1、2021年北京市西城区九校联考高三上期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1已知集合，1，3，则A，B，C，D，2下列命题中的假命题是A，B，C，D，3若，则ABCD4为了得到函数的图像，只需把函数的图像A向左平移1个单位长度B向右平移1个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度5若，则下列不等式中，正确的是ABCD6的A最大值为4，最小正周期为B最大值为4，最小正周期为C最小值为0，最小正周期为D最小值为0，最小正周期为7定义在上的偶函数满足，且在，上单调递增，（3），（2），则，大小关系是ABCD8已知平面向量，满足，若，则A1B2CD9在中，“”是“”的A充
2、分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10对于定义在上的函数，若存在非零实数，使在和，上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是ABCD二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11函数的定义域是 12已知向量，且，则13已知为第三象限角，且，则；14唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为，他以的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点，点到船底的距离是（单位：，轮子旋转时间为（单位：当时，点在轮子的最高处（1）当点第一次入水时，（2）当时，15已知函数，任取，定义集合，点
3、，满足设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，给出以下四个结论：若函数，则；若函数，则的最大值为；若函数，则在上单调递增；若函数，则的最小正周期为2其中所有正确结论的序号为 三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）16（14分）已知集合，（1）若，求；（2）若，求的取值范围17（14分）如图，在四边形中，且，（1）求的长；（2）若_，求的面积从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答18（14分）已知函数（）求曲线在处的切线方程；（）若方程恰有三个不同的解，求实数的取值范围19（14分）已知函数（）求的单调递增区间；（）若在区间，上的最大值是4，求的取值范
4、围；（）令，如果曲线与直线相邻两个交点间的距离为，求的所有可能取值（直接写出结论）20（15分）设函数，其中（）若是函数的极值点，求的值；（）当时，求函数的单调区间；（）当时，设函数，证明：21（14分）数列，满足，或，2，对任意，都存在，使得，其中，2，且两两不相等（）若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；1，1，1，2，2，2；1，1，1，1，2，2，2，2；1，1，1，1，1，2，2，2，2，2（）记，若，证明：；（）若，求的最小值参考答案一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1【分析】求出集合，由此能求出【解答】解：集合，1，2，1，3，故选：【点评】本题考查集
5、合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2【分析】举例可判断；由的单调性可判断；由的值域可判断；由的值域可判断【解答】解：对于，当时，所以，故正确；对于，由的单调性可知，当时，当时，当时，故错误；对于，由的值域为，可知正确；对于，由的值域为可知正确；故选：【点评】本题考查了全称命题、特称命题真假的判断，属于基础题3【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案【解答】解：，则故选：【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题4【分析】根据指数幂的运算法则，以及图象变换关系进行判断即可【解答】解：，即只需把函数的图像向左平移个单位即可，故选：【
6、点评】本题主要考查函数图象的变换，根据指数幂的运算法则进行化简是解决本题的关键，是基础题5【分析】由，可得，结合不等式的性质，判断选项的正误即可【解答】解：，所以不正确；，所以，所以不正确；，所以正确；，所以，所以不正确；故选：【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题6【分析】将函数化简，可得最小正周期，再由二次函数的性质可得其最值，选出正确结论【解答】解：，可得函数的最小正周期为，且，当时，函数取到最小值，当时，函数由最大值，故选：【点评】本题考查三角函数的周期性及二次函数的最值的求法，属于中档题7【分析】先根据条件推断出函数为以2为周期的函数，根据是偶函数，在，上单调
7、递增推断出在，上是减函数减函数，进而利用周期性使（1），（2）进而利用自变量的大小求得函数的大小，则，的大小可知【解答】解：由条件，可以得：，所以是个周期函数周期为2又因为是偶函数，所以图象在，上是减函数（3）（1），（2）所以故选：【点评】本题主要考查了函数单调性，周期性和奇偶性的应用考查了学生分析和推理的能力8【分析】依题意，得，解之可得答案【解答】解：，若，解得：或（舍去），故选：【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于中档题9【分析】在中，得出答案【解答】解：在中，故“”是“”的充要条件，故选：【点评】本题考查四个条件的判断，并考查了解三角形问题，属于基础题
8、10【分析】根据折点的定义，结合函数单调性，奇偶性依次对选项进行判断即可【解答】解：对于，所以函数没有零点，故错误；对于，当时，此时为单调递增函数，当时，即时有零点，因为定义域为，所以函数为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在上也有零点，故正确；对于，因为，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值（1），而（3），所以在上有且只有一个零点，从而没有“折点”故不符合题意；对于，定义域为，所以在上单调递减，所以函数至多有一个零点，不符合题意，故错误；故选：【点评】本题考查了函数的零点的存在性，属于中档题二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11
