1、2021-2022 学年北京市海淀区二校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀区二校联考八年级上期中数学试卷 一一.选择题（每个小题选择题（每个小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日2022 年 02 月 20 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列运算正确的是（ ） Am+3m3m2 B3m32m26m6 C （3m）29m2 Dm6m6m 3若三角形的三边长分别为 3，4
2、，x，则 x 的取值范围是（ ） A3x4 B1x7 C0 x7 D2x6 4如图，BD 平分ABC，CDBD，D 为垂足，C55，则ABC 的度数是（ ） A35 B55 C60 D70 5一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍少 180，这个多边形的边数是（ ） A5 B6 C7 D8 6已知图中的两个三角形全等，则 的度数是（ ） A72 B60 C58 D50 7如图，ABBF，EDBF，CDCB，判定EDCABC 的理由是（ ） AASA BSAS CSSS DHL 8如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与1+2 之间有一种数量关系始终
3、保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） AA1+2 B2A1+2 C3A21+2 D3A2（1+2） 9在ABC 中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且ABC 的面积是 8，则BEF 的面积是（ ） A2 B1 C4 D3 10如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则符合条件的点 C 的个数是（ ） A6 B7 C8 D9 二二.填空题（每个题填空题（每个题 3 分，共分，共 24 分）分） 11已知：等腰三角形的两边长分别为 6 和 4，则此等腰三角形的周长是 12等腰三角形
4、的一个角是 80，则它的另外两个角的度数是 13如图，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点若 AB5cm，BC3cm，则PBC 的周长 14如图，ABC 是等腰直角三角形，C90，BD 平分CBA 交 AC 于点 D，DEAB 于 E若ADE的周长为 8cm，则 AB cm 15如图，MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，点 P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC+PD 最小时，PCD 16如图，DEF36，ABBCCDDEEF，则A 17如图，猜想：A+B+C+D+E+F 我们把图称为二环三角形，它的内角和为A+B+C+D+E+F；图称为二环四边形，它的内角和为A
5、+B+C+D+E+F+G+H则二环四边形的内角和为 二环五边形的内角和为 二环 n 边形的内角和为 18如图，A、B 两点在直线 l 的同侧，在 l 上求作一点 M，使 AM+BM 最小小明的做法是：做点 A 关于直线 l 的对称点 A， 连接 AB， 交直线 l 于点 M， 点 M 即为所求 请你写出小明这样作图的依据： 三、解答题（三、解答题（19-24 题题 5 分，分，25-26 题题 6 分，分，27-28 题题 7 分，共分，共 56 分）分） 19 （5 分）如图，点 E，F 在 BC 上，BECF，AD，BC，AF 与 DE 交于点 O （1）求证：ABDC； （2）试判断OE
6、F 的形状，并说明理由 20 （5 分）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，ABC 的顶点均在格点上，A（3，2） ，B（4，3） ，C（1，1） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的图形ABC； （2）写出 A、B、C的坐标（直接写出答案） A ；B ；C ； （3）写出ABC的面积为 （直接写出答案） （4）在 y 轴上求作一点 P，使得点 P 到点 A 与点 C 的距离之和最小 21 （5 分）两个城镇 A，B 与两条公路 l1、l2位置如图所示 （1）电信部门需要 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1、l2的距离也必须相等，请在
7、图中作出所有符合条件的点 C（用尺规作图，保留作图痕迹） ； （2）若电信部门要求将发射塔建在公路 l2旁的 D 处，且到两个城镇 A、B 的距离和最短，请在图中作出符合条件的点 D（保留作图痕迹，作图工具不限） 22 （5 分）如图，已知 ABAC，ADAE，BECD， （1）求证：BACEAD； （2）写出1、2、3 之间的数量关系，并予以证明 23 （5 分）如图所示，AD 是ABC 的角平分线，EF 是 AD 的垂直平分线，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF求证：BAFACF 24 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC90，CD 平分ACB，BECD，垂足 E 在 CD 的
