1、2021-2022 学年北京市东城区五校联考八年级上期中数学试卷学年北京市东城区五校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为 2，3，3，5，10，13，这六个数的中位数为（ ） A3 B4 C5 D6 2下列各图中，表示 y 是 x 的函数的是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B2a2+3a25a4 C （2a2）38a6 D2ab23ab26ab2 4如图，已知 ABDC，下列条件中，不能判定ABCDCB 的是（ ） AACDB BACB
2、DBC CABCDCB DAD90 5在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（ ） A （ab） （ba） B （a1） （a+1） C （2ab） （a+2b） D （ab） （b+a） 6如图，在ABC 中，ABAC，A40，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则CBE 的度数为（ ） A30 B40 C70 D80 7如图，在ABC 中，ACB90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 BC10，点 D 到 AB 的距离为 4，则 DB 的长为（ ） A8 B6 C5 D4 8如图，在等边ABC 中，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作
3、 DEBC 于点 E，且 CE1.5，则 AB的长为（ ） A3 B4.5 C6 D7.5 9如图，ABC 的周长为 24，BC9，BD、CD 分别平分ABC，ACB 过点 D 作直线平行于 BC，分别交 AB、AC 于 E、F，则AEF 的周长为（ ） A18 B15 C14 D9 10如图，AOB，点 P 是AOB 内的一定点，点 M、N 分别在 OA、OB 上移动，当PMN 的周长最小时，MPN 的值为（ ） A90+ B90 C180 D1802 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11计算：8a2 （a3） 12如图，把两根钢
4、条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳） ，在图中，要测量工件内槽宽 AB，只要测量 AB的长度即可，该做法的依据是 13等腰三角形的一个外角是 100，则它的一个底角是 14计算：32020（）2021 15如图，ADBECB，且点 A 的对应点是点 E，点 D 的对应点是点 C，若CBD40，BDEC，则D 的度数为 16如图，在ABC 中，若 ABAC，点 D 在 AC 上，且 BDBCAD，则BDC 17规定 a*b2a2b，如 2*322232532若 2*（x+1）16，则 x 的值为 18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，2） ，B（0，4）
5、，点 C 在坐标轴上，且ABC 是等腰三角形，请写出一个满足条件的点 C 的坐标 ；满足条件的点 C 一共有 个 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，小题，19 题题 12 分，分，20 题题 4 分，分，21-25 题，每小题题，每小题 12 分，分，26 题题 6 分，分，27 题题 7 分，共分，共 54分）分） 19 （12 分）计算： （1） （x+2y） （x2y） ； （2） （3a1）2； （3） （a3） （a+4）+2a（a1） 20 （4 分）已知 x2x+20，求代数式（x2）2+x（x+3）（x+1） （x1）的值 21 （5 分）如图，点 B，E，C，F 在一条
6、直线上，ABDE，ABDE，BECF求证：AD 22 （5 分）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P 作法：如图 2 以 P 为圆心，大于 P 到直线 l 的距离为半径作弧，交直线 l 于 A，B 两点； 连接 PA 和 PB； 作APB 的平分线 PQ，交直线 l 于点 Q 反向延长射线 PQ，直线 PQ 就是所求的直线 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图 2（保留作图痕迹） （2）补全下面证明过程： 证明：PA ，PQ 平分APB PQA
7、B（ ） （填推理依据） 即 PQl 23 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，延长 CB 至点 D，延长 BC 至点 E，使 CEBD，连接 AD，AE （1）求证：ADAE； （2）若 ABBCBD，求DAE 的度数 24 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0） ，B（5，3） ，C（1，1） （1）在图中画出ABC 关于 y 轴对称的ABC； （2）点 P 是 x 轴上一动点，当 PB+PC 的值最小时，画出点 P 的位置，此时点 P 的坐标为 25 （5 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，且 C、E、D 三点共线 （1）求证：
8、ADBAEC； （2）过点 A 作 AFCD 于 F，依题意补全图形并证明 BD+DFCF 26 （6 分）配方法是数学中重要的一种思想方法它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题 例如，把二次三项式 x22x+3 进行配方 解：x22x+3x22x+1+2（x22x+1）+2（x1）2+2 我们定义：一个整数能表示成 a2+b2（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5 是“完美数” 理由： 因为 522+12.再如， Mx2+2xy+2y2 （x+y）2+y2（x， y 是
9、整数） ， 所以 M 也是 “完美数” 解决问题： （1）请你再写一个小于 10 的“完美数” ；并判断 40 是否为“完美数” ； （2）若二次三项式 x24x+5（x 是整数）是“完美数” ，可配方成（xm）2+n（m，n 为常数） ，则 mn的值为 ； 探究问题： （1）已知“完美数”x2+y22x+4y+5（x，y 是整数）的值为 0，则 x+y 的值为 ； （2）已知 Sx2+4y2+4x12y+k（x，y 是整数，k 是常数） ，要使 S 为“完美数” ，试求出符合条件的 k值 拓展结论：已知实数 x，y 满足x2+3x+y50，求 x+y 的最小值 27 （7 分）在ABC 中，
