1、2021年北京市东城区三校联考高三上期中数学试卷一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）1已知集合，那么A，2，B，0，C，D，2在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是ABCD3已知，且，那么ABCD4已知，则“存在，使得”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知是定义在，上的函数，那么“函数在，上单调递增”是“函数在，上的最大值为（1）”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6下列函数中为偶函数的是ABCD7已知函数，则不等式的解集是AB，CD，8已知函数的部分图象
2、如图所示，则的表达式为ABCD9如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线射线，与单位圆的交点分别为，若，则的值是ABCD10某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为加油时间加油量（升加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程A6升B8升C10升D12升11在中，角，的对边分别为，若，则的面积A1BCD12已知定义域为的奇函数的周期为2，且，时，若函数在区间，且上至少有5个零点，则的最小值为A2B3C4D6二、填空
3、题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）13（5分）函数的定义域是 14（5分）已知，则15（5分）如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于轴对称，那么16（5分）已知，令，那么，之间的大小关系为 17（5分）若的面积为，且为钝角，则；的取值范围是三、解答题：（本题有6小题，共77分）18（12分）已知函数（）求的最小正周期；（）若在区间，上的最小值为，求的最大值19（13分）已知在中，（1）求的大小：（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定并求出边上的中线的长度；周长为；面积为20（13分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点在上，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值
4、；（）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由21（13分）已知函数（）求曲线在点，处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值；（）若对任意，都有成立，求实数的最小值22（13分）已知椭圆的离心率是，且过点直线与椭圆相交于，两点（）求椭圆的方程；（）求的面积的最大值；（）设直线，分别与轴交于点，判断，的大小关系，并加以证明23（13分）有限个元素组成的集合，记集合中的元素个数为（A），即（A）定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质（），4，4，判断集合，是否具有性质，并说明理由；（）设集合，且，2，若集合具有性质，求的最大值；（）设集合，其中数列为等比数列，2，且公比为有理数，判断集
5、合是否具有性质并说明理由参考答案一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）1【分析】先求出集合，由此能求出【解答】解：集合，0，故选：【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解【解答】解：由已知得，则，故一定为负值的是故选：【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，是基础题3【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果【解答】解：已知，且，则：故选：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题题型4【分析
6、】直接利用三角函数的诱导公式和充分条件和必要条件的应用求出结果【解答】解：当，时，成立，当成立时，则或故”存在，使得”是“”成立的充分不必要条件故选：【点评】本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题5【分析】从充分性及必要性两个方面分别进行判断，综合即可得出答案【解答】解：若函数函数在，上单调递增，由单调性的定义可知，此时函数在，上的最大值为（1），即充分性成立；若函数在，上的最大值为（1），则函数在，上不一定单调递增，比如函数，故必要性不成立综上，“函数在，上单调递增”是“函数在，上的最大值为（1）”的充分不必要条件故选：【
7、点评】本题考查利用函数单调性研究函数的最值以及充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题6【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，有，即函数为奇函数；对于，有，是偶函数；对于，有，为奇函数；对于，有，不是偶函数，故选：【点评】本题考查函数奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的判断方法7【分析】不等式即由于函数和直线的图象都经过点、，数形结合可得结论【解答】解：不等式，即由于函数和直线的图象都经过点、，如图所示：不等式的解集是，故选：【点评】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题8【分析】根据图象求出，周期，利用周期公式可求
8、，又过点，利用五点作图法可求，即可求函数的解析式【解答】解：根据图象得，可得，又过点，可得，由五点作图法可得，解得，所以故选：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点作图法可求是解决本题的关键，属于基础题9【分析】由三角函数的定义可知，然后结合两角差的余弦公式即可求解【解答】解：由三角函数的定义可知，故选：【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题10【分析】由表格中的数据可得，这辆汽车48升油行驶了600千米，即可求解该车每100千米平均耗油量【解答】解：由表格中的数据可得，这辆汽车48升油行驶了600千米，则每100千米平均耗油8升故选：【点评
9、】本题主要考查解决实际问题的能力，以及对表中数据的应用，属于基础题11【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：，由正弦定理可得，的面积故选：【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算和转化思想，属于基础题12【分析】由，的解析式求得，的解析式，且，的周期为2，由题意可得和在，至少有5个交点，分别作出和在，的图象，即可得到所求最小值【解答】解：，时，可得，即有，可得，即有，；且，的周期为2，可得（2）（4）（6），函数在区间，且上至少有5个零点，即为和在，上至少有5
