1、2021 年北京市朝阳区三校联考高二上期中数学试卷（年北京市朝阳区三校联考高二上期中数学试卷（B） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1已知直线l经过点(1,3)A，(5,7)B，则l的倾斜角为（ ） A30 B45 C60 D135 2圆心为( 3,2)且过点(1, 1)A的圆的方程是（ ） A22(3)(2)5xy B22(3)(2)5xy C22(3)(2)25xy D22(3)(2)25xy 3已知直线250 xy与直线260 xmy互相垂直，则m （ ） A1 B14 C1 D4 4已知双曲线的一条渐近线为 3 = 0，且一个焦点坐标是(2,0)，则双曲线的标准
2、方程是（ ） A223=1 B23 2=1 C223=1 D23 2=1 5已知向量( 1,2,1),(2, , )x y ab，且/ab，那么|b（ ） （A）2 6 （B）6 （C）4 6 （D）12 6如图，已知直线 l 与圆22:4O xy相交于 A，B 两点，若平面向量OA，OB满足2OA OB ，则OA和OB的夹角为（ ） A45 B90 C120 D150 7“3a ”是“直线40 xy与圆2238xay相切”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星
3、发射中心发射.12 日下午 4点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为 A35 B18 C340 D125 9已知椭圆C：222210 xyabab，椭圆的左、右焦点分别为1F，2F，P是椭圆C上的任意一点，且满足120PF PF，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A10,2 B20,2 C12,22 D2,12 10如图，在正方体1111ABCDABC D中，M，N分别是棱AB，1BB的中点，点P在对角线1CA上运动.当PM
4、N的面积取得最小值时，点P的位置是（ ） A线段1CA的三等分点，且靠近点1A B线段1CA的中点 C线段1CA的三等分点，且靠近点C D线段1CA的四等分点，且靠近点C 第二部分（非选择题 共 100 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11只知两条直线1:210lxy ，2:20()lxmymR平行，则 m 的值为_. 12 已知椭圆C：2214xy的两个焦点分别为1F，2F， 过点1F且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点M，N，则2MNF的周长是_. 13若直线3450 xy与圆2+ 2= 4相交于 A,B 两点，则|AB|=_. 14 三棱锥PABC的三条侧棱两
5、两垂直， 且1PAPBPC， 若2P D P A P BP C， 则| =_ 15如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且C1CBC1CDBCD60 .CDCC11.则 A1C 与平面 C1BD_（填“垂直”或“不垂直”） ；A1C 的长为_. 16在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点()1,0A和点1,0B 的距离之积等于2的所有点组成的对于曲线C，有下列四个结论： 曲线C是轴对称图形； 曲线C是中心对称图形； 曲线C上所有的点都在单位圆221xy内； 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
6、。 17 （15 分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点1,0A ，1,2B. （1）求线段AB的垂直平分线方程； （2）求圆C的标准方程； （3）已知直线l：1ykx与圆C相交于M、N两点，且2 2MN ，求直线l的方程. 18 （13 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23，短轴一个端点到右焦点的距离为 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线: 2lyx交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标 19 （15 分）已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PD 平面ABCD,1PDAB=,E是PB的中点. （1）求平面EAD与平面的夹角; （2）求点