10、ACBC，ACB90，AD 平分CAB，交 BC 于点 D点 A 与点 E 关于直线BC 对称，连接 BE，CE，延长 AD 交 BE 于点 F （1）补全图形； （2）求证：BDF 是等腰三角形； （3）求证：AB+BD2AC 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为 2，3，3，5，10，13，这六个数的中位数为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】将这组数据是按从小到大的顺序排列为 2，3，3，5，10，13，处于 3，4 位的两个数是 3，5，那么由中位数的定义可
11、知 【解答】解：六个数的中位数为（3+5）24 故选：B 【点评】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平数） ，叫做这组数据的中位数 2下列各图中，表示 y 是 x 的函数的是（ ） A B C D 【分析】根据函数的概念判断可得 【解答】解：如图所示，在 B、C、D 三个选项中，在 x 允许的取值范围内，x 任取一个数值，函数 y 都有 2 个值与之对应，不符合函数的概念， 故选：A 【点评】本题主要考查函数的概念，函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的
12、函数，x 是自变量 3下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B2a2+3a25a4 C （2a2）38a6 D2ab23ab26ab2 【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方、以及单项式乘以单项式计算法则进行计算即可 【解答】解：A、a2a3a5，故原题计算错误； B、2a2+3a25a2，故原题计算错误； C、 （2a2）38a6，故原题计算正确； D、2ab23ab26a2b4，故原题计算错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方，关键是掌握各计算法则 4如图，已知 ABDC，下列条件中，不能判定ABCDC
13、B 的是（ ） AACDB BACBDBC CABCDCB DAD90 【分析】从图中读取公共边 BCCB 的条件，结合每个选项给出的条件，只要能够判定两个三角形全等的都排除，从而找到不能判定两个三角形全等的选项 B 【解答】解：由题知，ABDC，BCCB， 当 ACDB 时，ABCDCB（SSS） ，故选项 A 能判定两个三角形全等，所以不选 A； 当ACBDBC，不能判定，ABCDCB，故选 B； 当ABCDCB，ABCDCB（SAS） ，故选项 C 能判定两个三角形全等，所以不选 C； 当AD90，RtABCRtDCB（HL） ，故选项 D 能判定两个三角形全等，所以不选 D 故选：B
14、【点评】本题考查全等三角形的判定，注意一般三角形的“边边角”不能判定两个三角形全等，以及直角三角形的“HL”可以判定两个三角形全等 5在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（ ） A （ab） （ba） B （a1） （a+1） C （2ab） （a+2b） D （ab） （b+a） 【分析】运用平方差公式（a+b） （ab）a2b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方 【解答】解：A （ab） （ba）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算； B （a1） （a+1）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算； C （2ab） （a+2b）中不存在相同和相反的
15、项，故不能用平方差公式计算； D （ab） （b+a）符合平方差公式 故选：D 【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键 6如图，在ABC 中，ABAC，A40，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则CBE 的度数为（ ） A30 B40 C70 D80 【分析】由ABC 中，ABAC，A40，即可求得ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC 于 E，可得 AEBE，继而求得ABE 的度数，则可求得答案 【解答】解：等腰ABC 中，ABAC，A40， ABCC70， 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC
16、 于 E， AEBE， ABEA40， CBEABCABE30 故选：A 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 7如图，在ABC 中，ACB90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 BC10，点 D 到 AB 的距离为 4，则 DB 的长为（ ） A8 B6 C5 D4 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线的性质定理得到 DCDE4，结合图形计算，得到答案 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于 E， AD 平分BAC，ACB90，DEAB， DCDE4， BDBCDC1046， 故选：B 【点评】本题考查的是
17、角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 8如图，在等边ABC 中，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作 DEBC 于点 E，且 CE1.5，则 AB的长为（ ） A3 B4.5 C6 D7.5 【分析】由在等边三角形 ABC 中，DEBC，可求得CDE30，则可求得 CD 的长，又由 BD 平分ABC 交 AC 于点 D，由三线合一的知识，即可求得答案 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABCC60，ABBCAC， DEBC， CDE30， EC1.5， CD2EC3， BD 平分ABC 交 AC 于点 D， ADCD3， ABACAD+CD6 故选