8、延长线上，试探究线段 BE 和 CD 的数量关系，并证明你的结论 25 （6 分）如图，在ABC 中，B2C，ADBC，垂足为 D，判断 AB、CD 和 BD 这三条线段的数量关系（用等式表示） ，并证明 26 （6 分）已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作ACD 和BCE，且 CACD，CBCE，ACDBCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1）如图，若ACD60，则AFB ；如图，若ACD90，则AFB ；如图，若ACD120，则AFB ； （2）如图，若ACD，则AFB （用含 的式子表示） ； （3）将图中的ACD 绕点 C 顺时针旋转任
9、意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线段上） ，变成如图所示的情形，若ACD，则AFB 与 的有何数量关系？并给予证明 27 （7 分）在ABC 和DCE 中，CACB，CDCE，CABCED （1）如图 1，将 AD、EB 延长，延长线相交于点 O： 求证：BEAD； 用含 的式子表示AOB 的度数（直接写出结果） ； （2）如图 2，当 45时，连接 BD、AE，作 CMAE 于 M 点，延长 MC 与 BD 交于点 N，求证：N是 BD 的中点 28 （7 分）在平面直角坐标系中，对任意的点 P（x，y） ，定义 P 的绝对坐标|P|x|+|y|任取点 A（x1，y1） ，B（
10、x2，y2） ，记 A（x1，y2） ，B（x2，y1） ，若此时|A|2+|B|2|A|2+|B|2成立，则称点 A，B 相关 （1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ； A（2，1） ，B（3，2） ；C（4，3） ，D（2，4） （2） （）对于点 P（x，y） ，其中6x6，6y6，其中 x，y 是整数则所有满足条件的 P 点有 个； （）求所有满足（）条件的所有点中与点 E（3，3）相关的点的个数； （）对于满足（）条件的所有点中取出 n 个点，满足在这 n 个点中任意选择 A，B 两点，点 A，B 都相关，求 n 的最大值 参考答案解析参考答案解析 一一.选择题（每个小题选择题（
11、每个小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日2022 年 02 月 20 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项正
12、确； 故选：D 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念 2下列运算正确的是（ ） Am+3m3m2 B3m32m26m6 C （3m）29m2 Dm6m6m 【分析】直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、整式的除法运算法则分别化简得出答案 【解答】解：Am+3m4m，故此选项不合题意； B3m32m26m5，故此选项不合题意； C （3m）29m2，故此选项符合题意 Dm6m61，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算、合并同类项、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 3若三角形的三边长分
13、别为 3，4，x，则 x 的取值范围是（ ） A3x4 B1x7 C0 x7 D2x6 【分析】据三角形三边关系，43x4+3，即 1x7，问题可求 【解答】解：由题意，43x4+3，即 1x7 故选：B 【点评】此题考查三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和 4如图，BD 平分ABC，CDBD，D 为垂足，C55，则ABC 的度数是（ ） A35 B55 C60 D70 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出CBD，再根据角平分线的定义解答 【解答】解：CDBD，C55， CBD905535， BD 平分ABC， ABC2CBD23570 故选：
14、D 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键 5一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍少 180，这个多边形的边数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可 【解答】解：设这个多边形为 n 边形，由题意得， （n2）1803602180， 解得 n5， 即这个多边形为五边形， 故选：A 【点评】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为 360是解决问题的关键 6已知图中的两个三角形全等，则 的度数是（ ） A72 B60 C58 D50 【分析】根据全等三角形对应角相等可知
