1、2021年北京市海淀区三校联考高二上期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.1直线的倾斜角为ABCD不存在2已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则下列选项中正确的是ABCD3已知圆，则其圆心与半径分别为A，B，C，D，4已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的一般式方程为ABCD5以，为直径两端点的圆交轴于，两点，则AB8CD106在空间直角坐标系中，已知长方体的顶点，0，0，2，2，则直线与平面之间的距离为ABC1D27圆与圆的公切线的条数为A0B1C2D48已知直线与曲线的图像有公共点，则实数的取值范围为A，B，C，D9在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都
2、是1，则该点到原点的距离是ABCD10已知圆，直线，则下列命题中不正确的是A对任意实数和，直线和圆有公共点B对任意实数，必存在实数，使得直线与相切C对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切D存在实数与，使得圆上有3个点到直线的距离为二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.11已知点在的内部，则实数的取值范围为 12已知直线与直线关于轴对称，则直线的一般方程为 13向量，0，若，共面，则14若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则取得最小值时，点的坐标为 15据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风台风中心位于城市的东偏南方向、距离城市的海面处，并以的速度向西偏北方向移动（如图示）如果台
3、风侵袭范围为圆形区域，半径，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为16在正方体中，点，满足，给出下列4个命题：存在，使；存在，使直线与直线共面；任意，的面积为定值；任意，均有其中正确命题的序号为 三、解答题共4小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（12分）在中，顶点，且的平分线所在直线的方程为（）求顶点的坐标；（）求点到直线的距离18（13分）如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）求三棱锥的体积19（13分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，设圆的半径为1，圆心在直线上（1）若圆心也在直线上，求
4、圆的方程；（2）在（1）的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程；（3）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围20（8分）设为正整数，若，满足：，1，2，；对于，均有；则称具有性质对于，和，定义集合，2，（）设，1，若具有性质（3），写出一个及相应的；（）设，1，2，3，请写出一个具有性质（5）的，满足，1，2，3，；（）设，1，2，3，4，5，是否存在具有性质（7）的，使得，1，2，3，4，5，？若存在，判断满足条件的个数的奇偶；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1【分析】根据题意，分析可得直线与轴垂直
5、，其倾斜角为，即可得答案【解答】解：根据题意，直线与轴垂直，其倾斜角为，故选：【点评】本题考查直线的倾斜角，注意直线与轴垂直时，其倾斜角为2【分析】直接利用直线和平面的位置关系，直线的方向向量和平面的法向量的关系的应用判断、的结论【解答】解：已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，由于，所以，故错误，正确；由于，所以或，故，错误；故选：【点评】本题考查的知识要点：直线和平面的位置关系，直线的方向向量和平面的法向量的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题3【分析】根据已知条件，结合圆的标准方程的性质，即可求解【解答】解：圆，故选：【点评】本题主要考查圆的圆心坐标和半径的求法，属于基
6、础题4【分析】设过直线经过点，且与直线垂直的直线方程为，把代入能求出直线的一般式方程【解答】解：设过直线经过点，且与直线垂直的直线方程为，把代入得：，解得，直线的一般式方程为故选：【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5【分析】先求出圆的方程，再令，即可求出【解答】解：，为直径两端点，则圆心的坐标为，半径，故圆的方程为，令，则或故选：【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键6【分析】由点的坐标求出长方体的长、宽、高，然后利用线面平行的判定定理证明平面，则点到平面的距离，即为直线与平面之间的距离，在平面内作，垂足为，
7、故，由等面积法求解，即可得到答案【解答】解：由题意，长方体的顶点，0，0，2，2，则，因为，平面，平面，所以平面，故点到平面的距离，即为直线与平面之间的距离，由长方体的几何性质可知，平面，在平面内作，垂足为，则平面，所以，在中，由等面积法可得，即，解得，所以直线与平面之间的距离为故选：【点评】本题考查了空间直角坐标系的理解与应用，线面平行的判定定理的应用，点到平面距离的求解以及等面积法的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题7【分析】先由两圆的方程求出两个圆的圆心和半径，然后判断两个圆的位置关系，即可得到答案【解答】解：圆可变形为，则圆心，半径，圆可变形为，则圆心，半径，因为，所以
8、两圆是外离，故两圆的公切线的条数为4条故选：【点评】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆与圆位置关系的判断，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题8【分析】作出图象，根据直线与圆的位置关系得出的临界值，从而得出的范围【解答】解：由直线可知恒过定点，曲线表示，即圆的上半圆，作出图形如图所示：而直线，但时，显然与曲线的图像有公共点，当时，直线的斜率，由图可得直线与曲线的图像有公共点时，斜率，即或，解得或，综上所述：实数的取值范围为，故选：【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，解题时应用数形结合的方法，是中档题9【分析】首先设出点的坐标，根据点到三个坐标轴的距离都是1，写出坐标之间的关系
