1、2022年湖南省长沙市雨花区二校联考中考二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（ ）A. 2022B. -2022C. D. 2. 粽香飘星城，喜迎八方客2020年端午假期，长沙市共接待游客2623000人次把2623000这个数用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 2022年北京和张家口成功举办了第24届冬奥会和冬残奥会下面关于奥运会的剪纸图片中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列各运算中，正确的运算是（ ）A. B. （2a）38a3C. a8a4a2D. （ab）2a2b25. 下列说法正确的是（ ）A. 要调查
2、现在人们在数字化时代的生活方式，宜采用全面调查方式；B. 一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是5； C. 要调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，宜采用抽样调查方式；D. 若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则甲组数据更稳定6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，为的外角，平分，EBAC，则的度数为（ ）A B. C. D. 8. 如图，已知AC是O的直径，过点C的弦CD平行于半径OB，若C的度数是40，则B的度数是（）A. 15B. 20C. 30D. 409. 如图，在平面直角坐标系中，已知，ABC与DEF位似，原点O是位似
3、中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球抛出3秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程是80m；小球的高度h20时，t1s或5s小球抛出2秒后的高度是35m其中正确的有（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11. 分解因式：_12. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是_13. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_（结果保留14. 如图，在中，平分交于点，垂足为，若，则的长为_15. 如图，平行四边
4、形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点则与的面积的比等于_16. 茶颜悦色是长沙本土知名奶茶品牌，更是被全国奶茶爱好者所知的“网红”品牌，2013年创立于长沙，目前在长沙地区有100多家直营门店黄经理负责其中一家门店，若一杯幽兰拿铁成本是7元，卖17元，某顾客来买了一杯幽兰拿铁，给了黄经理一张50元纸币，黄经理没零钱，于是找邻居换了50元零钱事后邻居发现那50元纸币是假的，最后黄经理又赔了邻居50元请问黄经理一共亏了 _元三、解答题（本大题共9小题，共72分）17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中.19. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂
5、线已知：如图1，直线l及其外一点A求作：l垂线，使它经过点A小云的作法如下：在直线l上任取一点B，连接AB以点A为圆心，线段AB的长度为半径作弧，交直线于点D分别以B、D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C作直线AC，直线AC即为所求（如图2）（1）请证明：AC丄直线l（2）若BD=12，AC=16，求四边形ABCD的周长20. 我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为A、B、C、D.为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表.校本课程频数频率A：无人机360.45B：交响乐团0.25C：
6、诗歌鉴赏16bD：木工制作8合计a1请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a ，b ；（2）D对应扇形的圆心角为 度；（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“交响乐团”校本课程的人数；（4）兰兰和瑶瑶参加校本课程学习，若每人从A、B、C三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率.21. 如图，在四边形中，（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，求四边形的面积22. A市准备争创全国卫生城市某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价
7、的3倍（1）求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案23. 如图，在中，以为直径交于点，是的中点，连接、（1）求证：；（2）判断与位置关系，并说明理由；（3）设与的交点为，若，求的长24. 在平面直角坐标系中，若对于任意两点，、，都有，则称A、两点互为“友好点”已知点（1）若、，则点A的“友好点”是 ；（2）若、都在双曲线上，且A、两点互为“友好点”请求出点的坐标；（3）已知抛物线，为常数）顶点为点，与轴交于A、两点，与直线交于、两点若满足抛物线过点；为等边三角形；、两点互为“友好
8、点”求的值25. 在半径为5的圆中，弦，点是劣弧上的动点（可与、重合），连接交于点（1）如图1，当时，求的长度；（2）如图2，过点作，垂足为点，设，求的长度（用含的式子表示），并指出的取值范围；（3）如图3，设，连接求取值范围2022年湖南省长沙市雨花区二校联考中考二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（ ）A. 2022B. -2022C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数判断即可【详解】解：的倒数是2022；故选A【点睛】本题主要考查了倒数的定义，准确分析判断是解题的关键2. 粽香飘星城，喜迎八方客2020年端
9、午假期，长沙市共接待游客2623000人次把2623000这个数用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可【详解】解：故选：C【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数3. 2022年北京和张家口成功举办了第24届冬奥会和冬残奥会下面关于奥运会的剪纸图片中是轴对称图形的是（ ）A. B. C.