15、 是 b、c 边的夹角，然后写出即可 【解答】解：两个三角形全等， 的度数是 72 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键 7如图，ABBF，EDBF，CDCB，判定EDCABC 的理由是（ ） AASA BSAS CSSS DHL 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，由图很容易得到三角形中BD，ACBDCE，BCCD，所以由 ASA 判定三角形全等 【解答】解：ABBF，EDBF BD90 ACB 和ECD 为对顶角 ACBECD CDCB EDCABC （ASA） 故选：A 【点评】本题考查 ASA 判定三角形全等的基本应用，数
16、形结合，应用所给的条件很容易就得出答案 8如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与1+2 之间有一种数量关系始终保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） AA1+2 B2A1+2 C3A21+2 D3A2（1+2） 【分析】根据四边形的内角和为 360及翻折的性质，就可求出 2A1+2 这一始终保持不变的性质 【解答】解：2A1+2， 理由：在四边形 ADAE 中，A+A+ADA+AEA360， 则 2A+1802+1801360， 可得 2A1+2 故选：B 【点评】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性
17、质 9在ABC 中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且ABC 的面积是 8，则BEF 的面积是（ ） A2 B1 C4 D3 【分析】因为点 F 是 CE 的中点，所以BEF 的底是BEC 的底的一半，BEF 高等于BEC 的高；同理，D、E、分别是 BC、AD 的中点，EBC 与ABC 同底，EBC 的高是ABC 高的一半；利用三角形的等积变换可解答 【解答】解：如图，点 F 是 CE 的中点， BEF 的底是 EF，BEC 的底是 EC，即 EFEC，高相等； SBEFSBEC， 同理得， SEBCSABC， SBEFSABC，且 SABC8， SBEF2， 即阴影部
18、分的面积为 2 故选：A 【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍结合图形直观解答 10如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则符合条件的点 C 的个数是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】分 AB 是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与 A、B 顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB 是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB 垂直平分线上的格点都可以
19、作为点 C，然后相加即可得解 【解答】解：AB 为等腰ABC 底边时，符合条件的 C 点有 4 个； AB 为等腰ABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 4 个 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分 AB 是腰长与底边两种情况讨论求解 二二.填空题（每个题填空题（每个题 3 分，共分，共 24 分）分） 11已知：等腰三角形的两边长分别为 6 和 4，则此等腰三角形的周长是 16 或 14 【分析】分 6 是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解 【解答】解：6 是腰长时，三角形的三边
20、分别为 6、6、4，能组成三角形， 周长6+6+416， 6 是底边时，三角形的三边分别为 6、4、4，能组成三角形， 周长6+4+414， 综上所述，三角形的周长为 16 或 14 故答案为：16 或 14 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 12等腰三角形的一个角是 80，则它的另外两个角的度数是 80，20或 50，50 【分析】没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析 【解答】解：当这个角是底角时，另外两个角是：80，20；
