1、2021年北京市昌平区二校联考高二上期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 1在空间直角坐标系中，点，2，关于坐标平面的对称点为A，B，C，2，D，2，2已知，三点共线，则的值为A4B5C6D73方程表示的圆的圆心和半径分别为A，2B，4C，2D，44如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为ABCD5直线过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线的方程为AB或CD或6点到直线的最大值为AB1CD7在平行六面体中，为与交点，若，则向量可表示为ABCD8已知点，2，3，2，若，则的坐标是A，B，4，C，D，5，9“”是“直线和直线垂直”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充
2、要条件D既不充分也不必要条件10已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是A或B或CD二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11若直线与直线平行，则的值为 12以点，为直径的两个端点的圆的标准方程是 13平面的一个法向量是，点，3，在平面内，则点，1，到平面的距离为 14正方体的棱长为1，体对角线与交于点，则，直线与直线所成角的余弦值为 15正四面体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则的值为 16对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为已知不同三点，满足，给出下列四个结论：，三点可能共线；，三点可能构成锐角三角形；，三点可能构成直角三角形；，三点可能构成钝角三角形
3、其中所有正确结论的序号是三、解答题：本题共5小题，共70分.17（14分）如图，在四棱锥中中，底面是边长为2的正方形，平面，（）求证：平面；（）求平面与平面所成角的余弦值18（14分）已知直线，圆通过点，（）求圆的方程；（）分别求直线与圆相交、相切、相离时，实数的取值范围19（14分）如图，在三棱柱中，平面，分别为，的中点，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）证明：直线与平面相交20（14分）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上（）求边所在直线的方程及点坐标；（）求边所在直线的方程；（）求矩形外接圆的方程21（14分）已知有限集，定义集合，且，表示集合中的元素个
4、数（）若，2，3，4，求集合和，以及的值；（）给定正整数，集合，2，对于实数集的非空有限子集，定义集合，求证：；求的最小值参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 1【分析】点，关于坐标平面的对称点为，【解答】解：在空间直角坐标系中，点，2，关于坐标平面的对称点为，2，故选：【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用2【分析】由题意可得，再利用两个向量共线的性质，求得的值【解答】解：，三点共线，求得，故选：【点评】本题主要考查三点共线问题，两个向量共线的性质，属于基础题3【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆
5、心与半径【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，所以圆心坐标为，半径为2，故选：【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程4【分析】根据直线关于轴对称的规律求解即可【解答】解：设是关于轴对称的直线上的任意一点，则关于轴的对称点在直线上，故，即即为所求故选：【点评】本题考查直线间、点之间的对称问题，属于基础题5【分析】对直线是否经过原点分类讨论，结合截距式即可得出【解答】解：直线经过原点时，可得直线的方程为：，化为：直线不经过原点时，可得直线的截距为：，把代入可得：，即方程为：综上可得：，或故选：【点评】本题考查了分类讨论方法、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6【分析
6、】根据题意，分析直线经过的定点，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，直线恒过定点，设，而，则点到直线的最大值为，即最大值为，故选：【点评】本题考查直线过定点问题，涉及点到直线的距离公式，属于基础题7【分析】利用向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析求解即可【解答】解：平行四边形中，对角线、相交于点，向量，平行四边形中，；平行四边形中，又，故选：【点评】本题考查了平行四边形与平行六面体的性质、向量的加法法则等知识，属于基础题8【分析】设，则，1，由，列方程组，能求出的坐标【解答】解：点，2，3，2，设，则，1，3，解得，的坐标是，5，故选：【点评】本题考查点的坐标的求法，考查向量相等
7、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9【分析】先判断充分性，若，可判断直线和直线垂直，再判断必要性，由垂直得，解之即可【解答】解：若，可化为，可化为，直线和直线垂直，若直线和直线垂直，则，则或；故“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选：【点评】本题考查了充分、必要条件的应用，属于基础题10【分析】根据题意，直线恒过定点且直线斜率，然后结合直线的斜率公式及直线倾斜角与斜率变化关系可求【解答】解：直线过定点，如图，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是或故或解得或故选：【点评】本题考查两直线相交于斜率的关系，考查数形结合的解题思想方法，是基础题二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共3
