1、2021-2022 学年北京市朝阳区四校联考八年级上期中数学试卷学年北京市朝阳区四校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A 清华大学 B 北京大学 C 中国人民大学 D 浙江大学 2下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A3cm，5cm，8cm B8cm，8cm，18cm C3cm，3cm，5cm D3cm，4cm，8cm 3如图，ACD 是ABC 的外角，CE 平分ACD，若A60，B40，则ECD 等于（ ） A40 B45 C50 D55 4用直尺和圆规作一个角等于已
2、知角，如图，能得出AOBAOB 的依据是（ ） A （SAS） B （SSS） C （ASA） D （AAS） 5如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） AABC 的三条中线的交点 BABC 三边的中垂线的交点 CABC 三条角平分线的交点 DABC 三条高所在直线的交点 6如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A （ab）2a22ab+b2 Ba（ab）a2ab C （ab）2a2b2 Da2b2（a+b
3、） （ab） 7 如图， 已知 D 为ABC 边 AB 的中点， E 在 AC 上， 将ABC 沿着 DE 折叠， 使 A 点落在 BC 上的 F 处 若B65，则BDF 等于（ ） A65 B50 C60 D57.5 8如图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧交 AB 于 M、AC 于 N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于 D，下列四个结论： AD 是BAC 的平分线； ADC60； 点 D 在 AB 的中垂线上； SACD：SACB1：3 其中正确的有（ ） A只有 B只有 C只有 D 二、填空题
4、（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9计算：28x4y27x3y 10随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 11沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由 C 走到 D 的过程中，通过隔离带的空隙 P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，ABPMCD，相邻两平行线间的距离相等， AC， BD相交于P， PDCD垂足为D 已知CD16米 请根据上述信息求标语
5、AB的长度 12已知点 P（3，1） ，关于 y 轴的对称点的坐标是 13若等腰三角形的顶角为 30，腰长为 6，则此等腰三角形的面积为 14如图，ABCADE，BC 的延长线交 DA 于 F，交 DE 于 G，D25，E105， DAC16，则DGB 15如图，是某课题学习小组对地图上的 A、B、E、F、G、H、P、C 八处地点进行观察、分析在讨论中得到了BC60，F、H 都在线段 BC 上，EFGHAC，PHGFAB 的正确结论接着，小聪又提出了如下结论线路 BAC 与线路 BEFGHPC 一样长 请判断小聪提出的结论正确吗？ （填“正确”或“错误” ） 16如图，已知四边形 ABCD 中
6、，AB12 厘米，BC8 厘米，CD14 厘米，BC，点 E 为线段 AB的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C点向 D 点运动当点 Q 的运动速度为 厘米/秒时，能够使BPE 与以 C、P、Q 三点所构成的三角形全等 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 68 分，第分，第 1722 题每题题每题 5 分，第分，第 2326 题每题题每题 6 分，第分，第 2728 题每题题每题 7 分）分） 17计算： （x2） （x5）x（x3） 18计算： （8a34a2b+5a2）（2a）2 19因式分解：ax26a
7、x+9a 20因式分解：a2（xy）+（yx） 21如图，点 B、F、C、E 在直线 l 上（F、C 之间不能直接测量） ，点 A、D 在 l 异侧，测得 ABDE，ABDE，AD （1）求证：ABCDEF； （2）若 BE10m，BF3m，求 FC 的长度 22已知：如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC80，AD 平分BAC，且 ADAE；求EDC 的度数 23已知 3x2x10，求代数式（2x+5） （2x5）+2x（x1）的值 24如图，在ABC 中，ABACBC，P 为 BC 上一点（不与 B，C 重合） 在 AB 上找一点 M，在 AC 上找一点 N，使得AMN 与PMN 全等，
8、以下是甲，乙两位同学的作法 甲：连接 AP，作线投 AP 的垂直平分线，分别交 AB，AC 于 M，N 两点，则 M，N 两点即为所求； 乙：过点 P 作 PMAC，交 AB 于点 M，过点 P 作 PNAB，交 AC 于点 N，则 M，N 两点即为所求 （1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ； A两人都正确 B甲正确，乙错误 C甲错误，乙正确 （2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明 25如图，在等边三角形 ABC 中，AECD，AD，BE 相交于点 P，BQAD 于 Q 求证： （1）ABECAD； （2）BP2PQ 26阅读理解： 32+42234 32+32233； （2
9、）2+422（2）4； （5）2+（5）22（5）（5） （1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有 a、b 的式子表示上述规律； （2）运用你所学的知识证明你发现的规律； （3）已知 a+b4，求 ab 的最大值 27在等边三角形 ABC 外侧作射线 AP，BAP，点 B 关于射线 AP 的对称点为点 D，连接 CD 交 AP 于点 E （1）依题意补全图形； （2）求AEC 的度数； （3）当 060时，用等式表示线段 AE，CD，DE 之间的数量关系，并证明 28对于ABC 及其边上的点 P，给出如下定义：如果点 M1，M2，M3，Mn都在ABC 的边上，且 PM1PM2PM3