21、 当这个角是顶角时，另外两个角是：50，50 故答案为：80，20或 50，50 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用 13如图，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点若 AB5cm，BC3cm，则PBC 的周长 8cm 【分析】 利用线段垂直平分线的性质、 等腰三角形的性质将PBC 的周长转化为线段 （AC+BC） 的长度 【解答】解：AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点 APBP 又ABAC，AB5cm，BC3cm， PBC 的周长PB+PC+BCAP+PC+BCAB+BC5+38cm 故答案是：8cm 【点评】本题考查了线段垂直平
22、分线的性质、等腰三角形的性质线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 14如图，ABC 是等腰直角三角形，C90，BD 平分CBA 交 AC 于点 D，DEAB 于 E若ADE的周长为 8cm，则 AB 8 cm 【分析】根据角平分线性质求出 CDDE，根据全等求出 BCBEAC，根据ADE 的周长求出AD+DE+AEAB，求出即可 【解答】解：BD 平分CBA，DEAB，C90， CDDE，CDEB90，CBDEBD， 在DCB 和DEB 中 DCBDEB（AAS） ， BEBCAC， ADE 的周长为 8cm， AD+DE+AEAD+CD+AEAC+AEBE+AEAB8cm， 故答
23、案为：8 【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等 15如图，MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，点 P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC+PD 最小时，PCD 45 【分析】根据当 PC+PD 最小时，作出 D 点关于 MN 的对称点，正好是 A 点，连接 AC 即可得出PCD的度数 【解答】解：当 PC+PD 最小时，作出 D 点关于 MN 的对称点，正好是 A 点， 连接 AC，AC 为正方形对角线，根据正方形的性质得出PCD45， PCD45 故答案为：45 【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出
24、D 点关于 MN 的对称点，正好是 A 点是解题关键 16如图，DEF36，ABBCCDDEEF，则A 18 【分析】由已知线段相等开始，根据等角对等边的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答 【解答】解：ABBC， AACB， CBDA+ACB2A， 同理可得，DCEA+ADC3A， EDFA+AED4A， DEEF，DEF36， DEF 是等腰三角形， EDF（180DEF）4A72， A18 故答案为：18 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质，认清图形理清思路得到EDF（180DEF）4A 是解题的关键 17如图，猜想：A+B+C+D+E+F 360 我
25、们把图称为二环三角形，它的内角和为A+B+C+D+E+F；图称为二环四边形，它的内角和为A+B+C+D+E+F+G+H则二环四边形的内角和为 720 二环五边形的内角和为 1080 二环 n 边形的内角和为 360（n2） 【分析】连接 AE，可得D+CCAE+DEA，再根据四边形的内角和公式即可求解； D、E 之间添加两条边，可得M+MEF+MDHG+F+H，再根据六边形的内角和公式即可求解； 根据二环三角形、二环四边形和二环五边形的内角和可得二环 n 边形的内角和 【解答】解：如图， 连接 AE，则D+CCAE+DEA， BAC+B+C+D+DEF+FBAE+B+F+FEA360； 如图，
26、D、E 之间添加两条边，可得M+MEF+MDHG+F+H， 则A+B+C+CDH+F+G+H+AEFA+B+C+CDM+MEA+M720； 二环三角形的内角和是 360360（32） ， 二环四边形的内角和是 720360（42） ， 二环五边形的内角和是 360（52）1080， 二环 n 边形的内角和是 360（n2） 故答案为：360；720；1080；360（n2） 【点评】本题考查了多边形内角和定理： （n2） 180 （n3）且 n 为整数） ，正确画出辅助线是解题关键 18如图，A、B 两点在直线 l 的同侧，在 l 上求作一点 M，使 AM+BM 最小小明的做法是：做点 A 关
27、于直线 l 的对称点 A，连接 AB，交直线 l 于点 M，点 M 即为所求请你写出小明这样作图的依据： 两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短 【分析】根据直线的性质，相等垂直平分线的性质即可得到结论 【解答】解：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短 故答案为：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，熟记轴对称的性质是解题的关键 三、解答题（三、解答题（19-24 题题 5 分，分，25-26 题题 6 分，分，27-28 题题 7 分，共
