1、2021 年北京市房山区二校联考高三上期中数学试卷年北京市房山区二校联考高三上期中数学试卷 一.选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.） 1已知集合24AxxZ， 1, 2B ，则AB （ ） A. 1 B. 1, 2 C. 2, 1,0 ,1, 2 D. 1 , 0 ,1, 2 2函数1lg1yx的定义域为（ ） A. 0, B. 0, C. 1, D. 1, 3下面是关于复数21 iz （i为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ） A. 2z B. 22zi C. z的共轭复数为1 i D. z的虚部为-1 4. 函数134ln)(xxxf的零点一定位于区间（ ） A （1,
2、2） B （2,3） C （3,4） D （4,5） 5. 32121log 3,( ) ,log 3, ,2abca b c已知则的大小关系为（ ） A.B.C.D.abcbaccbacab 6. 已知等差数列 na的前n项和为nS，且78SS，8910SSS，则下面结论错误的是（ ） A90a B1514SS C0 d D8S与9S均为nS的最小值 7. 函数( )coscos2f xxx，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为 2 B. 偶函数，最大值为 2 C. 奇函数，最大值为98 D. 偶函数，最大值为98 8已知非零平面向量,a b，则“abab”是“存在非零实
3、数，使b= a”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9如图，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADDC,E是CD的中点1DC ,2AB ,则EA AB（ ） A.1 B.1 C.5 D. 5 10. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号。 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.” 甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中( ) A一定有 3 号球 B.一
4、定没有 3 号球 C.可能有 5 号球 D.可能有 6 号球 二 填空题（共 5 道小题，每题 5 分，共 25 分. 把答案填在题中横线上.） 11. 若角的终边过点(3, 4)P，则sin()_. 12. 设 na为等比数列，其前n项和为nS，22a ，2130Sa.则 na的通项公式是 _；48nnSa，则n的最小值为_. 13函数( )sin(2)4f xx的最小正周期为 ；若函数( )f x在区间(0,)上单调递增，则的最大值为 . 14. 设函数( )f x的定义域为0,1， 能说明“若函数( )f x在0,1上的最大值为 1f， 则函数( )f x在0,1上单调递增“为假命题的一
5、个函数是_ _. 15设函数 f xxR的周期是 3， ECDBA当2,1x 时， , 20,1,01.2xxaxf xx 132f ； 若 f x有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是 三.解答题（共 6 道小题，85 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分 14 分） 已知函数2( )2cos2 3sin cos1f xxxx. （）求()6f的值; （）求函数( )f x在区间,2上的最小值和最大值. 17. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥1111DCBAABCD 中，1AA平面ABCD，底面ABCD 满足ADBC，12,2 2ABADAABD
6、DC且. （）求证：AB平面11AADD； （）求直线AB与平面11CDB所成角的正弦值. 18(本小题满分 14 分） 已知nS为等差数列na的前n项和，且131,6aS. （）求数列na的通项公式； （）设2nanb ，nT为数列 nb的前n项和，是否存在*mN，使得mT=2044S？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 19(本小题满分 14 分） 在ABC中，若a、b、c分别是内角A、B、C的对边，已知ABC同时满足下列 4 个条件中的 3个：1sin22B；2220abcab； 2 3b ； 3c （）请指出这 3 个条件，并说明理由； （）求sin A 20(本小题满分 14 分
7、） 已知函数 32,3xxgxxxf. （）求曲线)(xfy 在点(1, (1)f处的切线方程； （）求函数)(xf在2 , 0上的最大值； （）求证：存在唯一的0 x，使得 00 xgxf. 21(本小题满分 15 分) 定义pR数列 na：对实数 p，满足：10ap，20ap；414,nnnNaa ；,1m nmnmnaaap aap，,m nN （）对于前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是2R数列吗？说明理由； （）若 na是0R数列，求5a值； （） 是否存在 p， 使得存在pR数列 na， 对10,nnNSS ？若存在， 求出所有这样的 p； 若不存在，说明理由 参考答案参考
8、答案 一 选择题： 1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C7.D 8.A 9.B 10. D 【答案】D 【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为 7 包含（2，5） ， （3，4） ，可能为 8 包含（2，6） ，（3，5） ，可能为 9 包含（3，6） ， （2，7） 乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为 12 包含（3，4）或（2 ，6） 根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有 6 号球 故选：D 二 填空题： 11. 45 12. 【详解】解：设等比数列 na的公比为q， 则12aq ，21211330Saaaa， 解得11a ，2q =， 故111 22