18、：C 【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含 30角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 9如图，ABC 的周长为 24，BC9，BD、CD 分别平分ABC，ACB 过点 D 作直线平行于 BC，分别交 AB、AC 于 E、F，则AEF 的周长为（ ） A18 B15 C14 D9 【分析】根据题意可得：AB+AC15，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得EDB 和FDC 是等腰三角形，从而可得 EDEB，FDFC，进而可得AEF 的周长AB+AC，即可解答 【解答】解：ABC 的周长为 24，BC9， AB+AC24915， BD、CD 分别平分ABC，ACB， A
19、BDDBC，ACDDCB， EFBC， EDBDBC，FDCDCB， EBDEDB，FDCFCD， EDEB，FDFC， AEF 的周长AE+EF+AF AE+ED+DF+AF AE+EB+CF+AF AB+AC 15， 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键 10如图，AOB，点 P 是AOB 内的一定点，点 M、N 分别在 OA、OB 上移动，当PMN 的周长最小时，MPN 的值为（ ） A90+ B90 C180 D1802 【分析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1、
20、P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，PMN的周长最小值等于 P1P2的长，然后依据等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P11802，即可得出MPNOPM+OPNOP1M+OP2N1802 【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1、P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则 OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O， 根据轴对称的性质可得 MPP1M，PNP2N， PMN 的周长的最小值P1P2， 由轴对称的性质可得P1OP22AOB2， 等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P11802， MPNOPM+OPNOP1M+OP2NOP1P2+OP
21、2P11802， 故选：D 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰OP1P2中OP1P2+OP2P1的度数是关键凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11计算：8a2 （a3） 4a5 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可得出答案 【解答】解：8a2 （a3）4a5， 故答案为：4a5 【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是解决问题的关键 12如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工
22、件内槽宽的工具（卡钳） ，在图中，要测量工件内槽宽 AB，只要测量 AB的长度即可，该做法的依据是 根据 SAS 证明AOBAOB 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一 SAS，只需要测量易测量的边AB上，进而得出答案 【解答】解：连接 AB，AB，如图， 点 O 分别是 AA、BB的中点， OAOA，OBOB， 在AOB 和AOB中， ， AOBAOB（SAS） ABAB 答：需要测量 AB的长度，即为工件内槽宽 AB 其依据是根据 SAS 证明AOBAOB； 故答案为：根据 SAS 证明AOBAOB 【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判
23、断出全等 13等腰三角形的一个外角是 100，则它的一个底角是 80或 50 【分析】根据等腰三角形的一个外角等于 100，进行讨论可能是底角的外角是 100，也有可能顶角的外角是 100，从而求出答案 【解答】解：当 100外角是底角的外角时，底角为：18010080， 当 100外角是顶角的外角时，顶角为：18010080， 则底角为： （18080）50， 底角为 80或 50 故答案为：80或 50 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况 14计算：32020（）2021 1 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案
24、【解答】解：32020（）2021 32020（）2020 3（）2020 12020 1 ， 故答案为：1 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键 15如图，ADBECB，且点 A 的对应点是点 E，点 D 的对应点是点 C，若CBD40，BDEC，则D 的度数为 50 【分析】设 BD 与 CE 相交于点 F，根据垂直定义可得BFC90，再利用直角三角形的直角三角形的两个锐角互余可得C50，然后利用全等三角形的性质即可解答 【解答】解：设 BD 与 CE 相交于点 F， BDEC， BFC90， CBD40， C90CBD50， ADBECB
25、， CD50， 故答案为：50 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键 16如图，在ABC 中，若 ABAC，点 D 在 AC 上，且 BDBCAD，则BDC 72 【分析】设Ax，由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小 【解答】解：设Ax BDAD， AABDx， BDCA+ABD2x， BDBC， BDCBCD2x， ABAC， ABCBCD2x， 在ABC 中 x+2x+2x180， 解得：x36， BDCC72， 故答案为：72 【点评】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到