8、0分.11【分析】根据两直线平行时方程的系数关系，列出方程求出的值【解答】解：直线与直线互相平行，即；解得或；当时，重合，不符合题意，时，平行，符合题意，所以实数，故答案为：【点评】本题考查了两直线平行时直线方程系数关系的应用问题，是基础题目12【分析】求出的中点的坐标，即是圆心的坐标，再求半径的值，代入圆的标准方程【解答】解：点，的中点坐标为，即圆心的坐标，半径，所以，为直径的两个端点的圆的方程为：；故答案为：【点评】本题考查求圆的方程的方法，属于基础题13【分析】由题意算出，根据向量，是平面的一个法向量，算出向量在上的投影的绝对值，即可得到到的距离，由此可得本题答案【解答】解：根据题意，可
9、得，3，1，又平面的一个法向量，点在内，1，到的距离等于向量在上的投影的绝对值，即，故答案为：【点评】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题14【分析】以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，即可求得，再由两向量夹角的余弦值可得直线与直线所成角的余弦值【解答】解：以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系如图则，0，1，0，1，；，则直线与直线所成角的余弦值为故答案为：；【点评】本题考查了空间向量的计算，训练了利用空间向量求异面直线所成角的余弦值，是基础题15【分析】根
10、据题意画出图形，结合图形即可求出结果【解答】解：取的中点，连接、，如图所示，四面体的每条棱长都等于2，点，分别是 棱， 的中点，所以，所以平面，又面，所以，又，所以，又，所以，所以；故答案为：1【点评】本题考查了空间向量的数量积运算问题，也考查了空间中的位置关系的应用，属于基础题16【分析】不妨设，则，讨论，的值即可判定【解答】解：不妨设，则，当，时，此时，三点共线，成立，故正确；由，可知，当，时成立，此时为直径三角形，故正确；当时，无解，故错；当时，此时为钝角，且成立，故正确故答案为：【点评】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力三、
11、解答题：本题共5小题，共70分.17【分析】（）只须证明垂直于平面内两相交直线与即可；（）寻找二面角的平面角，转化为解直角三角形问题【解答】（）证明：因为平面，平面，所以，因为，又因为平面，平面，所以平面（）解：过作，则平面平面，因为平面，所以平面，因为平面，平面，所以，所以平面与平面所成角的平面角为，由（）知，所以，所以平面与平面所成角的余弦值为【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题18【分析】设圆的方程为，将点，分别代入该方程，列出方程组，即可求解根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解【解答】解：设圆的方程为，圆通过点，解得，故圆的方程为设直线与
12、圆的距离为，由（1）可知，圆心，当直线与圆相切时，即，解得，当直线与圆相交时，即，解得，当直线与圆相离时，即，解得或，综上所述，当直线与圆相交时，的取值范围为，当直线与圆相切时，的取值范围为或25，当直线与圆相离时，的取值范围为，【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于中档题19【分析】证明，即可得出平面；建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出二面角的大小；计算与的数量积即可得出结论【解答】证明：，分别是，的中点，平面，平面，又平面，是的中点，又，平面，平面，平面解：以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，0，1，1，设平面的
13、法向量为，则，即，令可得，2，又平面，0，为平面的一个法向量，由图形可知二面角为钝二面角，二面角的余弦值为证明：，0，0，0，与不垂直，与平面不平行，又平面，与平面相交【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题20【分析】（）由矩形可得与垂直可得直线的斜率，又过点，代入点斜式方程可得的方程，联立直线，的方程可得的坐标；（）由为的中点，可得的坐标，再由，可得直线的斜率，代入点斜式方程可得直线的方程；（）矩形的外接圆即是以线段的直径的圆的方程，求出的值，代入圆的标准方程中求出圆的方程【解答】解：（）由四边形为矩形，可得，因为边所在直线的方程为，斜率为：，所以可得直线
14、的斜率为：，所以过的直线的方程为：，即；因为为直线，的交点，所以，解得，所以点；（）因为为对角线的交点，所以为的中点，所以，所以可得的坐标，又因为，所以设的方程为：，将的坐标代入可得：，解得：，所以直线的方程为：；（）矩形的外接圆以为圆心，以为直径的圆，所以矩形外接圆的方程为：【点评】本题考查直线的平行和垂直时的斜率的关系及外接圆的方程的求法，属于基础题21【分析】（）根据题意直接可以得出答案；（）分中含有一个不在中的元素及，且两种情形讨论求证；结合知，讨论若，或，得，若，且，可证得的最小值是【解答】解：（），；（）证明：显然，若中含有一个不在中的元素，则，即，；若，且，则，此时中最小的元素，中最小的元素，中最小的元素，2，即，综上，；由知，若，或，则，若，且，设，且，则，若，则，若，因为，这个数一定在集合中，且均不等于1，；当，3，时，的最小值是【点评】本题考查集合中的新定义问题，考查知识迁移能力，逻辑推理能力，对学生的综合数学素养要求较高，属于难题