28、分，共 56 分）分） 19 （5 分）如图，点 E，F 在 BC 上，BECF，AD，BC，AF 与 DE 交于点 O （1）求证：ABDC； （2）试判断OEF 的形状，并说明理由 【分析】 （1）根据 BECF 得到 BFCE，又AD，BC，所以ABFDCE，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）根据三角形全等得AFBDEC，所以是等腰三角形 【解答】 （1）证明：BECF， BE+EFCF+EF， 即 BFCE 在ABF 与DCE 中， ， ABFDCE（AAS） ， ABDC （2）OEF 为等腰三角形 理由如下：ABFDCE， AFBDEC， OEOF， OEF 为等腰三角形
29、【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据 BECF 得到 BFCE 是证明三角形全等的关键 20 （5 分）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，ABC 的顶点均在格点上，A（3，2） ，B（4，3） ，C（1，1） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的图形ABC； （2）写出 A、B、C的坐标（直接写出答案） A （3，2） ；B （4，3） ；C （1，1） ； （3）写出ABC的面积为 6.5 （直接写出答案） （4）在 y 轴上求作一点 P，使得点 P 到点 A 与点 C 的距离之和最小 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点
30、 A，B，C即可 （2）根据点的位置写出坐标即可 （3）利用分割法求三角形面积 （4）连接 AC交 y 轴于点 P，连接 PC，点 P 即为所求 【解答】解： （1）如图，ABC即为所求 （2）A（3，2） ，B（4，3） ，C（1，1） 故答案为（3，2） ， （4，3） ， （1，1） （3）SABC35152236.5， 故答案为 6.5 （4）如图，点 P 即为所求 【点评】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 21 （5 分）两个城镇 A，B 与两条公路 l1、l2位置如图所示 （1）电信部门需要 C 处修建一座信号发射塔，要求发
31、射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1、l2的距离也必须相等，请在图中作出所有符合条件的点 C（用尺规作图，保留作图痕迹） ； （2）若电信部门要求将发射塔建在公路 l2旁的 D 处，且到两个城镇 A、B 的距离和最短，请在图中作出符合条件的点 D（保留作图痕迹，作图工具不限） 【分析】 （1）作 l1与 l2的夹角的平分线和线段 AB 的垂直平分线，它们的交点即为 C 点； （2） 作 B 点关于 l2的对称点 B， 连接 AB交 l2于点 D， 利用两点之间线段最短可判断 D 点满足条件 【解答】解： （1）如图 1，点 C、点 C为所作； （2）如图 2，点 D 为所作
32、 【点评】本题考查了作图应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中；关键是弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图也考查了最短路径问题 22 （5 分）如图，已知 ABAC，ADAE，BECD， （1）求证：BACEAD； （2）写出1、2、3 之间的数量关系，并予以证明 【分析】 （1）根据 SSS 证BAECAD，推出BAE1 即可； （2）根据全等三角形性质推出1BAE，2ABE，代入3BAE+ABE 求出即可 【解答】证明： （1）在BAE 和CAD 中 BAECAD（ SSS ） ， BAE1， BAE+EAC1+EAC， BACEAD
33、（2）31+2， 证明：BAECAD， 1BAE，2ABE， 3BAE+ABE， 31+2 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等 23 （5 分）如图所示，AD 是ABC 的角平分线，EF 是 AD 的垂直平分线，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF求证：BAFACF 【分析】 根据线段的垂直平分线得出 AFDF， 推出FADADF， 根据角平分线得出DABCAD，推出CAFB，根据FABBAC+FAC 和ADFB+BAC 推出即可 【解答】证明：EF 是 AD 的垂直平分线， AFDF， FADADF， FADFAC+CAD，ADFB
34、+DAB， AD 是BAC 的平分线， DABCAD， CAFB， BAC+FACB+BAC， 即BAFACF 【点评】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角选择，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中 24 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC90，CD 平分ACB，BECD，垂足 E 在 CD 的延长线上，试探究线段 BE 和 CD 的数量关系，并证明你的结论 【分析】CD2BE，理由为：延长 BE 交 CA 延长线于 F，由 CD 为角平分线得到一对角相等，再由一对直角相等，CE 为公共边，利用 ASA 得到