10、PMn， 那么称点 M1， M2， M3， ， Mn为ABC 关于点 P 的等距点， 线段 PM1， PM2，PM3，PMn，为ABC 关于点 P 的等距线段 （1）如图 1，ABC 中，A90，ABAC，点 P 是 BC 的中点 点 B， C ABC 关于点 P 的等距点， 线段 PA， PB ABC 关于点 P 的等距线段；（填 “是”或“不是” ） ABC 关于点 P 的两个等距点 M1，M2分别在边 AB，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画出线段 PM1，PM2； （2）如图 2，ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C，D 是ABC 关于点 P
11、的等距点，且 PC1，求线段 DC 的长； （3）如图 3，在 RtABC 中，C90，B30点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好有 3 个，且其中一个是点 C若 BCa，直接写出 PC （用含 a 的式子表示） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A 清华大学 B 北京大学 C 中国人民大学 D 浙江大学 【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错
12、误； D、不是轴对称图形，故此选项错误 故选：B 【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称 2下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A3cm，5cm，8cm B8cm，8cm，18cm C3cm，3cm，5cm D3cm，4cm，8cm 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，进行分析 【解答】解：A.3+58，不能构成三角形，故不符合题意； B.8+81618，不能构成三角形，故不符合题意； C
13、.3+365，能构成三角形，故符合题意； D.3+478，不能构成三角形，故不符合题意 故选：C 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键 3如图，ACD 是ABC 的外角，CE 平分ACD，若A60，B40，则ECD 等于（ ） A40 B45 C50 D55 【分析】根据三角形外角性质求出ACD，根据角平分线定义求出即可 【解答】解：A60，B40， ACDA+B100， CE 平分ACD， ECDACD50， 故选：C 【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键 4用直尺和圆
14、规作一个角等于已知角，如图，能得出AOBAOB 的依据是（ ） A （SAS） B （SSS） C （ASA） D （AAS） 【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用 SSS，答案可得 【解答】解：作图的步骤： 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 D、C； 任意作一点 O，作射线 OB，以 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OB于点 C； 以 C为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D； 过点 D作射线 OA 所以AOB就是与AOB 相等的角； 作图完毕 在OCD 与OCD， ， OCDOCD（SSS） ， AO
15、BAOB， 显然运用的判定方法是 SSS 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键 5如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） AABC 的三条中线的交点 BABC 三边的中垂线的交点 CABC 三条角平分线的交点 DABC 三条高所在直线的交点 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是ABC三条角平分线的交点由此即可确定凉亭位置 【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭选择
16、ABC 三条角平分线的交点 故选：C 【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 6如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A （ab）2a22ab+b2 Ba（ab）a2ab C （ab）2a2b2 Da2b2（a+b） （ab） 【分析】根据面积相等，列出关系式即可 【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， a2b2（a+b） （ab） ， 故选：D 【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握
17、，能根据在边长为 a 的大正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形是解此题的关键 7 如图， 已知 D 为ABC 边 AB 的中点， E 在 AC 上， 将ABC 沿着 DE 折叠， 使 A 点落在 BC 上的 F 处 若B65，则BDF 等于（ ） A65 B50 C60 D57.5 【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得 ADDF，根据等边对等角的性质可得BBFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解 【解答】解：DEF 是DEA 沿直线 DE 翻折变换而来， ADDF， D 是 AB 边的中点， ADBD， BDDF， BBFD， B65， BDF180BBFD180656550 故选
