1、2021年北京市西城区四校联考高三上期中数学试卷一、选择题。（每题4分，共40分）1已知集合，2，若，则的取值范围为A，B，C，D，2下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是ABCD3已知，则实数，的大小关系是ABCD4在等差数列中，则公差的值为ABCD5角的终边经过点，且，则ABCD6已知数列的前项和为，且，则AB16C31D327将函数的图像沿轴向左平移个单位后，所得图像经过点，则的最小值为ABCD8函数是上的减函数，则实数的取值范围是ABCD，9已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10设，其中，若对一切恒成立，
2、则下列结论正确的是；既不是奇函数也不是偶函数；的单调递增区间是，；存在经过点的直线与函数的图象不相交ABCD二、填空题。（每题5分，共25分）11在中，则；12已知等比数列的前项和为，如表给出了的部分数据：12341019则数列的公比，首项13已知14已知函数，若（a）（b），则的取值范围是 15已知函数和同时满足以下两个条件：对任意实数都有或；总存在，使成立则的取值范围是 三、解答题（共6小题共85分）16（13分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间，上的最大值和最小值17（14分）已知等差数列满足，（）求的通项公式；（）等比数列的前项和为，且，再从条件、条件、条件这三个条件中选择
3、两个作为已知条件，求满足的的最大值条件：；条件：；条件：18（14分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；（2）从图中，四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望；（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小（只需写出结论）19（14分）如图，在正方体中，为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值
4、20（15分）已知椭圆过点，且焦距为（）求椭圆的方程；（）过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点是否存在常数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由21（15分）已知函数（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为（a），试求（a）的最大值参考答案一、选择题。（每题4分，共40分）1【分析】求出集合，2，由，能求出的取值范围【解答】解：集合，2，的取值范围为，故选：【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2【分析】根据题意，依次分析选
5、项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，是偶函数，在不是增函数，不符合题意；对于，是偶函数，在是减函数，不符合题意；对于，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；对于，是偶函数且在上单调递增，符合题意；故选：【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题3【分析】根据对数函数和指数函数的单调性容易得出，从而可得出，的大小关系【解答】解：，故选：【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题4【分析】直接利用等差数列的通项公式代入即可求解公差【解答】解：等差数列中，故选：【点评】
6、本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用是，属于基础试题5【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值【解答】解：角的终边经过点，且，则，故选：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题6【分析】先根据，求出数列的通项公式，再将代入可求出所求【解答】解：当时，当时，是首项为1，公比为2的等比数列，故选：【点评】本题主要考查了数列的概念及简单表示法，以及等差数列的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题7【分析】由条件利用函数的图像变换规律，正弦函数的图像和性质即可求得的最小值【解答】解：函数的图像沿轴向左平移个单位后，所得的图像对应的函数解析式为，再根据所得图像经过点，可得
7、，则可得，解得，又，求得的最小值为故选：【点评】本题主要考查函数的图像变换规律以及正弦函数的图像和性质，属于基础题8【分析】根据为减函数，以及减函数定义、反比例函数和一次函数单调性即可得出，解该不等式组即可得出实数的取值范围【解答】解：是上的减函数；解得；实数的取值范围是故选：【点评】考查减函数的定义，分段函数单调性的判断，以及反比例函数和一次函数的单调性9【分析】数列单调递增，可得的范围由“”可得：，可得的范围即可判断出关系【解答】解：数列单调递增，可得：，化为：由“”可得：，可得： “”是“数列单调递增”的充要条件，故选：【点评】本题考查了等比数列的单调性、不等式的性质、充要条件的判定方法
8、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10【分析】由题意知，是的最大值或最小值，且的周期为；为个周期，；由可得，则既不是奇函数也不是偶函数；若是的最大值，则，是的单调减区间；由，结合三角函数的图象可得，不存在经过点的直线与函数的图象不相交【解答】解：，又对一切 恒成立，是的最大值或最小值，的周期为，为个周期，；由，则，则既不是奇函数也不是偶函数；若是的最大值，则，是的单调减区间；，不存在经过点的直线与函数的图象不相交故选：【点评】本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质，用到了数形结合的思想，属于中档题二、填空题。（每题5分，共25分）11【分析】由已知结合余弦定理先求出，然后结合正弦定理