35、三角形 CEF 与三角形 CEB 全等，利用全等三角形对应边相等得到 FEBE，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用 ASA 得到三角形 ABF 与三角形 ACD 全等，利用全等三角形的性质得到 CDBF，等量代换即可得证 【解答】解：CD2BE，理由为： 延长 BE 交 CA 延长线于 F， CD 平分ACB， FCEBCE， 在CEF 和CEB 中， ， CEFCEB（ASA） ， FEBE， DACCEF90， ACD+FABF+F90， ACDABF， 在ACD 和ABF 中， ， ACDABF（ASA） ， CDBF， CD2BE 【点评】此题考查了全等三角形的判
36、定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 25 （6 分）如图，在ABC 中，B2C，ADBC，垂足为 D，判断 AB、CD 和 BD 这三条线段的数量关系（用等式表示） ，并证明 【分析】在 CDC 截取 DHDB，连接 AH，根据线段垂直平分线的性质得到 ABAH，即可证得AHBB，根据三角形的外角的性质证得HACC，即可证得 AHCH，从而证得 AB+BDCH+DHCD 【解答】解：AB+BDCD， 证明：在 CD 上截取 DHDB，连接 AH， ADBC， ABAH， AHBB， B2C， AHBC， AHBC+HAC， HAC2C， AHCH， ABCH， AB+BDC
37、H+DHCD 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 26 （6 分）已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作ACD 和BCE，且 CACD，CBCE，ACDBCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1） 如图， 若ACD60， 则AFB 120 ； 如图， 若ACD90， 则AFB 90 ；如图，若ACD120，则AFB 60 ； （2）如图，若ACD，则AFB 180 （用含 的式子表示） ； （3）将图中的ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE
38、 中的一条线段上） ，变成如图所示的情形，若ACD，则AFB 与 的有何数量关系？并给予证明 【分析】 （1）如图 1，首先证明BCDECA，得出EACBDC，再根据AFB 是ADF 的外角求出其度数 如图 2， 首先证明ACEDCB， 得出AECDBC， 又有FDECDB， 进而得出AFB90 如图 3，首先证明ACEDCB，得出EACBDC，又有BDC+FBA180DCB 得到FAB+FBA120，进而求出AFB60 （2）由ACDBCE 得到ACEDCB，再由三角形的内角和定理得CAECDB，从而得出DFAACD，得到结论AFB180 （3）由ACDBCE 得到ACEDCB，通过证明AC
39、EDCB 得CBDCEA，由三角形内角和定理得到结论AFB180 【解答】解： （1）如图 1，CACD，ACD60， 所以ACD 是等边三角形 CBCE，ACDBCE60， 所以ECB 是等边三角形 ACDC，ACEACD+DCE，BCDBCE+DCE， 又ACDBCE， ACEBCD ACDC，CEBC， ACEDCB EACBDC AFB 是ADF 的外角 AFBADF+FADADC+CDB+FADADC+EAC+FADADC+DAC120 如图 2，ACCD，ACEDCB90，ECCB， ACEDCB AECDBC， 又FDECDB，DCB90， EFD90 AFB90 如图 3，AC
40、DBCE， ACDDCEBCEDCE ACEDCB 又CACD，CECB， ACEDCB（SAS） EACBDC BDC+FBA180DCB180（180ACD）120， FAB+FBA120 AFB60 故填 120，90，60 （2）ACDBCE， ACD+DCEBCE+DCE ACEDCB CAECDB DFAACD AFB180DFA180ACD180 （3）AFB180； 证明：ACDBCE，则ACD+DCEBCE+DCE， 即ACEDCB 在ACE 和DCB 中， 则ACEDCB（SAS） 则CBDCEA，由三角形内角和知EFBECB AFB180EFB180 【点评】本题考查了全
41、等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识 27 （7 分）在ABC 和DCE 中，CACB，CDCE，CABCED （1）如图 1，将 AD、EB 延长，延长线相交于点 O： 求证：BEAD； 用含 的式子表示AOB 的度数（直接写出结果） ； （2）如图 2，当 45时，连接 BD、AE，作 CMAE 于 M 点，延长 MC 与 BD 交于点 N，求证：N是 BD 的中点 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到ACBDCE，根据全等三角形的性质即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到CADCBE+BAO，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）如图 2，作 BPMN