10、 D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念依次判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故符合题意；故选：D【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念并找到对称轴是解答本题的关键如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴4. 下列各运算中，正确的运算是（ ）A. B. （2a）38a3C. a8a4a2D. （ab）2a2b2【答案】B【解析】【分析】分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则及
11、完全平方公式分析即可【详解】解：A、与不是同类二次根式，与不能合并，故A错误；B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）38a3，故B正确；C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8a4a4，故C错误；D、根据完全平方公式可知，（ab）2a22abb2，故D错误综上，只有B正确故选：B【点睛】本题考查了二次根式的加法运算及整式乘除法的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键5. 下列说法正确的是（ ）A. 要调查现在人们在数字化时代的生活方式，宜采用全面调查方式；B. 一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是5； C. 要调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，宜采用抽样调查方式；D. 若甲组数据的方差
12、s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则甲组数据更稳定【答案】C【解析】【分析】直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案【详解】解：A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误；B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误；C、要调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，宜采用抽样调查方式，正确；D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误；故选：C【点睛】此题主要考查了概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关
13、定义是解题关键6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解【详解】解：由x1得：x2由2-x3得：x-1所以不等式组的解集为-1x2故选C【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示7. 如图，为的外角，平分，EBA
14、C，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质，得到，再根据平分，即可得到的度数【详解】解：EBAC，又平分，故选：B【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，以及角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键8. 如图，已知AC是O的直径，过点C的弦CD平行于半径OB，若C的度数是40，则B的度数是（）A. 15B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】首先根据平行线性质以及等边对等角证得BOC=C=40，B=A，利用三角形的外角的性质，得出答案【详解】解：CDBO，BOCC40，AOBO，AB，A+BBOC40，AB20故选：
15、B【点睛】本题考查了等边对等角、以及三角形的外角的性质、平行线的性质定理，正确理解定理是关键9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据位似图形的概念得到ABDE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案【详解】解：A（1，0），D（3，0），OA1，OD3，ABC与DEF位似，ABDE，ABC与DEF的位似比为1：3，点B的坐标为（2，1），E点的坐标为（23，13），即E点的坐标为（6，3），故选：D【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出ABC与D
16、EF的位似比是解题的关键10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球抛出3秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程是80m；小球的高度h20时，t1s或5s小球抛出2秒后的高度是35m其中正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为ha（t3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可【详解】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解
17、析式为ha（t3）2+40，将（0，0）代入得：0a（03）2+40，解得：a，h（t3）2+40顶点为（3，40），小球抛出3秒时达到最高点，故正确；小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40280m，故正确；令h20，则20（t3）2+40，解得t3，故错误；令t2，则h（23）2+40m，故错误综上，正确的有故选：A【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解【详解】解：，故
