1、2021年北京市昌平区三校联考高二上期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共50分）1（5分）经过点，且倾斜角为的直线方程是ABCD2（5分）已知向量，3，则ABC2D3（5分）圆的圆心到直线的距离为A2BC1D4（5分）已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为AB22C2D265（5分）如图，已知在长方体中，则直线和平面所成角的正弦值为ABCD6（5分）若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为)AB1C或D或17（5分）已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为A或B或CD8（5分）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A，B，C，D，9（5分）若直线与直线
2、关于点对称，则直线一定过定点ABCD10（5分）如图，正方体中，分别为棱，的中点，在平面内且与平面平行的直线A不存在B有1条C有2条D有无数条二、填空题（每小题5分，共30分）11（5分）直线与直线平行，则的值为 12（5分）若圆被直线相切，则实数的值是 13（5分）已知点在曲线上，点的坐标为，为原点，则的取值范围是 14（5分）已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程是15（5分）如图，正方体的棱长为1，、分别是两条棱的中点，、是顶点，那么点到截面的距离是16（5分）方程表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为，面积为三、解答题（共5道，共70分）17（13分）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的
3、坐标分别为，（1）在中，求边上的高线所在的直线方程；（2）求的面积18（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值19（15分）已知圆经过坐标原点，且与直线相切、切点为（）求圆的方程；（）已知斜率为的直线与圆相交于不同的两点、若直线被圆截得的弦的长为14，求直线的方程；当的面积最大值时，求直线的方程20（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，是棱的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由
4、21（14分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，在的上方），且（1）求圆的标准方程；（2）过点作任一条直线与圆相交于，两点求证：为定值，并求出这个定值；求的面积的最大值参考答案一、单选题（每小题5分，共50分）1【分析】根据已知条件，结合斜率公式，求得直线的斜率，再运用点斜式，即可求解【解答】解：倾斜角为的直线的斜率为，过点，且倾斜角为的直线方程是，即故选：【点评】本题主要考查直线的斜率公式，以及利用点斜式求直线的方程，属于基础题2【分析】根据已知条件求出两个向量的和即，再结合空间向量求模的公式求出答案即可【解答】解：因为，3，所以所以故选：【点评】解决此类问题的关键是进行正确的运算以
5、及掌握向量的模的计算公式3【分析】由圆的方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解【解答】解：圆的圆心坐标为，则圆心到直线的距离为故选：【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是基础题4【分析】由两条直线的垂直关系知斜率之积为，从而得，再把点代入直线的方程求出的值后，得解【解答】解：因为直线与直线垂直，所以，即，因为垂足在直线上，所以，即，所以故选：【点评】本题考查两条直线的垂直关系，考查运算求解能力，属于基础题5【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得【解答】解：由题意，连接，交于点长方体中，平面，所以为直线和平面所成角
6、，在中，直线和平面所成角的正弦值为，故选：【点评】本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影6【分析】由题意，根据直线经过定点，可得、中有一个点的坐标为，故另一个点的坐标为或，由此求得直线的斜率的值【解答】解：直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），直线经过定点，故、中有一个点的坐标为，故另一个点的坐标为或，故直线的斜率 或，故选：【点评】本题主要考查直线经过定点问题、直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题7【分析】先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为，由此能求出直线的方程【
7、解答】解：点和点，点和点到直线的距离相等，且过点，直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为，直线的方程为：，或，整理得：或故选：【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率公式、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8【分析】求出，设，点到直线的距离：，由此能求出面积的取值范围【解答】解：直线分别与轴，轴交于，两点，令，得，令，得，点在圆上，设，点到直线的距离：，面积的取值范围是：，故选：【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题9【分析】先找出直线恒过定
8、点，其关于点对称点在直线上，可得直线恒过定点【解答】解：由于直线恒过定点，其关于点对称的点为，又由于直线与直线关于点对称，直线恒过定点故选：【点评】本题考查直线过定点问题，由于直线和直线关于点对称，故有直线上的定点关于点对称点一定在直线上10【分析】由已知中，分别为棱，的中点，结合正方体的结构特征易得平面与平面相交，由公理3，可得两个平面必有交线，由线面平行的判定定理在平面内，只要与平行的直线均满足条件，进而得到答案【解答】解：由题设知平面与平面有公共点，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线，在平面内与平行的线有无数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理知它们都与面平行，故选：【