7、 B 到平面ADE的距离 （3）试判断AE所在直线与平面PCD是否平行,并说明理由. 20 （14 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，四边形11AACC是边长为4的正方形，3AB .再从条件条件条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答. （1）求证：AB 平面11AACC； （2）求直线BC与平面11ABC所成角的正弦值. 条件：5BC ；条件：1ABAA； 条件：平面ABC 平面11AACC. 21 （13 分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1)A、(0, 1)B，焦距为2 3 （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线ym与椭圆C有两个不同的交点M、N，设D为直线AN上
8、一点，且直线BD、BM的斜率的积为14证明：点D在x轴上 ADB参考答案参考答案 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 【答案】B 【详解】由题设，7315 1ABk，若l的倾斜角为，则tan1，又0, ), 4.故选：B 2 【答案】D 【详解】圆心为（3，2）且过点 A（1，1） ，圆的半径22( 3 1)(2 1)5r ， 则圆的方程为（x+3）2+（y2）225故选 D 3 【答案】C 【详解】因为直线250 xy与直线260 xmy互相垂直， 所以1 2( 2)0m ，解得1m.故选：C. 4 【答案】B 5【答
9、案】A 6 【答案】C 【详解】由题可得圆半径为 2，即2OAOB， 则21cos,2 22OA OBOA OBOA OB ，所以OA和OB的夹角为120.故选：C. 7 【答案】A 【详解】若直线与圆相切，则342 232aa ， 或5a ， 所以“3a ”是“直线4yx与圆2238xay相切”的充分不必要条件 故选:A 8 【答案】C 【详解】如下图，F 为月球的球心，月球半径为：12 34761738， 依题意，AF10017381838， BF40017382138. 2a18382138，a1988，ac2138，c21381988150， 椭圆的离心率为：1503198840cea
10、，选 C. 9 【答案】B 【详解】 由已知得1210 ,10FF ，设00P xy，则100200(,),(,)PFcxyPFcxy ，因为120PF PF，所以0000(,) (,)0cxycxy ，222000cxy，即22200 xyc，因为点 P 是椭圆上的任意一点，所以2200 xy表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 所以222200minxybc， 所以222acc， 即2212ca，所以20,2cea，故选：B. 10 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为 1，以A 为原点，1,AB AD AA分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则1( ,0,0)2M，1
11、(1,0, )2N，MN的中点31( ,0, )44Q，1(0,0,1)A，(1,1,0)C，则1(1,1, 1)AC ， 设( , , )P t t z，(1,1,)PCttz， 由1AC与PC共线，可得11111ttz，所以1tz ，所以(1,1, )Pzz z，其中01z， 因为2221|(1)(10)(0)2PMzzz 25334zz， 2221|(11)(10)()2PNzzz 25334zz， 所以| |PMPN，所以PQMN，即|PQ是动点P到直线MN的距离， 由空间两点间的距离公式可得22231|(1)(10)()44PQzzz 29338zz2133()28z， 所以当12c
12、 时，|PQ取得最小值64，此时P为线段1CA的中点， 由于2|4MN 为定值，所以当PMN的面积取得最小值时，P为线段1CA的中点. 故选：B 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11 【答案】4 【详解】解：两条直线1:210lxy ，2:20()lxmymR平行，则12 2m ，得4m ，故答案为：4. 12 【答案】8 【详解】2MNF的周长为2211222 22 28MNMFNFMFNFMFNF ， 故答案为：8. 13 【答案】23 14 【答案】6 15 【答案】垂直 6 【详解】设CBa，CDb，1CCc，由题意可得1CAabc， 则 2211CA BDCA
13、CDCBabcbabac bc a cos60cos600c bca，1CABD，同理可证11CABC， 1BDBCB，故1CA 平面1C BD C1CBC1CDBCD60 .CDCC11，11CDCBCC, 222221111()2()1 1 1 2()6222CAabcabca bb ca c 16CA, 即 A1C 的长为6. 故答案为：垂直；6 16 【答案】 【详解】由题意，设动点坐标为, x y，利用题意及两点间的距离公式的得：2222121xyxy， 对于，分别将方程中的x被x代换y不变，y被 y代换x不变，方程都不变，故关于y轴对称和x轴对称，故曲线C是轴对称图形，故正确 对于
