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2021年北京市西城区四校联考高三上期中数学试卷(含答案解析)

1、2021年北京市西城区四校联考高三上期中数学试卷一、选择题。(每题4分,共40分)1已知集合,2,若,则的取值范围为A,B,C,D,2下列函数中,是偶函数且在上单调递增的是ABCD3已知,则实数,的大小关系是ABCD4在等差数列中,则公差的值为ABCD5角的终边经过点,且,则ABCD6已知数列的前项和为,且,则AB16C31D327将函数的图像沿轴向左平移个单位后,所得图像经过点,则的最小值为ABCD8函数是上的减函数,则实数的取值范围是ABCD,9已知数列的通项公式为,则“”是“数列单调递增”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10设,其中,若对一切恒成立,

2、则下列结论正确的是;既不是奇函数也不是偶函数;的单调递增区间是,;存在经过点的直线与函数的图象不相交ABCD二、填空题。(每题5分,共25分)11在中,则;12已知等比数列的前项和为,如表给出了的部分数据:12341019则数列的公比,首项13已知14已知函数,若(a)(b),则的取值范围是 15已知函数和同时满足以下两个条件:对任意实数都有或;总存在,使成立则的取值范围是 三、解答题(共6小题共85分)16(13分)已知函数(1)求的最小正周期;(2)求在区间,上的最大值和最小值17(14分)已知等差数列满足,()求的通项公式;()等比数列的前项和为,且,再从条件、条件、条件这三个条件中选择

3、两个作为已知条件,求满足的的最大值条件:;条件:;条件:18(14分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药一段时间后,记录了两组患者的生理指标和的数据,并制成如图,其中“”表示服药者,“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标的值小于60的概率;(2)从图中,四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望;(3)试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小(只需写出结论)19(14分)如图,在正方体中,为的中点()求证:平面;()求直线与平面所成角的正弦值

4、20(15分)已知椭圆过点,且焦距为()求椭圆的方程;()过点的直线(不与轴重合)与椭圆交于,两点,点与点关于轴对称,直线与轴交于点是否存在常数,使得成立,若存在,求出的值;若不存在,说明理由21(15分)已知函数(1)求曲线在点,(1)处的切线方程;(2)求的单调区间;(3)若函数在处取得极大值,记函数的极小值为(a),试求(a)的最大值参考答案一、选择题。(每题4分,共40分)1【分析】求出集合,2,由,能求出的取值范围【解答】解:集合,2,的取值范围为,故选:【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2【分析】根据题意,依次分析选

5、项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于,是偶函数,在不是增函数,不符合题意;对于,是偶函数,在是减函数,不符合题意;对于,其定义域为,不是偶函数,不符合题意;对于,是偶函数且在上单调递增,符合题意;故选:【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断,注意常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题3【分析】根据对数函数和指数函数的单调性容易得出,从而可得出,的大小关系【解答】解:,故选:【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性,指数函数的值域,考查了计算能力,属于基础题4【分析】直接利用等差数列的通项公式代入即可求解公差【解答】解:等差数列中,故选:【点评】

6、本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用是,属于基础试题5【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得的值【解答】解:角的终边经过点,且,则,故选:【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题6【分析】先根据,求出数列的通项公式,再将代入可求出所求【解答】解:当时,当时,是首项为1,公比为2的等比数列,故选:【点评】本题主要考查了数列的概念及简单表示法,以及等差数列的通项公式,同时考查了计算能力,属于基础题7【分析】由条件利用函数的图像变换规律,正弦函数的图像和性质即可求得的最小值【解答】解:函数的图像沿轴向左平移个单位后,所得的图像对应的函数解析式为,再根据所得图像经过点,可得

7、,则可得,解得,又,求得的最小值为故选:【点评】本题主要考查函数的图像变换规律以及正弦函数的图像和性质,属于基础题8【分析】根据为减函数,以及减函数定义、反比例函数和一次函数单调性即可得出,解该不等式组即可得出实数的取值范围【解答】解:是上的减函数;解得;实数的取值范围是故选:【点评】考查减函数的定义,分段函数单调性的判断,以及反比例函数和一次函数的单调性9【分析】数列单调递增,可得的范围由“”可得:,可得的范围即可判断出关系【解答】解:数列单调递增,可得:,化为:由“”可得:,可得: “”是“数列单调递增”的充要条件,故选:【点评】本题考查了等比数列的单调性、不等式的性质、充要条件的判定方法

8、,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10【分析】由题意知,是的最大值或最小值,且的周期为;为个周期,;由可得,则既不是奇函数也不是偶函数;若是的最大值,则,是的单调减区间;由,结合三角函数的图象可得,不存在经过点的直线与函数的图象不相交【解答】解:,又对一切 恒成立,是的最大值或最小值,的周期为,为个周期,;由,则,则既不是奇函数也不是偶函数;若是的最大值,则,是的单调减区间;,不存在经过点的直线与函数的图象不相交故选:【点评】本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质,用到了数形结合的思想,属于中档题二、填空题。(每题5分,共25分)11【分析】由已知结合余弦定理先求出,然后结合正弦定理