18、：B 【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键 8如图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧交 AB 于 M、AC 于 N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于 D，下列四个结论： AD 是BAC 的平分线； ADC60； 点 D 在 AB 的中垂线上； SACD：SACB1：3 其中正确的有（ ） A只有 B只有 C只有 D 【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可 【解答】解：根据作图方法可得 AD 是BAC
19、的平分线，故正确； C90，B30， CAB60， AD 是BAC 的平分线， DACDAB30， ADC60，故正确； B30，DAB30， ADDB， 点 D 在 AB 的中垂线上，故正确； CAD30， CDAD， ADDB， CDDB， CDCB， SACDCDAC，SACBCBAC， SACD：SACB1：3，故正确， 故选：D 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法等知识，根据角平分线的性质得出DACDAB30是解题关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9计算：28x4y27x3y 4xy 【分析】根据单项式除以单项式
20、的法则计算即可 【解答】解：28x4y27x3y4xy， 故答案为：4xy 【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是单项式除以单项式的法则，在计算时要注意系数和指数的变化 10随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 三角形的稳定性 【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可 【解答】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性 【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的
21、关键是掌握三角形具有稳定性 11沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由 C 走到 D 的过程中，通过隔离带的空隙 P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，ABPMCD，相邻两平行线间的距离相等， AC， BD 相交于 P， PDCD 垂足为 D 已知 CD16 米 请根据上述信息求标语 AB 的长度 16米 【分析】由 ABCD，利用平行线的性质可得ABPCDP，利用 ASA 定理可得，ABPCDP，由全等三角形的性质可得结果 【解答】解：ABCD， ABPCDP， PDCD， CDP90， ABP90，即 PBAB， 相邻两平行线间的距离相等， PDPB，
22、在ABP 与CDP 中， ， ABPCDP（ASA） ， CDAB16（米） ， 故答案为：16 米 【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键 12已知点 P（3，1） ，关于 y 轴的对称点的坐标是 （3，1） 【分析】根据关于 y 轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特征解决问题即可 【解答】解：点 P（3，1） ， 点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是（3，1） ， 故答案为： （3，1） 【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解关于 y 轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等 13若等腰三角形的顶角为 30，腰长为 6
23、，则此等腰三角形的面积为 9 【分析】过点 B 作 BDAC 于点 D，根据直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求得 BD3，然后利用三角形面积公式解答即可 【解答】解：如图所示，过 B 作 BDAC 于 D， A30，AB6， BDAB3， SABCACBD639， 故答案为：9 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含 30角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半 14如图，ABCADE，BC 的延长线交 DA 于 F，交 DE 于 G，D25，E105， DAC16，则DGB 66 【分析】根据全等三角形对应角相等可得ACBE，再求出ACF
24、，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解 【解答】解：ABCADE， ACBE105， ACF18010575， 在ACF 和DGF 中，D+DGBDAC+ACF， 即 25+DGB16+75， 解得DGB66 故答案为：66 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键 15如图，是某课题学习小组对地图上的 A、B、E、F、G、H、P、C 八处地点进行观察、分析在讨论中得到了BC60，F、H 都在线段 BC 上，EFGHAC，PHGFAB 的正确结论接着，小聪又提出了如下结论线路 BAC 与线路 BEFGHPC 一样长 请判断小聪提出的结论正确吗
25、？ 正确 （填“正确”或“错误” ） 【分析】由BC60，即可推出ABC 为等边三角形，再根据平行线的性质，即可推出BEF、FGH、HPC 均为等边三角形，然后根据等边三角形的性质，即可推出线路 BAC 与线路 BEFGHPC 一样长 【解答】解：正确， 理由：BC60， A60 ABC 是等边三角形， 又EFAC， EFBC60， B60， BEF60， BEF 是等边三角形 同理可证FGH、HPC 是等边三角形； BEF、FGH、HPC 都是等边三角形， BE+EF2BF，FG+GH2FH，HP+PC2HC， BE+EF+FG+GH+HP+PC2（BF+FH+HC）2BC， 又ABC 是等
