1、2021-2022 学年北京市东城区二校联考八年级上期中数学试卷学年北京市东城区二校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列计算正确的是（ ） Ax3+x3x6 Bb2+b22b2 Cxmx5x5m Dx5x2x10 2在下列“禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 3小明用长度分别为 5，a，9 的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则 a 可能的值是（ ） A4 B6 C14 D15 4如图所示，ABC 的边 AC 上的高是（ ） A线段 AE B线段 BA C线段
2、 BD D线段 DA 5在下列条件中：A+BC；A：B：C1：2：3；A90B；ABC 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） A B C D 6如图，将ABC 沿 DH、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处若140，则2 的度数为（ ） A50 B60 C90 D140 7如图，ABC 中，ACBC，如果用尺规作图的方法在 BC 上确定点 P，使 PA+PCBC，那么符合要求的作图痕迹是（ ） A B C D 8图中的两个三角形全等，则 等于（ ） A65 B60 C55 D50 9如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，EF 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 EF 上的任
3、意一点，则PA+PB 的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 10在平面直角坐标系内点 A、点 B 的坐标分别为（0，3） 、 （4，3） ，在坐标轴上找一点 C，使ABC 是等腰三角形，则符合条件的点 C 的个数是（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11M（3，1）关于 y 轴的对称点的坐标为 12一个正 n 边形的每个外角都为 60，则边数 n 为 13如图，已知 AC 与 BD 交于点 E，且 ABCD，请你再添加一个边或角的条件使ABCDCB，添加的条件是： （添加一个即可） 14如图，点 P 是BA
4、C 的平分线上一点，PBAB 于 B，且 PB5cm，AC12cm，则APC 的面积是 cm2 15等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则周长是 16 如图， 在三角形 ABC 中， ACB90， CDAB 于点 D， B30， 且 AD1， 那么 BD 17如图，ABAC，BDAC，CBD，则A （用含 的式子表示） 18已知一张三角形纸片 ABC（如图甲） ，其中 ABAC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到 AB 边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙） 再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF（如图丙） 原三角形纸片 ABC 中，ABC 的大
5、小为 三、解答题（三、解答题（19 题题26 题，每题题，每题 5 分，分，27 题题 6 分，分，28 题题 8 分，共分，共 54 分）分） 19 （5 分）如图，已知 AB 平分CAD，ACAD求证：CD 20 （5 分）2019 年 12 月 18 日，新版北京市生活垃圾管理条例正式发布，并在 2020 年 5 月 1 日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道，目前，相关配套设施的建设已经开启如图，计划在某小区道路 l 上建一个智能垃圾分类投放点 O，使得道路 l 附近的两栋住宅楼 A，B 到智能垃圾分类投放点 O 的距离相等 （1）请在图中利用尺规
6、作图（保留作图痕迹，不写作法） ，确定点 O 的位置； （2）得到 OAOB 的依据为： 21 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC80，D 是 AC 上一点，E 是 BC 延长线上一点，连接BD，DE，若ABD20，BDDE，求CDE 的度数 22 （5 分）如图，点 B、F、C、E 在直线 l 上（F、C 之间不能直接测量） ，点 A、D 在 l 异侧，测得 ABDE，ABDE，AD （1）求证：ABCDEF； （2）若 BE10m，BF3m，求 FC 的长度 23 （5 分）如图 1 是 44 正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色现要从其余 13 个白色小方格中选出一个
7、也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形 （1）可能的位置有 种 （2）请在图 1 中利用阴影标出所有可能情况 24 （5 分）如图所示，有一块直角三角板 DEF（足够大） ，其中EDF90，把直角三角板 DEF 放置在锐角ABC 上，三角板 DEF 的两边 DE、DF 恰好分别经过 B、C （1）若A40，则ABC+ACB ，DBC+DCB ABD+ACD （2）若A55，则ABD+ACD （3）请你猜想一下ABD+ACD 与A 所满足的数量关系 25 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是 E，F，BECF求证：AD 是ABC 的角平分线
8、26 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3） ，B（1，0） ，C（1，2） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 全等，写出所有符合条件的点 D 坐标 27 （6 分）如图，在ABC 中，A90，ABAC （1） 请用尺规作图的方法在边 AC 上确定点 D， 使得点 D 到边 BC 的距离等于 DA 的长；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：BCAB+AD 28 （8 分）如图 1，E 是等边三角形 ABC 的边 AB 所在直线上一点，D 是边
9、BC 所在直线上一点，且 D 与 C不重合，若 ECED则称 D 为点 C 关于等边三角形 ABC 的反称点，点 E 称为反称中心 在平面直角坐标系 xOy 中， （1）已知等边三角形 AOC 的顶点 C 的坐标为（2，0） ，点 A 在第一象限内，反称中心 E 在直线 AO 上，反称点 D 在直线 OC 上 如图 2，若 E 为边 AO 的中点，在图中作出点 C 关于等边三角形 AOC 的反称点 D，并直接写出点 D 的坐标： ； 若 AE2，求点 C 关于等边三角形 AOC 的反称点 D 的坐标； （2）若等边三角形 ABC 的顶点为 B（n，0） ，C（n+1，0） ，反称中心 E 在直
10、线 AB 上，反称点 D 在直线BC上， 且2AE3 请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围： （用含 n 的代数式表示） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列计算正确的是（ ） Ax3+x3x6 Bb2+b22b2 Cxmx5x5m Dx5x2x10 【分析】选项 A、B，根据合并同类项法则，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此逐一选项判断即可； 选项 C、D，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此逐一选项判断即可 【解答】解：A、x3+x32x3，故本选项不合