9、【分析】根据对数函数的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：，解得：且，故函数的定义域是，故答案为：，【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是基础题12【分析】根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法计算可得答案【解答】解：根据题意，向量，则，若，则，解可得：，故答案为：【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量的坐标计算，属于基础题13【分析】直接利用三角函数的定义和三角函数的值的应用求出结果【解答】解：已知为第三象限角，且，所以，；故，故答案为：；【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的定义，主要考查学生的运算能力和数
10、学思维能力，属于基础题14【分析】（1）算出点从最高点到第一次入水的圆心角，即可求出对应时间；（2）由题意求出关于的表达式，代值运算即可求出对应【解答】解：（1）如图所示，当第一次入水时到达点，由几何关系知，又圆的半径为3，故，此时轮子旋转的圆心角为：，故，（2）由题可知，即，当时，故答案为：，【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题15【分析】对于，函数，当时，且，即，再结合换元法，即可求解，对于和，若函数，此时函数的最小正周期为，点，结合图象，即可依次求解【解答】解：对于，函数，当时，且，即，令，即，解得，故正确，由题意可得，的轨迹是以为圆心
11、，为半径的圆及其内部当点在曲线上运动，的最大值与最小值的差一定小于等于圆的直径，故正确，对于和，如图所示，若函数，此时函数的最小正周期为，点，当在点时，点在曲线上，当点在曲线从接近时，逐渐增大，当点在点时，当点在曲线从接近时，逐渐减小，当点在点时，当点在曲线从接近时，逐渐增大，当点在点时，当点在曲线从接近时，逐渐减小，当点在点时，依次类推，发现的最小正周期为2，同时在上单调递增故答案为：【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于难题三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）16【分析】（1）求出，求出，的交集即可；（2）根据，得到关于的不等
12、式，解出即可【解答】解：（1），时，故；（2），若，则，解得：，故的取值范围是，【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，指数函数的性质，是基础题17【分析】（1）根据二倍角的余弦公式可得，进而得出，利用余弦定理计算即可得出；（2）选，根据两角和的正弦公式可得，利用正弦定理求出，结合三角形面积公式计算即可；选，利用余弦定理求出，结合三角形面积公式计算即可【解答】解：（1），在三角形中，；（2）选：，由（1）知，由，可得，所以，在中，由正弦定理，得，则，所以选：，由（1）知，由，得，在中，由余弦定理，得，即，解得，所以【点评】本题考查了三角形的解法，考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式
13、以及三角函数恒等变换的应用，考查了学生的数学运算能力，属于中档题18【分析】（）利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率为，又又，利用直线的点斜式方程可求得答案；（）方程恰有三个不同的解直线与曲线有三个不同的交点，利用导数研究的单调性与极值，即可求得答案【解答】解：（），又，所以在处的切线方程为：，即；（）方程恰有三个不同的解直线与曲线有三个不同的交点，因为，所以当或时，当时，所以在，上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值（2）；又当时，；时，所以若恰有三个不同的解，则，所以实数的取值范围为【点评】本题考查利用导数研究函数的零点与方程根的关系及利用导数研究曲线上某点的切
14、线方程，考查等价转化思想、分类讨论思想、极限思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题19【分析】（）利用正余弦二倍角公式、诱导公式化简，再由正弦函数的单调性即可求解；（）由题意可得在，上的最大值是1，由可得，数形结合可得，解不等式即可求解；（）令可得，求出的值，由相邻的差为即可得值【解答】解：（）因为，令，可得：，所以的单调递增区间为，（）由（）知，若在区间，上的最大值是4，则在，上的最大值是1，由，可得，所以，可得：，所以的取值范围为，（）令，可得，所以，或，可得，或，因为曲线与直线相邻两个交点间的距离为，所以，可得，或，可得，所以的所有可能取值为3或6【点评】本题主要考查
15、了三角函数恒等变换的应用和正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题20【分析】（）求导得，由于是函数的极值点，则（1），解得（）由（）知，令，得或，分析的正负，进而可得的单调性（）当时，设，定义域为，则证明即可【解答】解：（），因为是函数的极值点，所以（1），即，所以（）由（）知，令，得或，若，则，故当时，所以函数在在单调递增，若，在，时，上单调递增，当时，函数在上单调递增，当，时，上单调递减（）证明：当时，设，定义域为，则证明即可，因为，所以，（1），又因为，所以函数在上单调递增，所以有唯一的实根，且，当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数的最小值所以，所以【点评】本题考
16、查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题21【分析】（1）由题干的四个限定条件对数列序号逐一判断即可；（2）由反证法证明即可；（3）由（2）得出一个，证明，满足题意，即可得的最小值，【解答】解：（1）由题可知，数列必满足：，或1，对任意，都存在，使得，且两两不相等，对，不满足，故不符合；对，当时，存在，同理当时，存在，当时，存在，故符合；同理对也满足，故满足题目条件的序列号为：；（2）证明：当时，设数列中1，2，3出现的频次为，由题意知，假设时，（对任意，与已知矛盾，故，同理可证，假设，数列可表示为：1，1，2，3，3，3，3，显然，故，经验证时，显然符合，所以，数列的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故；解：（3）由（2）知，数列首尾应该满足，1，1，1，2，2，3，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，998各出现一次，此时，显然满足或，对或时显然满足，；对，或，时显然满足，；对，时，则可选取，满足，同理若，则可选取，满足；如果，则可取，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意，都存在，使得，其中，且两两不相等，故的最小值为1008【点评】本题考查数列的递推公式及数列的通项公式，属于难题