14、，把方程中的x被x代换且y被y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C是中心对称图形，故正确； 对于，令y0 可得，22121xx，即x2=1+21，此时对应的点不在单位圆x2+y2=1内，故错误故答案为： 四、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 【答案】 （1）1yx ； （2）22(1)4xy； （3）1yx 解： （1） 设AB的中点为D，则(0,1)D2 分 由圆的性质，得CDAB，所以1CDABkk ，得1CDk. 4 分 所以线段AB的垂直平分线的方程是1yx . 5 分 (2) 设圆C的标准方程为222()xayr，其中( ,0)
15、C a，半径为r（0r ）. 由圆的性质，圆心( ,0)C a在直线CD上，化简得1a 所以 圆心(1,0)C， | 2rCA， 所以 圆C的标准方程为22(1)4xy5 分 (3)设F为MN中点， 则CFl， 得2F MF N 设圆心C到直线l的距离2|4( 2)2dCF. 又2|1 1|21kdk ，解得1k ，所以直线l的方程为1yx5 分 18 【答案】 （1）22195xy； （2）9 5,7 7. 【详解】 （1）因为椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23，短轴一个端点到右焦点的距离为 3 所以2,33caa，所以2,5cb 所以椭圆 C 的方程为22195xy5 分
16、（2）设1122,A x yB x y 由221952xyyx可得2143690 xx，所以121212361810,41477xxyyxx 所以线段 AB 的中点坐标为9 5,7 78 分 19 【详解】 （1）PD 平面ABCD, ,AD CD 平面ABCD ,PDAD PDCD， 又ABCD是正方形ADCD ,DA DC DP两两垂直，以D为原点如图建系,2 分，配上带坐标系的图 0,0,0D （）,(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P , 1 1 1,2 2 2E 1 1 1(1,0,0),2 2 2DADE3 分 又PD 平面ABCD，平面AD
17、B的法向量(0,0,1)DP 4 分 设平面ADE 的法向量( , , )nx y z，则DAn,DEn 01110222DA nxDE nxyz5 分 令1z ,得1,0yx (0, 1,1)n 6 分 12cos,2| |12DP nDP nDPn7 分 二面角EADB的大小为458 分 （2）因为(1,1,0)DB ，平面ADE 的法向量(0, 1,1)n 所以点 B 到平面ADE的距离为1122 2DB nn11 分 （3）PDAD,ADCD ,PDCDD 又,PD CD 平面PCD,AD平面PCD 平面PCD的法向量为(1,0,0)DA，又1 1 11,02 2 22AEAE DA
18、AE与DA不垂直,AE与平面PCD不平行15 分 20 【答案】条件选择见解析； （1）证明见解析； （2）1225. 解：选择：1 分 （1）因为4AC ，3AB ，5BC ， 所以ABAC.3 分 又因为1ABAA，1ACAAA， 所以AB 平面11AACC.5 分 选择： （1）因为4AC ，3AB ，5BC ， 所以ABAC. 又因为平面ABC 平面11AACC， 平面ABC平面11AACCAC， 所以AB 平面11AACC.5 分 （2）由（1）知ABAC，1ABAA. 因为四边形11AACC是正方形，所以1ACAA.1 分 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，2 分 则(0
19、,0,0)A，(3,0,0)B，(0,0,4)C，1(0,4,0)A，1(0,4,4)C，3 分 1(3, 4,0)AB ，11(0,0,4)AC ，( 3,0,4)BC .4 分 设平面11ABC的一个法向量为( , , )nx y z， 则1110,0,n ABn AC 即340,40.xyz5 分 令3y ，则4x ，0z ，所以(4,3,0)n .6 分 设直线BC与平面11ABC所成角为， 则|12sin|cos,|25|BC nBC nBCn.8 分 所以直线BC与平面11ABC所成角的正弦值为1225.9 分 21 【答案】 （1）2214xy； （2）证明见解析. 【详解】 （1）由题设，得13bc，所以2224abc，即2a 3 分 故椭圆C的方程为2214xy；4 分 （2）设1,M x m，则1,Nx m，10 x ，11m 所以直线BM的斜率为11( 1)10mmxx ，1 分 因为直线BD、BM的斜率的积为14，所以直线BD的斜率为14(1)xm2 分 直线BD的方程为114(1)xyxm 3 分 直线AN的方程为111myxx，4 分 联立111114(1)myxxxyxm ，解得点D的纵坐标为221221114114Dxmyxm7 分 因为点M在椭圆C上，所以22114xm，8 分 则0Dy ，所以点D在x轴上9 分