径为2，过作于，则四边形是矩形，16【解答】（1）证明：连接，如图，于
14、，又点在上，是的切线；（2）解：作于点，在中，17【解答】（1）证明：连接，如图，以为直径的与直线相切于点，是中点，垂直平分，；（2）解：设的半径为，平分，在中，在中，解得，即的半径为118【解答】解：连接，交于点，如图，与相切于点，；是直径，是等腰直角三角形，的半径为19【解答】（1）证明：如图，连接，与直线相切于点，（2）解：如图，连接，与相切于点，的长为20【解答】（1）证明：如图，在中，于点，是的半径，且，是的切线（2）补全图形如图所示如图，连接，作于点，则，垂直平分，是等边三角形，解得或（不符合题意，舍去），二圆中勾股定理（共15小题）21【解答】（1）证明：连接，是直径，是的切线，
15、；（2）解：，是直径，在中，22【解答】解：（1）如图，连接，平分，又，是的切线；（2）如图，连接，交于，是的直径，又，四边形是矩形，设的半径为，在中，由勾股定理得，解得即半径为523【解答】（1）证明：连接，是的直径，又，过0，与相切；（2）解：，24【解答】（1）证明：直径弦，点在圆上，；（2）解：连接，直径弦，设圆的半径是，则，在中，由勾股定理得：，解得：，的半径长为25【解答】（1）证明：如图，连接，是的角平分线，经过为的半径的端点，且，是的切线（2）如图，设的半径为，则，作于点，则，四边形是矩形，解得，的半径长为526【解答】（1）证明：如图1，连接，则，是的切线，平分（2）解：，过
16、点作于点，则四边形为矩形，设，则，在中，解得：，27【解答】（1）证明：是的切线，即是的平分线；（2）解：设的半径为，则，在中，即，解得，则28【解答】（1）证明：，是直径，是的半径，是的切线；（2）解：连接，在中，是的中位线，在中，29【解答】解：（1）如图，连接，又，即，是的半径，是的切线（2）在中，设的半径为，则，在中，解得，的半径为330【解答】（1）证明：连接，平分，点在上，是的切线（2）解：过点作，垂足为点四边形是矩形，又，在中，即的半径为，在中，31【解答】（1）证明：连接，如图，于点，半径为的切线（2）解：设的半径为在中，解得的半径为232【解答】（1）证明：连接，为平分线，则
17、为圆的切线；（2）解：过作，连接，四边形为矩形，在中，利用勾股定理得：，33【解答】（1）证明：连接，又是的半径是的切线（2）解：是的直径，在中，设，则解得（舍负值）在中，34【解答】（1）证明：连接，平分，为半径，为的切线；（2）解：过作，垂足为，四边形为矩形，设，则，的直径为10，在中，由勾股定理得即，化简得，解得，大于0，故舍去，从而，由垂径定理知，为的中点，35【解答】（1）证明：连接，如图，是的切线，是的直径，在和中，；（2）连接交于，如图，是的切线，四边形为矩形，设，则，是的两条切线，而，在中，解得（舍去），的长为三圆中相似（共12小题）36【解答】（1）证明：连接；是的平分线，是
18、切线（2）解：过点作，是的平分线，在中，由勾股定理得：，37【解答】（1）证明：如图，经过的半径的外端，且，与相切（2）如图，连接交于点，是的直径，四边形是矩形，38【解答】（1）证明：，平分，是半径，是的切线；（2）解：，设，则，解得，39【解答】（1）证明：与相切于点，；（2），是的直径，即，40【解答】（1）证明：如图，经过的半径的外端，且，是的切线（2），；，41【解答】（1）证明：连接，直线与相切于点，即是的平分线；（2）解：连接，连接交于点，是的直径，为线段中点，即，解得，为直径中点，为线段中点，42【解答】（1）证明：连接是的直径，又，是的中点，连接；由中位线定理，知，又，是的切
19、线；（2）解：连接，是的直径，的半径43【解答】（1）证明：连接，即在上，为的半径，是的切线（2）解：，连接是的直径，解得的半径是44【解答】解：（1）与相切理由如下：连接、，如图，为直径，为的斜边的中点，而，为的切线；（2），为的中位线，45【解答】解：（1），是的切线，又，又，；（2）在中，在中，设，则，由勾股定理得，即，即的半径为3；（3）由勾股定理得，即：，46【解答】（1）证明：连接，又是的直径，即，是半径，是的切线；（2）解：，且，设，又，即的长为47【解答】（1）证明：连接，如图，为平分线，是的切线；（2）解：过作，连接，则四边形为矩形，在中，利用勾股定理得：，解得：，是的切线，
20、即，解得：或（舍去），即的长为4四圆中三角函数（共13小题）48【解答】（1）证明：，点是的中点，；（2）解：连接，如图，直线是的切线，在中，设，即，在中，解得，即的半径的长49【解答】解：（1）是圆的切线，是圆的直径，又（2），在中，由勾股定理得，即解得：50【解答】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，是的切线，；（2）解：过点作于点，由（1）得，在中，在中，在中，51【解答】解：（1）连接，在与中，切于点，直线是的切线；（2），设，由（1）证得，由切割线定理得：，52【解答】（1）证明：连接，是的切线；（2）解：连接，是直径，在中，在中，53【解答】解：（1）是圆的切线，是圆的直径，
21、（2）如图所示，过点作，垂足为，解得：54【解答】（1）证明：如图，连接，是的切线，于点，在和中，直线为的切线，（2）在中，设，在中，由勾股定理，得，解得，（不合题意，舍去），即的半径的长555【解答】（1）证明：连接与相切，为半径，是的直径，又，即（2）解：，是的直径，的正切值为，设，则，在中，解得：，的半径长为356【解答】（1）证明：连接；为的直径，平分，；，为的切线（2）解：，；，的直径为557【解答】（1）证明：连接，为的切线，又，即（2）过点作于点，连接，为的直径，又于点，四边形是矩形，为的直径，在中，58【解答】（1）证明：如图1，连接是的直径，是的切线，（2）解：由（1）可知，在中，如图2，过作于点，则，即，解得，由勾股定理可求得，又，即，解得59【解答】（1）证明：如图，连接，是的中位线，即，直线是的切线；（2）解：，在中，设的半径为，则，解得，在中，60【解答】（1）证明：连接，如图1所示是弧的中点，为直径，即又过半径外端，是的切线（2）解：过点作于点如图2所示：在中，设，则，由勾股定理得：，设，则在中，解得：