1、2021年北京市西城区五校联考高二上期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分1空间直角坐标系中，若点，1，关于点，0，的对称点为，则点的坐标为A，B，C，1，D2已知直线，若，则实数的值是A0B2或C0或D3椭圆过点，则其焦距为ABCD4已知直线和圆交于，两点，则A2B4CD5已知直线的方程为，则的倾斜角是ABCD6圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为ABCD7椭圆的焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为，则椭圆的离心率为ABCD8“六边形教室”是四中校友记忆中不可磨灭的一部分空间中，教室的形状近似一个正六棱柱设正六棱柱中，所有棱长均相等，、分别是四边形，的中心，设与所成
2、的角为，与所成的角为，则ABCD9若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为)A至多一个B0个C1个D2个10在一平面直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后，两点间的距离为ABCD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11与向量方向相同的单位向量是 12已知点，则过点且与是坐标原点）平行的直线方程是 13若向量，共面，则14椭圆的两个焦点在圆上，则实数15椭圆的左、右焦点分别为和，为上的动点，则下列说法正确的是 当时，使得的点有两个；当时，使得的点有四个；当时，使得是等腰三角形的点有四个；当时，使得是等腰三角形的点有六个三、解答题共6小题，共85分解答应写出文
3、字说明，演算步骤或证明过程16（12分）已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于、两点且（）求椭圆的离心率；（）求直线的方程17（14分）已知正四棱柱中，为的中点（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（）求点到平面的距离18（14分）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是，的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的大小；（）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由19（15分）已知的顶点坐标分别为，圆为的外接圆（）求圆的方程；（）直线与圆相切，求直线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的方程20（15分）已知椭圆的离心率，且经
4、过点（）求椭圆的方程；（）过点的直线与椭圆交于，两点是否存在直线使得以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由21（15分）对于给定的正整数，记集合，2，3，其中元素称为一个维向量特别地，称为零向量设，定义加法和数乘：，对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关（）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由，；，；，（）已知向量，线性无关，判断向量，是线性相关还是线性无关，并说明理由（）已知个向量，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：（）如果存在等式，2，3，则这些系数，或者全为零，或者全不为零；（）如果两个等式
5、，2，3，同时成立，其中，则参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1【分析】在空间直角坐标系中，利用中点坐标公式求解即可【解答】解：在空间直角坐标系中，点，1，关于点，0，的对称点为，则点坐标为，故选：【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2【分析】由垂直可得，解方程可得【解答】解：直线，且，解得或故选：【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题3【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的，之间的关系即可求
6、出焦距【解答】解：由题意知，把点代入椭圆的方程可求得，故椭圆的方程为，则其焦距为故选：【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中、之间的关系4【分析】首先求得圆心到直线的距离，然后计算弦长即可【解答】解：圆心到直线的距离，则直线与圆相交的弦长为故选：【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解等知识，属于基础题5【分析】由题意利用直线方程求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系，得出结论【解答】解：直线的方程为，则的斜率为，故该直线的倾斜角为，故选：【点评】本题主要考查求直线的斜率，诱导公式，直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题6【分析】由题意确定圆的圆心和半
7、径即可求得圆的方程【解答】解：过点且与直线垂直的直线为，由即圆心，半径，所求圆的方程为故选：【点评】本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题7【分析】联立直线与椭圆的方程，解得交点的横坐标，由题意可得，的关系，进而求出离心率的值【解答】解：联立，可得，由题意可得，整理可得：，解得：，解得，故选：【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，属于基础题8【分析】根据题意画出图形，通过平行关系得与所成的角就是与所成的角，与所成的角为或其补，通过研究几何关系，进行计算，得到结果【解答】解：如图，由图形特点可得，因为、分别是四边形，的中心，即分别为，的中点，过点、分别作，的垂线，故与所成的角就是与所成的角，即，因
8、为，与所成的角为或其补，设六棱柱棱长为2，可求得，即，所以，即，所以，故选：【点评】本题主要考查了异面直线所成角的求解，考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题9【分析】先根据题意可知原点到直线的距离大于等于 2求得和的范围可推断点是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆内切于椭圆，进而可知点是椭圆内的点，进而判断可得答案【解答】解：因为直线和圆没有公共点，所以原点到直线的距离，所以，所以点是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点椭圆的长半轴 3，短半轴为 2圆内切于椭圆点是椭圆内的点过点的一条