26、边三角形， AB+AC2BC， AB+ACBE+EF+FG+GH+HP+PC， 线路 BAC 与线路 BEFGHPC 一样长 故答案为：正确 【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 16如图，已知四边形 ABCD 中，AB12 厘米，BC8 厘米，CD14 厘米，BC，点 E 为线段 AB的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C点向 D 点运动当点 Q 的运动速度为 3 或 厘米/秒时，能够使BPE 与以 C、P、Q 三点所构成的三角形全等 【分析
27、】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点 Q 的运动速度 【解答】解：设点 P 运动的时间为 t 秒，则 BP3t，CP83t， BC， 当 BECP6，BPCQ 时，BPE 与CQP 全等， 此时，683t， 解得 t， BPCQ2， 此时，点 Q 的运动速度为 23 厘米/秒； 当 BECQ6，BPCP 时，BPE 与CQP 全等， 此时，3t83t， 解得 t， 点 Q 的运动速度为 6厘米/秒； 故答案为：3 或 【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， 解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 68 分，第分，第
28、1722 题每题题每题 5 分，第分，第 2326 题每题题每题 6 分，第分，第 2728 题每题题每题 7 分）分） 17计算： （x2） （x5）x（x3） 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得 【解答】解：原式x25x2x+10 x2+3x 4x+10， 故答案为：4x+10 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加 18计算： （8a34a2b+5a2）（2a）2 【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 【解答】原式
29、（8a34a2b+5a2）4a2 8a34a24a2b4a2+5a24a2 2ab+ 【点评】 本题考查多项式除以单项式 多项式除以单项式， 先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加 19因式分解：ax26ax+9a 【分析】原式提取公因式 a，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式a（x26x+9） a（x3）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 20因式分解：a2（xy）+（yx） 【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a2（xy）（xy） （xy） （a21） （xy） （a
30、+1） （a1） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 21如图，点 B、F、C、E 在直线 l 上（F、C 之间不能直接测量） ，点 A、D 在 l 异侧，测得 ABDE，ABDE，AD （1）求证：ABCDEF； （2）若 BE10m，BF3m，求 FC 的长度 【分析】 （1）先证明ABCDEF，再根据 ASA 即可证明 （2）根据全等三角形的性质即可解答 【解答】 （1）证明：ABDE， ABCDEF， 在ABC 与DEF 中 ABCDEF（ASA） ； （2）ABCDEF， BCEF， BF+FCEC+FC， BFEC， BE10m，B
31、F3m， FC10334m 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型 22已知：如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC80，AD 平分BAC，且 ADAE；求EDC 的度数 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到ADC90，根据角平分线的性质得到DAE40，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到ADE70，再根据角的和差关系求得EDC 的度数 【解答】解：ABAC，AD 平分BAC， ADBC，ADC90， BAC80， DAEBAC40， ADAE， ADE70， EDC9070
32、20 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理 23已知 3x2x10，求代数式（2x+5） （2x5）+2x（x1）的值 【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可 【解答】解：原式4x225+2x22x6x22x25， 3x2x10， 3x2x1 原式2（3x2x）25212523 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似 24如图，在ABC 中，ABACBC，P 为
33、 BC 上一点（不与 B，C 重合） 在 AB 上找一点 M，在 AC 上找一点 N，使得AMN 与PMN 全等，以下是甲，乙两位同学的作法 甲：连接 AP，作线投 AP 的垂直平分线，分别交 AB，AC 于 M，N 两点，则 M，N 两点即为所求； 乙：过点 P 作 PMAC，交 AB 于点 M，过点 P 作 PNAB，交 AC 于点 N，则 M，N 两点即为所求 （1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 A ； A两人都正确 B甲正确，乙错误 C甲错误，乙正确 （2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明 【分析】 （1）结论两人都是正确的 （2）根据全等三角形的判定分别证明即可 【
34、解答】解： （1）两人都正确， 故选 A （2）甲：如图 1 中， MN 垂直平分线段 PA， MAMP，NANP， 在AMN 和PMN 中， ， AMNPMN（SSS） 乙：如图 2 中， PMAC，PNAB， 四边形 AMPN 是平行四边形， AMPN，PMAN， 在AMN 和PMN 中， ， AMNPNM（SSS） 【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 25如图，在等边三角形 ABC 中，AECD，AD，BE 相交于点 P，BQAD 于 Q 求证： （1）ABECAD； （2）BP2PQ 【分析】 （1）根据全等三角形的判定