9、点评】本题考查的知识点是平面的基本性质，正方体的几何特征，线面平行的判定定理，熟练掌握这些基本的立体几何的公理、定理，培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关键二、填空题（每小题5分，共30分）11【分析】根据两直线平行，可得，求出的值，验证并排除两直线重合的情况，即可求得的值【解答】解：直线与直线平行，解得或，当时，两直线的方程重合，不符合题意，当时，两直线的方程为和，两直线平行，符合题意，故故答案为：【点评】本题主要考查直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题12【分析】由圆的方程可知圆心坐标及半径的值，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由题意求出的值【解答】解：因为圆，
10、所以可知圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离，由题意可得，解得：，故答案为：【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及直线与圆相切的性质，属于基础题13【分析】设可得，利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出【解答】解：设，则，因为，所以，即，故答案为：，【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14【分析】由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案【解答】解：点在圆外，若圆与圆内切，则，得圆的方程是故答案为：【点评】本题考查圆圆位置关系的判定及应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题15【分析】建立的空间直角坐标系
11、，可得平面的一个法向量为，而到截面的距离，代入计算即可【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，可得，0，1，1，1，1，设，为平面的法向量，则，取，可得，到截面的距离故答案为：【点评】本题考查点到平面的距离，建立坐标系用空间向量来求解是解决问题的关键，属中档题16【分析】将方程进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论【解答】解：当，时，方程等价为，当，时，方程等价为，当，时，方程等价为，当，时，方程等价为，则对应的图象如图：图形的对称中心为，则围成的图象为矩形，其中，则，则矩形的面积，故答案为：；8【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及对应图象的面积的计算，根据条件将方
12、程进行化简是解决本题的关键三、解答题（共5道，共70分）17【分析】（1）求出直线的斜率，从而得到边上的高线斜率，由此能求出边上的高线所在的直线方程（2）求出和直线的方程，再求出到直线的距离，由此能求出的面积【解答】解：（1）直线的斜率边上的高线斜率，边上的高线方程为：，边上的高线所在的直线方程为（2），由，得直线的方程为：到直线的距离，的面积【点评】本题考查直线方程、三角形面积的求法，考查直线的斜率、直线垂直、直线方程、两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，是基础题18【分析】（）推导出，从而平面，由此能证明（）由，侧棱底面，建立空间直角
13、坐标系，不妨设利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值（）求出平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值【解答】（共14分）证明：（）因为底面，底面，所以，正方形中，又因为，所以平面，因为平面，所以（4分）解：（）正方形中，侧棱底面如图建立空间直角坐标系，不妨设依题意，则，0，2，0，1，所以，2，1，设平面的法向量，则，令，得，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为（11分）（）由（）知平面，所以，0，为平面的法向量，因为，且二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 （14分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识
14、，考查运算求解能力，是中档题19【分析】（）依题意可求得直线的方程，可求得的垂直平分线的方程，二者联立即可求得圆心坐标，从而可得圆的方程；（） 圆心到直线的距离，由，解得即可的面积，即可求得，即可求得直线方程【解答】解：（）设圆的圆心为，依题意得直线的斜率，直线的方程为，即直线的斜率，线段的垂直平分线为，即解方程组得圆心圆的半径，圆的方程为（）圆心到直线的距离，解得，直线的方程为：的面积，当时，即，当的面积最大值时，直线的方程为【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线和圆的方程的应用，考查分析与运算能力、计算能力，属于中档题20【分析】（）连接交于点，并连接，推导出，由此能证明面（）以为原点，为
15、轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；（）假设在线段上（不含端点）存在一点，使得二面角的余弦值为，利用向量法能求出在线段上（不含端点）存在一点，设平面的法向量，由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性【解答】解：（）证明：连接交于点，并连接，四边形为平行四边形，为的中点，又为的中点，在中为中位线，面，面，面（）证明：在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，是棱的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，0，0，0，0，设平面的法向量，则，取，得，1，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值
16、为：（）假设在线段上（不含端点）存在一点，使得二面角的余弦值为，设，3，则，3，解得，0，设平面的法向量，则，取，得，1，二面角的余弦值为，解得或（舍在线段上（不含端点）存在一点，使得二面角的余弦值为，且【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题21【分析】（1）利用垂径定理计算圆的半径，从而得出圆心坐标，即可得出标准方程；（2）设，利用距离公式计算，即可求出的值，得出结论；设方程，代入单位圆方程消元，利用根与系数关系求出，两点到轴距离之和的最大值，即可求出三角形面积的最大值【解答】解：（1）过向轴作垂线，垂足为，则，圆的半径为，故，圆的标准方程为：（2）由（1）可知，设，则，故为定值设直线的方程为，联立方程组，消元得：，设，则，令，则，令，则在，上单调递增，当时，取得最大值2，的面积即的面积的最大值为【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程，考查点到直线的距离公式应用，属于中档题