10、个交点，分别作出和在，的图象，可得的最小值为2，故选：【点评】本题考查函数的周期性和运用，考查函数零点个数问题解法，考查数形结合思想方法和运算能力，属于中档题二、填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）13【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且函数的定义域是且故答案为：且【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题14【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值【解答】解：，故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题15【分析】利用的图象
11、变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，所得到的图象，得到的函数图象关于轴对称，求得，又，故答案为：【点评】本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题16【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【解答】解：，则，即，故答案为：【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用17【分析】利用余弦定理，转化求解即可【解答】解：的面积为，可得：，可得：，所以，为钝角，故答案为：；【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力三、解答题：（本题有6小题，共77分）18【分析】
12、（）先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求，（）根据题意即可得出，存在，使，从而得出，这样即可求出的最大值【解答】解：（），的最小正周期（）当在区间，上的最小值为时，存在，使，解得，则时，存在，的最大值为【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档题19【分析】（1）根据已知条件运用正弦定理，二倍角公式即可求解（2）选，不满足正弦定理，不存在；选，周长为，结合已知条件，运用正弦定理可求三角形各边长度，在中，运用余弦定理，即可求解；选，面积为，通过三角形面积公式，可求得的值，再结合余弦定理，即可求解【解答】解
13、：（1），由正弦定理可得，即，当 时，即，不符合题意，舍去，即（2）若选，由正弦定理可得，与已知条件矛盾，故不存在，若选，周长为，由正弦定理可得，即，即，存在且唯一确定，设的中点为，在中，运用余弦定理，即，可得，边上的中线的长度若选，面积为，解得，由余弦定理可得，可得【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题20【分析】（）利用线面垂直的性质可得，结合，利用线面垂直的判定定理证明即可；（）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（）
14、利用空间向量的坐标运算，求出的坐标，由向量的坐标表示，得到，即可判断得到答案【解答】（）证明：因为平面，又平面，则，又，且，平面，故平面；（）解：过点作的垂线交于点，因为平面，且，平面，所以，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，2，2，0，因为为的中点，则，1，所以，又，所以，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又因为平面的法向量为，所以，由题意可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为；（）解：直线不在平面内，因为点在上，且，又，故，则，由（2）可知，平面的法向量为，所以，所以直线不在平面内【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质的应用，二
15、面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题21【分析】（）求出，继而可求得和，利用直线的点斜式可得在点，处的切线方程；（）令可得其增区间；，可得其减区间，进而得到极小值，无极大值；（）结合单调性，分与两类讨论，可得到的最小值为1【解答】解：（），又，在点，处的切线方程为；（）由，可得；当时，递增；当时，递减的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，取得极小值，无极大值；（）由（2）得（2），且为最小值，若，令，则，（2），与题意不符；若，在，先递减后递增，即有（2），由，得恒成立即有的最小值为1【点评】本题考查利用导
16、数研究函数的单调性和极值，考查不等式成立问题的解法，考查等价转化思想和运求解算能力，属于难题22【分析】（）由椭圆的离心率公式，求得，将代入椭圆方程，即可求得和的值；（）将直线方程代入椭圆方程，由，求得的取值范围，利用韦达定理，弦长公式，根二次函数的性质，即可求得的面积的最大值；（）设直线，的斜率分别是，根据韦达定理和直线的斜率公式求得，则，则丨丨丨丨【解答】解：（）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率是，即，（1分）将点代入椭圆方程：解得，（3分）椭圆的方程为；（）由，消去，整理得（5分）令，解得设，则，丨丨，（6分）点到直线的距离为（7分）的面积丨丨丨丨，（8分）当且仅当时，则的面积的最大值；
17、（9分）（）丨丨丨丨证明如下：（10分）设直线，的斜率分别是，则，（11分）由（）得，直线，的倾斜角互补（13分），丨丨丨丨（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查椭圆与二次函数取值最值的综合应用，考查计算能力，属于中档题23【分析】（）由已知集合结合定义求得与，再由性质的概念判断；（）首先说明若三个数，成等差数列，则，不具有性质，由，得，结合集合具有性质依次求出，可得的最大值；（）设等比数列的公比为，得且为有理数，假设当时有成立，则有，设，且与互质），因此有，整理后出现矛盾，说明不成立，得到，说明集合具有性质【解答】解：（）集合不具有性质，集合具有性质事实上，4，5，8，11，故不具有性质；，4，6，8，10，12，故具有性质（）若三个数，成等差数列，则，不具有性质，理由是，且，2，要使取最大，则，易知，2019，不具有性质，要使取最大，则，要使取最大，检验可得；（）集合具有性质设等比数列的公比为，且为有理数假设当时有成立，则有为有理数，设，且与互质），因此有，即上式左边是的倍数，右边是的倍数，而与互质，显然不成立，故集合具有性质【点评】本题是新定义题，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题