18、答案为：【点睛】本题考查综合提公因式法和公式法进行因式分解，因式分解时有公因式一定要先提公因式12. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是_【答案】1【解析】【分析】关于x的方程x2-2xk0有两个相等的实数根，即b24ac0，代入即可求k值.【详解】解：关于x的方程x2-2xk0有两个相等的实数根，b24ac（-2）24k0，解得k1，故答案：1【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根与根的判别式b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根上述结论反过来也成立13. 已知扇形的
19、圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_（结果保留【答案】#【解析】【分析】已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算【详解】解：依题意，扇形的弧长故答案为：【点睛】本题考查了弧长公式的运用关键是熟悉公式：扇形的弧长=14. 如图，在中，平分交于点，垂足为，若，则的长为_【答案】【解析】【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得【详解】解：平分，故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点则与的面积的比等于_【答案】1：4【解析】【分析】根据OE是中位线，得BC=2OE，B
20、COE，利用三角形相似的性质面积比性质计算即可【详解】平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，BC=2OE，BCOE，DOEDBC，=1：4，故答案为：1：4【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质，正确运用三条性质是解题的关键16. 茶颜悦色是长沙本土知名奶茶品牌，更是被全国奶茶爱好者所知的“网红”品牌，2013年创立于长沙，目前在长沙地区有100多家直营门店黄经理负责其中一家门店，若一杯幽兰拿铁成本是7元，卖17元，某顾客来买了一杯幽兰拿铁，给了黄经理一张50元纸币，黄经理没零钱，于是找邻居换了50元零钱事后邻居发现那50元纸币是假的
21、，最后黄经理又赔了邻居50元请问黄经理一共亏了 _元【答案】40【解析】【分析】首先算出黄经理总的支出，再求出他的总收入，进而得出黄经理的亏损【详解】解：根据题意可得：总支出：幽兰拿铁成本是7元，找零钱元，赔邻居50元，共（元，总收入：和邻居换钱得50元，总共50元，剩余：（元，即黄经理一共亏了40元故答案为：40【点睛】本题考查有理数加减运算的实际应用，读懂题意，计算出总的收入和总的支出是解题的关键三、解答题（本大题共9小题，共72分）17. 计算：【答案】5【解析】【分析】先计算负整数指数幂、开方运算、绝对值及三角函数，再合并同类二次根式即可【详解】解：【点睛】此题考查了负整数指数幂、开方
22、运算、绝对值、三角函数、合并同类二次根式等知识，熟练掌握相关运算是法则是解题的关键18. 先化简，再求值：，其中.【答案】；【解析】【详解】原式=当时，原式=19. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线已知：如图1，直线l及其外一点A求作：l的垂线，使它经过点A小云的作法如下：在直线l上任取一点B，连接AB以点A为圆心，线段AB的长度为半径作弧，交直线于点D分别以B、D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C作直线AC，直线AC即为所求（如图2）（1）请证明：AC丄直线l（2）若BD=12，AC=16，求四边形ABCD的周长【答案】（1）见详解； （2）
23、40；【解析】【分析】（1）根据菱形的判定和性质（对角线互相垂直平分），证明即可；（2）由（1）的结论，利用勾股定理求出菱形的边长，从而求周长；【小问1详解】证明：由作法得，四边形为菱形，即直线l【小问2详解】解：AC与BD相交于O点，如图，四边形为菱形，在中，四边形的周长【点睛】本题考查了菱形的判定（四条边相等的四边形）和性质，勾股定理；掌握菱形的判定和性质是解题的关键20. 我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为A、B、C、D.为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表.校本课程频数频率A：无人
24、机360.45B：交响乐团0.25C：诗歌鉴赏16bD：木工制作8合计a1请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a ，b ；（2）D对应扇形的圆心角为 度；（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“交响乐团”校本课程的人数；（4）兰兰和瑶瑶参加校本课程学习，若每人从A、B、C三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率.【答案】（1）80，0.20； （2）36； （3）500人； （4）树状图见解析，【解析】【分析】（1）由A的频数除以频率得出a的值，即可解决问题；（2）由360乘以D所占的比例即可；（3）由该校学生
25、总人数乘以最喜欢“交响乐团”校本课程的人数所占的百分数即可；（4）画树状图，共有9种等可能的情况，其中兰兰和瑶瑶两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，再由概率公式求解即可【小问1详解】解：a360.4580，b16800.20，故答案为：80，0.20；【小问2详解】D对应扇形的圆心角为：36036，故答案为：36；【小问3详解】估计该校2000名学生中最喜欢“交响乐团”校本课程的人数为：200025%500（人）；【小问4详解】画树状图如下：共有9种等可能的情况，其中兰兰和瑶瑶两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，兰兰和瑶瑶两人恰好选中同一门校本课程的概率为【点睛】此题考查的是用树状