9、即可直接求解【解答】解：由余弦定理得，整理得，解得或（舍，由正弦定理得，所以，所以故答案为：6，【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，考查了数学运算的核心素养，属于基础题12【分析】由表格可得：等比数列的前项和为，满足：，利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：由表格可得：等比数列的前项和为，满足：，公比，可得，联立解得：，故答案为：，4【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13【分析】由与分别为锐角，根据，的值，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各种的值代入计算求出值，利用特殊角的三角函数
10、值即可求出的度数【解答】解：，是锐角，则故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键14【分析】画出函数的大致图像，不妨设，则，且，再利用基本不等式即可求出结果【解答】解：画出函数的大致图像，不妨设，如图所示，由图像可知，又，解得，的取值范围是，故答案为：【点评】本题主要考查了函数图像的变换，考查了基本不等式的应用，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题15【分析】由于时，根据题意有在时成立；由于，而，则在时成立由此结合二次函数的性质可求出结果【解答】解：对于，当时，又，或在时恒成立则由二次函数的性质可知开口
11、只能向下，且二次函数与轴交点都在的左面，即，可得又，此时恒成立在有成立的可能，则只要比，中的较小的根大即可，当时，较小的根为，不成立，当时，两个根同为，不成立，当时，较小的根为，即成立综上可得成立时故答案为：【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键，是中档题三、解答题（共6小题共85分）16【分析】（）利用两角和与差的三角函数关系将转化为，即可求得的最小正周期；（）由，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值【解答】解：（），的最小正周期；（），【点评】本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得的解析式是
12、关键，属于中档题17【分析】（1）用和表示出已知的两个式子，求解出和即可；（2）利用已知求出等比数列的首项及公比，构造出前项和，再解不等式即可【解答】解：设等差数列的公差为，解得：，（）选择：由可知：，所以，所以因为，所以，因为，所以，因为数列为等比数列，所以公比，所以，所以，解得选择：由可知：，所以，所以因为，所以，因为数列为等比数列，所以，因为，所以，所以，所以，所以，解得选择：由可知：，所以，所以，因为，所以，因为数列为等比数列，所以，解得：或，因为，所以，所以，所以，所以，解得【点评】本题考查了数列递推关系及简单的不等式求解，考查了计算能力，属于简单题18【分析】（1）由图求出在50名
13、服药患者中，有15名患者指标的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率（2）由图知：、两人指标的值大于1.7，而、两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标的值大于1.7的人数的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和（3）由图知100名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标的值小于60，答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：（2）由图知：、两人指标的值大于1.7，而、两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标的值
14、大于1.7的人数的可能取值为0，1，2，的分布列如下：012答：（3）答：由图知100名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题19【分析】（）连接交于点，连接，证明然后证明平面（）不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可【解答】（）证明：连接交于点，连接，在正方形中，因为为的中点，所以（3分）因为平面，平面，所以平面（）解：不妨设正方体的棱长
15、为2，建立如图所示的空间直角坐标系则，0，2，2，2，所以，（8分）设平面的法向量为，所以所以即（10分）令，则，于是，（11分）设直线与平面所成角为，则（13分）所以直线与平面所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题20【分析】（）椭圆过点，且焦距为，列方程组，解得，即可得出答案（）“存在常数，使得成立“等价于“存在常数，使得成立”，即“存在常数，使得成立”，联立直线与椭圆的相交问题，结合韦达定理可得，即可得出答案【解答】解：（）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为（）设，因为点与点关于轴对称，所以
16、，所以直线的斜率为，直线的方程为，令，解得，所以，因为，“存在常数，使得成立“等价于“存在常数，使得成立”，即成立，化简的，设直线方程为，即“存在常数，使得成立”，由，得，解得，所以，所以，所以成立，只需，所以存在常数，使得成立，【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题21【分析】（1）求得，及（1）和（1），由直线的点斜式方程可得切线的方程；（2）令，求得的极值点，分，三类讨论，可得函数的单调区间；（3）要使是函数的极大值点，需满足，求得函数的极小值为（a），再求得（a），分析其单调性、极值和最值可得答案【解答】解：（1）函数的定义域为，（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即；（2）令得或，当时，当变化时，变化情况如下表：，100极大值极小值函数在和上单调递增，在，上单调递减；当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，当变化时，变化情况如下表：1，00极大值极小值函数在和，上单调递增，在上单调递减（3）由（2）可知，要使是函数的极大值点，需满足此时，函数的极小值为（a），（a），令（a），得当变化时，（a），（a）变化情况如下表：（a）0（a）极大值所以函数（a）的最大值为【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和构造函数法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题