26、各角之间的关系式解答本题的关键 17规定 a*b2a2b，如 2*322232532若 2*（x+1）16，则 x 的值为 1 【分析】根据新定义法则和同底数幂的乘法法则得出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出答案 【解答】解：a*b2a2b，2*（x+1）16， 222x+124， 2x+324， x+34， x1， 故答案为：1 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，根据新定义法则得出一元一次方程是解决问题的关键 18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，2） ，B（0，4） ，点 C 在坐标轴上，且ABC 是等腰三角形， 请写出一个满足条件的点 C 的坐标
27、（0， 2）（答案不唯一） ； 满足条件的点 C 一共有 5 个 【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的 C 点，即可得出答案 【解答】解：如图： 点 A（2，2） ，B（0，4） ， 一个满足条件的点 C 的坐标（0，2） （答案不唯一） ， 如图， 若点 A 为两腰的交点，此时满足条件的点 C 有 1 个 C1，与原点 O 重合， 若点 B 为两腰的交点，此时满足条件的点 C 有 2 个，分别为 C2、C3； 若 AB 为底边，此时满足条件的点 C 有 2 个，分别为 C、C4； 综上，满足此条件的点 C 共有 5 个， 故答案为： （0，2） （答案不唯一） ，5
28、【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形性质，做题时需注意两点，一是注意点 C 必须位于坐标轴上，二是注意不能漏解，应分 AB 为底边和腰两种情况分别解答，难度适中 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，小题，19 题题 12 分，分，20 题题 4 分，分，21-25 题，每小题题，每小题 12 分，分，26 题题 6 分，分，27 题题 7 分，共分，共 54分）分） 19 （12 分）计算： （1） （x+2y） （x2y） ； （2） （3a1）2； （3） （a3） （a+4）+2a（a1） 【分析】 （1）利用平方差公式，进行分解即可解答； （2）利用完全平方公式，进行分解
29、即可解答； （3）先去括号，再合并同类项，即可解答 【解答】解： （1） （x+2y） （x2y）x24y2； （2） （3a1）29a26a+1； （3） （a3） （a+4）+2a（a1） a2+a12+2a22a 3a2a12 【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键 20 （4 分）已知 x2x+20，求代数式（x2）2+x（x+3）（x+1） （x1）的值 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把 x2x2 代入化简后的式子进行计算即可解答 【解答】解： （x2）2+x（x+3）（x+1） （x1） x24x+4+x2+3x（x21） x24x+4+x2+3xx
30、2+1 x2x+5， x2x+20， x2x2， 当 x2x2 时，原式2+53 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键 21 （5 分）如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，ABDE，BECF求证：AD 【分析】证明ABCDEF（SAS） ，可得AD 【解答】证明：ABDE， BDEF， BECF， BE+ECCF+EC，即 BCEF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（SAS） ， AD 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型 22 （5 分）下面是小芳同学设计的“过直线外一
31、点作这条直线垂线”的尺规作图过程已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P 作法：如图 2 以 P 为圆心，大于 P 到直线 l 的距离为半径作弧，交直线 l 于 A，B 两点； 连接 PA 和 PB； 作APB 的平分线 PQ，交直线 l 于点 Q 反向延长射线 PQ，直线 PQ 就是所求的直线 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图 2（保留作图痕迹） （2）补全下面证明过程： 证明：PA PB ，PQ 平分APB PQAB（ 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合 ） （填推理依据） 即 PQl 【分析】
32、（1）根据作图过程即可补全图 2； （2）根据等腰三角形的性质即可补全证明过程 【解答】 （1）解：如图即为补全的图 2； （2）证明：PAPB，PQ 平分APB PQAB（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合） ， 即 PQl 故答案为：PB，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合 【点评】本题考查了作图复杂作图，垂线段最短，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法 23 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，延长 CB 至点 D，延长 BC 至点 E，使 CEBD，连接 AD，AE （1）求证：ADAE； （2）若 ABBCBD，求DAE 的度数 【分析】 （1）根据等腰三角
33、形的性质得出ABCACB，根据三角形的外角性质得出ABDACE，根据 SAS 推出ABDACE，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据 ABAC，ABBC，可得 ABACBC，可得ABC 是等边三角形，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得D，E，再根据三角形内角和定理即可求解 【解答】 （1）证明：ABAC， ABCACB， ABDACB+BAC，ACEABC+BAC， ABDACE， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， ADAE； （2）解：ABAC，ABBC， ABACBC， ABC 是等边三角形， ABCACB60， ABBD， DABD， ABCDAB