9、，把三个关系式相加，点的点到原点的距离公式中要包含的形式，得到结果【解答】解：设这个点的坐标是，点到三个坐标轴的距离都是1，该点到原点的距离是，故选：【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系，考查点到坐标轴的距离，考查点到圆心的距离，是一个基础题，单独出题的机会不大10【分析】直接利用直线与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用判断、的结论【解答】解：圆，恒过原点，直线恒过原点，故对于：由于直线和圆恒过原点，故对任意实数和，直线和圆有公共点，故正确；对于：由于圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离，故对任意的实数存在实数，使得直线与圆相切，故错误，正确；对于：由于圆心为，半径
10、为2，当经过原点的直线平分圆的半径时，在圆上可以找到3点，使这三点到直线的距离为，故正确；故选：【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.11【分析】由题意，得到，求解即可【解答】解：因为点在的内部，所以，解得，所以实数的取值范围为故答案为：【点评】本题考查了点与圆位置关系的理解与应用，一元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题12【分析】直线与轴的交点为，由对称性知，直线的斜率为，再根据点斜式写出所求直线的方程，即可【解答】解：直线与
11、轴的交点为，因为直线与直线关于轴对称，所以直线的斜率为，其方程为，即故答案为：【点评】本题考查直线的方程，直线中的对称问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题13【分析】利用空间向量共面定理得到，由向量相等的坐标表示，列式求解即可【解答】解：向量，0，因为，共面，则，即，0，所以，解得故答案为：2【点评】本题考查了空间向量共面定理的理解与应用，空间向量的坐标运算以及空间向量相等的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题14【分析】首先利用几何关系确定点的位置，然后利用解析法求解点的坐标即可【解答】解：由题意可知圆心坐标为，且：，则取得最小值时，有最小值，据此可得，由于直线的斜率为，故满足条件是
12、，直线方程为：，联立直线方程：可得：，即点的坐标为故答案为：【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的最值问题等知识，属于中等题15【分析】设台风移动处的时间为，则，利用余弦定理求得，而该城市受台风侵袭等价于，解此不等式可得【解答】解：如图：设台风移动处的时间为，则，依题意可得，在三角形中，由余弦定理可得，依题意该城市受台风侵袭等价于，即，化简得：，解得所以该城市受台风侵袭的时间为小时故答案为：6【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题16【分析】画出图形，利用特殊点判断的正误；判断的面积为变化，判断，利用异面直线以及直线与平面垂直关系判断即可【解答】解：对，当，分别为棱，的中点时满
13、足，故正确对，当时，假设直线与是共面直线，则与共面，故正确；对取特殊位置的面积为变化，在处时，的面积为，在中点时，的面积为，面积不是定值，故错误对，垂直于在平面内的射影，由三垂线定理得，故正确；故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间线面之间的位置关系的判断，考查射影定理的应用，突出考查转化思想与空间想象能力，属于难题三、解答题共4小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17【分析】（）求出点关于关于角平分线的对称点，写出直线的方程，利用直线方程联立求出点的坐标（）求出直线的方程，再求点到直线的距离【解答】解：（）点关于直线的对称点，所以直线的直线方程为，即，
14、联立，解得，所以点（）直线的方程为，即，则点到直线的距离为【点评】本题考查了对称性、直线方程、点到直线的距离公式应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题18【分析】（）只要证明垂直于平面内两条相交直线即可；（）向量数量积计算二面角余弦值；（）用等体积法计算三棱锥的体积【解答】（）证明：因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面（）解：由（1）知、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为平面，所以为与平面所成角，因为与平面所成角为，所以，所以，因为，所以，0，3，3，0，0，3，设平面的法向量为，令，由（）知平面，所以平面的法向量为，1，因为二面角为锐角，所以二面角的
15、余弦值为（）解：，所以三棱锥的体积为【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，考查了三棱锥体积计算问题，属于中档题19【分析】（1）联立直线与直线，求出方程组的解得到圆心坐标，可得圆的方程；（2）根据坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出切线方程即可；（3）设，由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆，由在圆上，得到圆与圆相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围【解答】解：（1）由（1分）得
16、圆心为，（2分）圆的半径为1，圆的方程为：（2）由题意知切线的斜率一定存在，（5分）（或者讨论）设所求圆的切线方程为，即（6分）（7分）或者（8分）所求圆的切线方程为：或者即或者（9分）（3）设为，由（11分）整理得直线（12分）点应该既在圆上又在直线上，即：圆和直线有公共点，（13分）终上所述，的取值范围为：（14分）【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题20【分析】（）本题属于新定义类型题，可根据题意举例进行直接进行求解；（）利用反证法进行求解，
17、并举例即可；（）利用反证法和合情推理进行求解【解答】解：（）根据题意，令，1，即，则根据题意可得，2，则相应的一个；（）当，1，2，3，1，2，3，所以，中的或者，不妨设，接下来，可能或，不妨取，中的剩余数0，2，3可以分别对应2，1，3，如此，4，1，3，（不唯一）；不存在证明：不妨设，1，2，3，4，5，并将其看做数列，假设，1，2，3，4，5，成立，集合，1，2，3，4，5，中有3个奇数，4个偶数，设数列中有个奇数与有序数组中个偶数对应作差的绝对值，设数列中有个偶数与有序数组中个奇数对应作差的绝对值，共得到，则中剩余个奇数，个奇数，中剩余个偶数，个奇数，要对应作差的绝对值恰好为4个偶数，则，的剩余数中奇数与奇数相配对，偶数与偶数相配对，故，即，但与相矛盾，故满足条件的不存在【点评】本题是新定义型题目，求解时应紧扣定义及性质进行求解，求证时可使用反证法，结合简单合情推理得出结论，难度较大