42、交 MN 的延长线于 P，作 DQMN 于 Q，根据全等三角形的性质得到 MCBP，同理，CMDQ，等量代换得到 DQBP，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）CACB，CDCE，CABCED， ACB1802，DCE1802， ACBDCE， ACBDCBDCEDCB， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ACDBCE（SAS） ， BEAD； ACDBCE， CADCBE+BAO， ABEBOA+BAO， CBE+BOA+BAO， BAO+BOA+BAO， BOA2； （2）如图 2，作 BPMN 交 MN 的延长线于 P，作 DQMN 于 Q， BCP+BCACA
43、M+AMC， BCAAMC， BCPCAM， 在CBP 与ACM 中， CBPACM（AAS） ， MCBP， 同理，CMDQ， DQBP， 在BPN 与DQN 中， BPNDQN（AAS） ， BNND， N 是 BD 的中点 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 28 （7 分）在平面直角坐标系中，对任意的点 P（x，y） ，定义 P 的绝对坐标|P|x|+|y|任取点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，记 A（x1，y2） ，B（x2，y1） ，若此时|A|2+|B|2|A|2+|B|2成立，则称点 A，B 相关 （
44、1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ； A（2，1） ，B（3，2） ；C（4，3） ，D（2，4） （2） （）对于点 P（x，y） ，其中6x6，6y6，其中 x，y 是整数则所有满足条件的 P 点有 169 个； （）求所有满足（）条件的所有点中与点 E（3，3）相关的点的个数； （）对于满足（）条件的所有点中取出 n 个点，满足在这 n 个点中任意选择 A，B 两点，点 A，B 都相关，求 n 的最大值 【分析】 （1）根据已知条件，分别将坐标代入进行计算，判断是否符合条件|A|2+|B|2|A|2+|B|2，即可得出结论； （2） （i）因为6x6 且为整数，所以符合条件的 x
45、有 13 个，同理符合条件的 y 也有 13 个，所以满足条件的 P 点有 169 个， （ii）根据点 A、B 相关的定义得到|x1y1|+|x2y2|x1y2|+|x2y1|，把 E（3，3）代入，讨论象限以及坐标轴上的点与 E 点的相关点的个数， （iii）由（ii）中的|x1y1|+|x2y2|x1y2|+|x2y1|，变换得|x1|y1y2|x2|+|y1y2|，从而得知点 A、B 相关时的条件，从而求得 n 的最大值 【解答】解： （1）A（2，1） ，B（3，2） ， A（2，2） ，B（3，1） ， （2+1）2+（3+2）234， （2+2）2+（3+1）232，3432，
46、所以此项不符合题意； C（4，3） ，D（2，4） ， C（4，4） ，D（4，3） ， （4+3）2+（2+4）285， （4+4）2+（2+3）289，8589， 所以此项符合题意， 故答案为：； （2） （i）因为6x6 且为整数， 所以符合条件的 x 有 13 个，同理符合条件的 y 也有 13 个， 所以满足条件的 P 点有 1313169 个， 故答案为：169； （ii）要满足 A、B 相关，则有 （|x1|+|x2|）2+（|y1|+|y2|）2（|x1|+|y2|）2+（|x2|+|y1|）2，整理可得： |x1y1|+|x2y2|x1y2|+|x2y1|， 把 E（3，3）
47、代入得 9+|x2y2|3（|x2|+|y2|） ， 带有绝对值，所以四个象限是对称的， 首先考虑第一象限以及 x、y 轴正向，符合条件的有（0，3） ， （0，4） ， （0，5） ， （0，6） ， （1，3） ， （1，4） ，（1，5） ， （1，6） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5） ， （2，6） ， （3，3） ， （3，4） ， （3，5） ， （3，6）共 16 个， x2、y2也是对称的，所以第一象限以及 x、y 轴正向有 162131 个点满足条件， 所以满足条件的点有 44+（1221）4108（个） ； （iii）对（ii）中|x1y1|+|x2y2|x1y2|+|x2y1|稍作变换， |x1y1|x1y2|x2y1|x2y2|，|x1|y1y2|x2|y1y2|， 因为 x1，x2任取， 所以|x1|x2|，即|x1|x2|， 故需满足横坐标绝对值相等或纵坐标的绝对值相等， 所以 n 的最大值为 64+125 【点评】本题主要考查绝对值的概念和平面直角坐标系的应用