9、nnna ， 1 1 2211 2nnnS， n1nnSa21 248n ， 即13 249n， 故n的最小值为 6， 故答案为：12nna-=，6. 13. ，8 解法 1：3222,24288kxkkxk 30,88kx ，所以的最大值是8. 解法 2：(0, ),2(,2),2,444428xx 解法 3：( )sin(2)1() 2=4428f极大值 ， 备注：画图解不方便！ 14. 【答案】213( )24f xx，0,1x， （答案不唯一） 15. 22，51,2 三 解答题： 16. 解：（）2()2cos2 3sincos1=26666f 3 分 （）2( )2cos2 3si
10、n cos1f xxxx cos23sin2xx 132( cos2sin2 )22xx 2sin(2)6x7 分 因为2x， 所以7132666x. 9 分 所以当13266x时，即x 时max( )1f x. 当3262x时,即23x 时min( )2f x. 13 分 17. 解： （）因为在底面ABCD中，2,2 2ABADBD， 所以222ABADBD，即ABAD.2 分 因为1AA 平面ABCD，AB 平面ABCD， 所以1AA AB，4 分 又因为1AAADA，1,AA AD 平面11ADD A， 所以AB 平面11ADD A.6 分 （）由（） ，得1,AB AD AA两两垂直
11、，故分别以AB，AD，1AA为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，7 分 在底面ABCD中，由题意，得224BCBDCD. 则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C，1(2,0,2)B，1(0,2,2)D， 所以(2,0,0)AB ，1(0,4, 2)BC ，11( 2,2,0)B D ，8 分 设平面11BCD的法向量( , , )x y zn， 由10BCn，110B D n，得420,220,yzxy 令1y ，得(1,1,2)n.11 分 设直线AB与平面11BCD所成的角为， 则6sin|cos,| |6| |ABABABnnn， 直线AB与平面11BCD所成角的
12、正弦值为66.14 分 18.解： （）设等差数列na的公差为d， 则31231336Saaaad， 又11a ，所以1d ，nan. （）因为22nannb ，所以 nb为等比数列. 所以12(12 )2212nnnT. 假设存在*mN，使得mT=2044S. 2020 (120)2102S， 所以12221044m，即12256m，所以7m 满足题意. 19.解： （1）ABC同时满足条件， 理由如下： 若ABC同时满足， 因为1sin22B，且(0,)22B，所以=26B，即3B 因为2221cos22abcCab ，且(0, )C，所以23C B1 B D A A1 D1 C C1 y
13、 x z 所以BC，矛盾 所以ABC只能同时满足， 因为bc，所以BC，故ABC不满足 故ABC满足， （2）在ABC中，2 3b ，3c ，3B 又由正弦定理知：sinsinbcBC，所以sin3sin4cBCb 又因为cb，所以(0,)2C，7cos4C 所以3713321sinsin()sin()324248ABCC 20.解： （）由3( )f xxx，得13)(2xxf,1 分 所以(1)2f，又(1)0f3 分 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为：120 xy， 即：022 yx.5 分 （）令 0 xf，得33x.6 分 ( )f x与( )fx在区间0,2的
14、情况如下： x 3(0,)3 33 3(,2)3 xf - 0 + xf 极小值 8 分 因为 00,f 26,f9 分 所以函数)(xf在区间2，0上的最大值为 6.10 分 （）证明：设 xgxfxh=333 xx， 则1132xxxxh33)(，11 分 令( )0h x，得1x . ( )h x与( )h x随 x 的变化情况如下： x 1, -1 1 , 1 + 0 - 0 极大值 极小值 则 xh的增区间为1,，, 1，减区间为1 , 1.12 分 又 110h ， 011 hh -，所以函数)(xh在, 1-没有零点，13 分 又03 -15-h， 所以函数)(xh在1,上有唯一
15、零点0 x.14 分 综上，在,上存在唯一的0 x，使得)()(00 xgxf. 21.【详解】(1)由性质结合题意可知3121202,2 12,3aaaaa， 矛盾，故前 4 项2, 2,0,1的数列，不可能是2R数列. (2)性质120,0aa， 由性质2,1mmmaaa，因此31aa或311aa，40a 或41a ， 若40a ，由性质可知34aa，即10a 或110a ，矛盾； 若4311,1aaa，由34aa有11 1a ，矛盾. 因此只能是4311,aaa. 又因为413aaa或4131aaa，所以112a 或10a . 若112a ，则 21 11111110,0 12 ,211
16、,2aaaaaaaa， 不满足20a ，舍去. 当10a ，则 na前四项为:0，0，0，1， 下面用纳法证明444(1,2,3),1n inan iannN： 当0n 时，经验证命题成立，假设当(0)nk k时命题成立， 当1nk时： 若1i ，则4541145kkjkjaaa ，利用性质： *45,144 ,1jkjaajNjkk k ，此时可得：451kak； 否则，若45kak，取0k 可得：50a ， 而由性质可得：5141,2aaa，与50a 矛盾. 同理可得： *46,145 ,1jkjaajNjkk k ，有461kak； *48,2461,2jkjaajNjkkk ，有482
17、kak； *47,1461jkjaajNjkk ，又因为4748kkaa，有471.kak 即当1nk时命题成立，证毕. 综上可得：10a ，54 1 11aa . (3)令nnbap，由性质可知： *,m nm nm nN bap,1mnmnapap apap,1mnmnbb bb， 由于11224141440,0,nnnnbapbapbapapb， 因此数列 nb为0R数列. 由（2）可知: 若444,(1,2,3),1n innN anp ianp ； 11111402 320aSSap ，910104 2 2(2)0SSaap ， 因此2p ，此时1210,0a aa，011jaj，满足题意.