9、即可直接求解【解答】解:由余弦定理得,整理得,解得或(舍,由正弦定理得,所以,所以故答案为:6,【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理在求解三角形中的应用,考查了数学运算的核心素养,属于基础题12【分析】由表格可得:等比数列的前项和为,满足:,利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解:由表格可得:等比数列的前项和为,满足:,公比,可得,联立解得:,故答案为:,4【点评】本题考查了等比数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题13【分析】由与分别为锐角,根据,的值,利用同角三角函数间的基本关系求出与的值,利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各种的值代入计算求出值,利用特殊角的三角函数

10、值即可求出的度数【解答】解:,是锐角,则故答案为:【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键14【分析】画出函数的大致图像,不妨设,则,且,再利用基本不等式即可求出结果【解答】解:画出函数的大致图像,不妨设,如图所示,由图像可知,又,解得,的取值范围是,故答案为:【点评】本题主要考查了函数图像的变换,考查了基本不等式的应用,同时考查了数形结合的数学思想,是中档题15【分析】由于时,根据题意有在时成立;由于,而,则在时成立由此结合二次函数的性质可求出结果【解答】解:对于,当时,又,或在时恒成立则由二次函数的性质可知开口

11、只能向下,且二次函数与轴交点都在的左面,即,可得又,此时恒成立在有成立的可能,则只要比,中的较小的根大即可,当时,较小的根为,不成立,当时,两个根同为,不成立,当时,较小的根为,即成立综上可得成立时故答案为:【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立,指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键,是中档题三、解答题(共6小题共85分)16【分析】()利用两角和与差的三角函数关系将转化为,即可求得的最小正周期;()由,利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值【解答】解:(),的最小正周期;(),【点评】本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式,考查正弦函数的单调性,求得的解析式是

12、关键,属于中档题17【分析】(1)用和表示出已知的两个式子,求解出和即可;(2)利用已知求出等比数列的首项及公比,构造出前项和,再解不等式即可【解答】解:设等差数列的公差为,解得:,()选择:由可知:,所以,所以因为,所以,因为,所以,因为数列为等比数列,所以公比,所以,所以,解得选择:由可知:,所以,所以因为,所以,因为数列为等比数列,所以,因为,所以,所以,所以,所以,解得选择:由可知:,所以,所以,因为,所以,因为数列为等比数列,所以,解得:或,因为,所以,所以,所以,所以,解得【点评】本题考查了数列递推关系及简单的不等式求解,考查了计算能力,属于简单题18【分析】(1)由图求出在50名

13、服药患者中,有15名患者指标的值小于60,由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标小于60的概率(2)由图知:、两人指标的值大于1.7,而、两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标的值大于1.7的人数的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和(3)由图知100名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大【解答】解:(1)由图知:在50名服药患者中,有15名患者指标的值小于60,答:从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标小于60的概率为:(2)由图知:、两人指标的值大于1.7,而、两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标的值

14、大于1.7的人数的可能取值为0,1,2,的分布列如下:012答:(3)答:由图知100名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题19【分析】()连接交于点,连接,证明然后证明平面()不妨设正方体的棱长为2,建立空间直角坐标系求出平面的法向量,利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可【解答】()证明:连接交于点,连接,在正方形中,因为为的中点,所以(3分)因为平面,平面,所以平面()解:不妨设正方体的棱长

15、为2,建立如图所示的空间直角坐标系则,0,2,2,2,所以,(8分)设平面的法向量为,所以所以即(10分)令,则,于是,(11分)设直线与平面所成角为,则(13分)所以直线与平面所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力,转化思想以及计算能力,是中档题20【分析】()椭圆过点,且焦距为,列方程组,解得,即可得出答案()“存在常数,使得成立“等价于“存在常数,使得成立”,即“存在常数,使得成立”,联立直线与椭圆的相交问题,结合韦达定理可得,即可得出答案【解答】解:()由题意可得,解得,所以椭圆的方程为()设,因为点与点关于轴对称,所以

16、,所以直线的斜率为,直线的方程为,令,解得,所以,因为,“存在常数,使得成立“等价于“存在常数,使得成立”,即成立,化简的,设直线方程为,即“存在常数,使得成立”,由,得,解得,所以,所以,所以成立,只需,所以存在常数,使得成立,【点评】本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的相交问题,解题中需要一定的计算能力,属于中档题21【分析】(1)求得,及(1)和(1),由直线的点斜式方程可得切线的方程;(2)令,求得的极值点,分,三类讨论,可得函数的单调区间;(3)要使是函数的极大值点,需满足,求得函数的极小值为(a),再求得(a),分析其单调性、极值和最值可得答案【解答】解:(1)函数的定义域为,(1),又(1),曲线在点,(1)处的切线方程为,即;(2)令得或,当时,当变化时,变化情况如下表:,100极大值极小值函数在和上单调递增,在,上单调递减;当时,恒成立,函数在上单调递增;当时,当变化时,变化情况如下表:1,00极大值极小值函数在和,上单调递增,在上单调递减(3)由(2)可知,要使是函数的极大值点,需满足此时,函数的极小值为(a),(a),令(a),得当变化时,(a),(a)变化情况如下表:(a)0(a)极大值所以函数(a)的最大值为【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值,考查分类讨论思想和构造函数法,考查逻辑推理能力与运算求解能力,属于难题