9、直线与椭圆的公共点数为2故选：【点评】本题主要考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，以及点到直线的距离公式，解决此类问题可采用数形结合的方法较为直观10【分析】直接利用向量的线性运算，向量的模的运算求出结果【解答】解：如图所示：如图折叠作，则，的夹角为，故，所以，故故选：【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11【分析】求出向量的模，然后求解单位向量即可【解答】解：向量，可得，所以与向量方向相同的单位向量是：，故答案为：，【点评】本题考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题12【分
10、析】根据直线平行关系先求直线的斜率，然后结合直线的点斜式可求【解答】解：由题意得直线的斜率，所以过点且与平行的直线方程为，即故答案为：【点评】本题主要考查了直线的斜率公式，直线的位置关系及直线方程的求解，属于基础题13【分析】由题意设，代入坐标，利用坐标相等列出方程组，即可求得值【解答】解：向量，共面，可设，即，则，解得故答案为：7【点评】本题考查共面向量基本定理的应用，考查运算求解能力，是基础题14【分析】分椭圆的焦点在，轴上，由椭圆的定义可得的值，即求出焦点坐标，将焦点坐标代入圆的方程可得的值【解答】解：将椭圆的方程化为标准方程：，当焦点在轴上时，则，焦点不可能在圆上，当焦点在轴上时，所以
11、，所以焦点坐标为，由题意，即，解得：，故答案为：【点评】本题考查椭圆的性质，及点到账圆上的性质，属于基础题15【分析】对于，将问题转化为以为圆心，为半径的圆与椭圆交点个数问题；对于，利用椭圆对称性得到短轴端点满足题意后，将问题转化为以为圆心，为半径的圆与椭圆交点个数的判断问题；由此可得各选项的正误【解答】解：对于，当时，则以为圆心，为半径的圆与椭圆交于短轴两端点，即使得的点为短轴两个端点，正确；对于，当时，则以为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，即使得的点不存在，错误；对于，当时，若为短轴端点，则为等腰三角形；假设，则在以为圆心，为半径的圆上，椭圆半通径长为，以为圆心，为半径的圆与椭圆有两个不同交
12、点，即此时使得是等腰三角形的点有两个；同理可知：若，此时使得是等腰三角形的点有两个；综上所述：若，则使得是等腰三角形的点有六个，错误；对于，当时，若为短轴端点，则为等腰三角形；假设，则在以为圆心，为半径的圆上，离心率；，又椭圆半通径长为，以为圆心，为半径的圆与椭圆有两个不同交点，此时使得是等腰三角形的点有两个；同理可知：若，此时使得是等腰三角形的点有两个；综上所述：若，则使得是等腰三角形的点有六个，正确故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，属于中等题三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16【分析】（）将椭圆的方
13、程化为标准方程，可得，的值，进而求出的值，再求椭圆的离心率；（）设直线的方程，与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，代入弦长的公式求出弦长，由题意求出参数的值，可得直线的方程【解答】解：（）将椭圆的方程化为标准方程：，所以，可得，所以椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为；（）设直线的方程为，设，联立整理可得：，则，即，且，所以弦长，由题意可得，解得：，符合判别式大于0的条件，所以直线的方程为，即直线的方程【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题17【分析】（）在正四棱柱中，两两垂直，建立以点为坐标原点的空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，利用法向量的夹
14、角求得二面角的夹角余弦值；（）利用向量法求得与平面的夹角正弦值，进而求得到平面的距离【解答】解：（）在正四棱柱中，两两垂直，建立以点为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示：则，0，0，0，2，则，设平面法向量，则，即，取，因平面，故取平面的法向量为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为；（）由（）知，则点到平面的距离为【点评】本题主要考查空间向量计算面面角的方法，空间向量计算点面距离的方法等知识，属于中等题18【分析】因为，又平面，得到，进而证明结论；以点为原点分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，又平面的法向量，利用夹角公式求出即可；假设线段上存在点，设，由直线与平面所
15、成角为，得到关于的方程，解方程判断即可【解答】解：（）证明：因为是正三角形，是的中点，所以又因为平面，平面，所以，平面，所以面；（）如图，以点为原点分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，由，得令，则，又平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，所以所以平面与平面所成锐二面角为；（）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，设，由，所以所以，整理得，无解，所以，不存在这样的点【点评】考查线面垂直的判定，向量法求二面角和线面所成的角的余弦值，考查运算能力，中档题19【分析】（）设出圆的一般方程，代入，可构造方程组求得结果；（）设，利用直线与圆相切和基本不等式可知当直线
16、与两坐标轴所围成的三角形面积最小，由此得到，进而整理得到直线方程【解答】解：（）设圆方程为：，则，解得：，圆方程为：，即（）由题意知：直线在，轴的截距不为零，可设，即，与相切，即（当且仅当时取等号），即当时，直线与两坐标轴所围成的三角形面积最小，此时所有可能的结果为：或或或，方程为：或或或【点评】本题主要考查圆的方程的求解，圆中的最值问题等知识，属于中等题20【分析】（）由题意列关于，的方程组，求得与的值，则椭圆方程可求；（）当直线的斜率不存在时，直线方程为，以为直径的圆过点；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，结合已知条件，即
17、可求出当以为直径的圆过定点时，直线的方程【解答】解：（）由题意，解得，椭圆的方程为；（）当直线的斜率不存在时，直线方程为，则直线与椭圆的交点为，又，即以为直径的圆过点；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由，得，由，得或，以为直径的圆过点，即，得，解得，即综上所述，当以为直径的圆过定点时，直线的方程为或【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题21【分析】（1）根据定义逐一判断即可；（2）设，则，然后由条件得到即可；（3）如果某个，2，然后证明，都等于0即可；由可得，然后代入证明即可【解答】（1）解：对于，设，则可得，所以线性相关；对于，设，则可得，所以，所以线性相关；对于，设，则可得，解得，所以线性无关；（2）解：设，则，因为向量，线性无关，所以，解得，所以向量，线性无关，（3）证明：，如果某个，2，则，因为任意个都线性无关，所以，都等于0，所以这些系数，或者全为零，或者全不为零，因为，所以，全不为零，所以由可得，代入可得，所以，所以，所以【点评】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于中等题