35、定理 SAS 证得结论； （2）先由全等三角形的性质和三角形外角的性质求得BPQ60，得PBQ30，再由“30 度角所对的直角边是斜边的一半”即可得出结论 【解答】证明： （1）ABC 为等边三角形， ABCA，BAEC60， 在ABE 与CAD 中， ， ABECAD（SAS） ； （2）由（1）知，ABECAD， ABECAD， BAD+ABEBAD+CADBAC60， BPQBAD+ABE60， BQAD， PBQ30， BP2CQ 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含 30 度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 2
36、6阅读理解： 32+42234 32+32233； （2）2+422（2）4； （5）2+（5）22（5）（5） （1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有 a、b 的式子表示上述规律； （2）运用你所学的知识证明你发现的规律； （3）已知 a+b4，求 ab 的最大值 【分析】 （1）观察各式，即可得出规律：如果 a、b 是两个实数，则有 a2+b22ab； （2）根据完全平方的计算结果是非负数证明即可； （3）根据规律可得 ab（a+b）2 【解答】解： （1）规律是：如果 a、b 是两个实数，则有 a2+b22ab； （2）（ab）20， a22ab+b20， a2+b22ab
37、； （3）a2+b22ab， （a+b）22ab2ab， （a+b）24ab， ab（a+b）2164 故 ab 的最大值是 4 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较以及数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方公式的变形：因为（ab）20，所以 a2+b22ab 27在等边三角形 ABC 外侧作射线 AP，BAP，点 B 关于射线 AP 的对称点为点 D，连接 CD 交 AP 于点 E （1）依题意补全图形； （2）求AEC 的度数； （3）当 060时，用等式表示线段 AE，CD，DE 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）依题意补全图形； （2）由等腰三角形的性质可求AD
38、C 的度数，由外角性质可求解； （3）由“AAS”可证BCGDAE，可得 AECG，即可求解 【解答】 （1）解：如图，补全图形： （2）解：如图，连接 AD， 由对称可知，BAEDAE， ADABAC， ADC60， AEC60， ACB60，ACDADC60， BCE， ABC60，ABEADC60， BEC60， AECBEC； （3）当 060时，CD2DE+AE，理由如下： 如图，在 CD 上截取 BGBE， BEC60， BGE 是等边三角形， BGCAED120， BCEDAE， BCGDAE（AAS） ， AECG， EGBEDE， CD2DE+CG， 即 CD2DE+AE 【
39、点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 28对于ABC 及其边上的点 P，给出如下定义：如果点 M1，M2，M3，Mn都在ABC 的边上，且 PM1PM2PM3PMn， 那么称点 M1， M2， M3， ， Mn为ABC 关于点 P 的等距点， 线段 PM1， PM2，PM3，PMn，为ABC 关于点 P 的等距线段 （1）如图 1，ABC 中，A90，ABAC，点 P 是 BC 的中点 点 B， C 是 ABC 关于点 P 的等距点， 线段 PA， PB 不是 ABC 关于点 P 的等距线段；（填
40、“是”或“不是” ） ABC 关于点 P 的两个等距点 M1，M2分别在边 AB，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画出线段 PM1，PM2； （2）如图 2，ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C，D 是ABC 关于点 P 的等距点，且 PC1，求线段 DC 的长； （3）如图 3，在 RtABC 中，C90，B30点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好有 3 个，且其中一个是点 C若 BCa，直接写出 PC a 或a （用含 a 的式子表示） 【分析】 （1）根据等腰三角形的三线合一、等腰直角三角形的性质解答； 根据角平分线的性质作出线
41、段 PM1，PM2； （2）分点 D 在 AC 边上、点 D在 BC 边上两种情况，根据ABC 关于点 P 的等距点的定义计算； （3）根据角平分线的性质、ABC 关于点 P 的等距点的定义计算 【解答】解： （1）ABAC，点 P 是 BC 的中点， PBPC， 点 B，C 是ABC 关于点 P 的等距点， 当A90，ABAC，点 P 是 BC 的中点时，PAPBPC， A90， PAPB， 线段 PA，PB 不是ABC 关于点 P 的等距线段， 故答案为：是；不是； 如图 1 所示，线段 PM1，PM2即为所求； （2）显然，点 D 不可能在 AB 边上， 当点 D 在 AC 边上时，如图
42、 2 所示， ABC 是等边三角形， C60， 点 C，D 是ABC 关于点 P 的等距点， PCPD， PCD 是等边三角形， CDPC1； 当点 D在 BC 边上时，点 C，D是ABC 关于点 P 的等距点， PCPD1， CD2， 综上所述，DC1 或 2； （3）作 PEAB 于 E， B30， PEPB， 当 PCPE 时，PCPB， PCBCa， 此时，点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好有 3 个，PCPEPD， 当点 P 为 BC 中点时，PCPB，在 AB 上有且只有一点 F，使 PCPBPF，此时，PCBCa， 综上所述，点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好有 3 个，且其中一个是点 C，BCa，PCa 或a， 故答案为：a 或a 【点评】 本题考查的是ABC关于点P的等距点和ABC关于点P的等距线段的定义、 角平分线的性质，正确理解ABC 关于点 P 的等距点和ABC 关于点 P 的等距线段的定义是解题的关键