34、+D， D30， 同理可得E30， DAE1803030120 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键 24 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0） ，B（5，3） ，C（1，1） （1）在图中画出ABC 关于 y 轴对称的ABC； （2） 点 P 是 x 轴上一动点， 当 PB+PC 的值最小时， 画出点 P 的位置， 此时点 P 的坐标为 （0， ） 【分析】 （1）利用轴对称变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可； （2）设 P（0，m） ，利用面积法构建方程求解 【
35、解答】解： （1）如图，ABC即为所求； （2）如图，点 P 即为所求，设 P（0，m） SBCC222（m1）+（1+5）21（m1）5（3m） ， 解得，m， P（0，） 【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型 25 （5 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，且 C、E、D 三点共线 （1）求证：ADBAEC； （2）过点 A 作 AFCD 于 F，依题意补全图形并证明 BD+DFCF 【分析】 （1）由“SAS”即可证明AECADB； （2）由AECADB，可得 BDCE，由等腰三角形的性质
36、可得 DFFE，可得结论 【解答】证明： （1）BACDAE， BADCAE， 在ADB 和AEC 中， ， ADBAEC（SAS） ； （2）如图， ADBAEC， BDCE， ADAE，AFCD， DFFE， BD+DFCE+EFCF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键 26 （6 分）配方法是数学中重要的一种思想方法它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题 例如，把二次三项式 x22x+3 进行配方 解：x22x+3x22x+
37、1+2（x22x+1）+2（x1）2+2 我们定义：一个整数能表示成 a2+b2（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5 是“完美数” 理由： 因为 522+12.再如， Mx2+2xy+2y2 （x+y）2+y2（x， y 是整数） ， 所以 M 也是 “完美数” 解决问题： （1）请你再写一个小于 10 的“完美数” 4 ；并判断 40 是否为“完美数” 是 ； （2）若二次三项式 x24x+5（x 是整数）是“完美数” ，可配方成（xm）2+n（m，n 为常数） ，则 mn的值为 2 ； 探究问题： （1）已知“完美数”x2+y22x+4y+5（x，y 是整数）的值为
38、0，则 x+y 的值为 1 ； （2）已知 Sx2+4y2+4x12y+k（x，y 是整数，k 是常数） ，要使 S 为“完美数” ，试求出符合条件的 k值 拓展结论：已知实数 x，y 满足x2+3x+y50，求 x+y 的最小值 【分析】解决问题： （1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； 探究问题： （1）配方后根据非负数的性质可得 x 和 y 的值，进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论； 拓展结论：根据题中结论求解 【解答】解：解决问题： （1）4 是“完美数” ，理由：因为22+02； 40 是“完
39、美数” ，理由：因为 4062+22； （2）x24x+5x24x+4+1（x2）2+12， m2，n1， mn2， 故答案为：2； 探究问题： （1）x2+y22x+4y+5（x1）2+（y+2）20， x1，y2， x+y1； （2）Sx2+4y2+4x12y+k（x+2）2+（2y3）2+k13， 由题意得：k130， k13； 拓展结论：x2+3x+y50， x+y x22x+5 （x1）2+44； 当 x1 时，x+y 最小，最小值为 4 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键 27 （7 分）在ABC 中，ACBC，ACB90，AD 平分CA
40、B，交 BC 于点 D点 A 与点 E 关于直线BC 对称，连接 BE，CE，延长 AD 交 BE 于点 F （1）补全图形； （2）求证：BDF 是等腰三角形； （3）求证：AB+BD2AC 【分析】 （1）根据题意画出图形即可； （2）由 ACBC，ACB90，AD 是CAB 的平分线，可得CADBAD22.5，即得ADCBDF9022.567.5，根据点 A 与点 E 关于直线 BC 对称，可得AFB90BAD67.5，故BDFAFB，从而BDF 是等腰三角形； （3）过 D 作 DKAB 于 K，证明ACDAKD（AAS） ，得 ACAK，CDDK，又 ACBC，ACB90，可得KBD
41、 是等腰直角三角形，BKDK，即知 BKCD，而 ABAK+BK，有 ABAC+CD，故 AB+BDAC+CD+BDAC+BCAC+AC2AC 【解答】 （1）解：补全图形如下： （2）证明：ACBC，ACB90， CABCBA45， AD 是CAB 的平分线， CADBAD22.5， ADCBDF9022.567.5， 点 A 与点 E 关于直线 BC 对称， EBCCBA45， ABF90， AFB90BAD9022.567.5， BDFAFB， BFBD； BDF 是等腰三角形； （3）证明：过 D 作 DKAB 于 K，如图： AD 平分CAB， CADKAD， DKAB， AKD90ACD， 在ACD 和AKD 中， ， ACDAKD（AAS） ， ACAK，CDDK， ACBC，ACB90， KBD45， KBD 是等腰直角三角形， BKDK， BKCD， ABAK+BK， ABAC+CD， AB+BDAC+CD+BDAC+BCAC+AC2AC 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线等知识，解题的关键是掌握对称的性质，能熟练应用全等三角形的判定与性质定理