26、图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.21. 如图，在四边形中，（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，求四边形的面积【答案】（1）见解析；（2）120【解析】【分析】（1）由可得两对内错角，再加上已知，可用AAS证明，所以，进而可用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可证为平行四边形；（2）在中，可得,至此，用勾股定理的逆定理可判断定AOD为直角三角形，然后再利用平行四边形面积公式进行求解即可【详解】证明：（1），又AB/CD，四边形为平行四边形
27、；（2） 四边形ABCD为平行四边形，,又AD=12，OD=OB=5，OD 2 + AD 2 =52+122=169， OA 2 = 132=169，BD=10，OD2+AD2=OA2，ADB=90，S四边形ABCD=ADBD=1210=120【点睛】本题主要考查了用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形，勾股定理的逆定理，平行四边形的面积计算22. A市准备争创全国卫生城市某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍（1）求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?（2）该小区至少需要安放48个
28、垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案【答案】（1）50元，150元；（2）提示牌50个，垃圾箱50个；提示牌51个，垃圾箱49个；提示牌52个，垃圾箱48个；【解析】【分析】1）根据“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论【详解】解：（1）设提示牌的单价为元，则垃圾箱的单价为元，根据题意得，即：提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买提示牌个为正整数），则垃圾箱为个，根据题意得，为正整数，为50，51，52，共3
29、种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程应用，正确找出相等关系是解本题的关键23. 如图，在中，以为直径的交于点，是的中点，连接、（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由；（3）设与的交点为，若，求的长【答案】（1）见解析 （2）与相切，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得结论；（2）连接、，如图，利用圆周角定理得到，则根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论；（3）证明，利用相似比计算出，再
30、证明为的中位线得到，然后利用相似比计算的长【小问1详解】证明：以为直径的交于点，；【小问2详解】解：与相切理由如下：连接、，如图，为直径，为的斜边的中点，而，为的切线；【小问3详解】解：，为的中位线，【点睛】本题考查了圆的切线的判定和圆的性质，线段的中点，勾股定理等知识，综合性较强解（1）题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角；解（2）题的关键是证明 ；解（3）题关键是根据题意证明出24. 在平面直角坐标系中，若对于任意两点，、，都有，则称A、两点互为“友好点”已知点（1）若、，则点A的“友好点”是 ；（2）若、都在双曲线上，且A、两点互为“友好点”请求出点的坐标；（3）已知抛物线，为常数）顶点
31、为点，与轴交于A、两点，与直线交于、两点若满足抛物线过点；为等边三角形；、两点互为“友好点”求的值【答案】（1） （2）或 （3）202【解析】【分析】（1）利用互为“友好点”的定义进行逐一判断即可得出结论；（2）利用待定系数法求得值，利用互为“友好点”的定义列出关于的方程，解方程求得值即可得出结论；（3）利用待定系数法求得值，利用为等边三角形得到，将抛物线与直线联立得到，设，利用一元二次方程根与系数的关系得到；利用、两点互为“友好点”，得到，整理得到，将此式子代入中即可得出值，将，值代入运算即可得出结论【小问1详解】解：，点A与点不是互为“友好点”；，点A与点是互为“友好点”；，点A与点不是
32、互为“友好点”，综上，点A的“友好点”是点，故答案为：；【小问2详解】在双曲线上，、两点互为“友好点”，解得：或或；【小问3详解】抛物线过点，抛物线与轴交于A、两点，抛物线的顶点为点，则中边上的高为等边三角形，抛物线与直线交于、两点，设，则，是方程的两个根，、两点互为“友好点”，【点睛】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，此题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义的意义是解题的关键25. 在半径为5的圆中，弦，点是劣弧上的动点（可与、重合），连接交于点（1）如图1，当时，求的长度；（2）如图2，过点作，垂足为点，设，求的长度（用含的式子表示），并指出的取值范围；（3）如图3，设，连接求的取值范围【答案】（1）3 （2）， （3）【解析】【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由勾股定理可求；（2）过点作直线于，交于，通过证明，可得，即可求解；（3）过点作直线于，交于，过点作于，四边形是矩形，利用勾股定理可求，即可求解【小问1详解】解：如图1，连接，；【小问2详解】如图2，过点作直线于，交于，由（1）可得，；【小问3详解】如图3，过点作直线于，交于，过点作于，四边形是矩形，【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键