11、题意； B、b2+b22b2，故本选项符合题意； C、xmx5xm+5，故本选项不合题意； D、x5x2x7，故本选项不合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法，熟记相关运算法则是解答本题的关键 2在下列“禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误 故选：B 【点评】 本题考查的是轴对称图形的概念， 如果一个图形沿一条直
12、线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 3小明用长度分别为 5，a，9 的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则 a 可能的值是（ ） A4 B6 C14 D15 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任何两边之和都大于第三边，任何两边之差都小于第三边，可判定求解 【解答】解：由题意得 95a9+5， 解得 4a14， 故 a 可能的值是 6， 故选：B 【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键 4如图所示，ABC 的边 AC 上的高是（ ） A线段 AE B线段 BA C线段 BD D线段 DA 【分析】根据三角形高线的定义，过点 B 作 BDA
13、C 交 CA 的延长线于点 D，则 BD 为 AC 边上的高 【解答】解：由题意可知，ABC 的边 AC 上的高是线段 BD 故选：C 【点评】本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点 5在下列条件中：A+BC；A：B：C1：2：3；A90B；ABC 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） A B C D 【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案 【解答】解：因为A+BC，则 2C180，C90，所以ABC 是直角三角形； 因为
14、A：B：C1：2：3，设Ax，则 x+2x+3x180，x30，C30390，所以ABC 是直角三角形； 因为A90B， 所以A+B90， 则C1809090， 所以ABC 是直角三角形； 因为ABC，所以三角形为等边三角形 所以能确定ABC 是直角三角形的有共 3 个 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解答此题要用到三角形的内角和为 180，若有一个内角为 90，则ABC 是直角三角形 6如图，将ABC 沿 DH、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处若140，则2 的度数为（ ） A50 B60 C90 D140 【分析】 根据翻折变换前后对应角不变， 故BEOF， A
15、DOH， CHOG， 1+2+HOD+EOF+HOG360，进而求出1+2 的度数 【解答】解：将ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处， BEOF，ADOH，CHOG，1+2+HOD+EOF+HOG360， HOD+EOF+HOGA+B+C180， 1+2360180180， 140， 2140， 故选：D 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出HOD+EOF+HOGA+B+C180是解题关键 7如图，ABC 中，ACBC，如果用尺规作图的方法在 BC 上确定点 P，使 PA+PCBC，那么符合要求的作图痕迹是（ ） A B C
16、 D 【分析】由 PB+PCBC 和 PA+PCBC 易得 PAPB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点 P 在AB 的垂直平分线上，进而得出结论 【解答】解：PB+PCBC，而 PA+PCBC， PAPB， 点 P 在 AB 的垂直平分线上， 即点 P 为 AB 的垂直平分线与 BC 的交点 故选：C 【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 8图中的两个三角形全等，则 等于（ ） A65 B60 C55 D50 【分析
17、】由三角形内角和定理可求第一个图形中，边 a，c 的夹角180606060，由全等三角形的性质可求解 【解答】解：由图形可得：第一个图形中，边 a，c 的夹角180606060， 两个三角形全等， 60， 故选：B 【点评】 本题考查了全等三角形的性质， 三角形内角和定理， 灵活运用全等三角形的性质是本题的关键 9如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，EF 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 EF 上的任意一点，则PA+PB 的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得 BEEC，根据两点之间线段最短即可求解 【解答】解：如图，连接 BE， EF 是
18、BC 的垂直平分线， BECE， 根据两点之间线段最短， PA+PBPA+PCAC，最小， 此时点 P 与点 E 重合 所以 PA+PB 的最小值即为 AC 的长，为 4 所以 PA+PB 的最小值为 4 故选：B 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质 10在平面直角坐标系内点 A、点 B 的坐标分别为（0，3） 、 （4，3） ，在坐标轴上找一点 C，使ABC 是等腰三角形，则符合条件的点 C 的个数是（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 【分析】 要使ABC 是等腰三角形， 可分三种情况 （若 ACAB， 若 BCBA， 若 CACB）
19、 讨论，通过画图就可解决问题 【解答】解：若 ACAB，则以点 A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴有 4 个交点； 若 BCBA，则以点 B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有 2 个交点（A 点除外） ； 若 CACB，则点 C 在 AB 的垂直平分线上， A（0，3） ，B（4，3） ， ABx 轴， AB 的垂直平分线与坐标轴只有 1 个交点 综上所述：符合条件的点 C 的个数有 7 个 故选：C 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 2 分
20、，共分，共 16 分）分） 11M（3，1）关于 y 轴的对称点的坐标为 （3，1） 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案 【解答】解：点 M（3，1）关于 y 轴的对称点的坐标是（3，1） ， 故答案为： （3，1） 【点评】此题主要考查了关于 y 轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点 12一个正 n 边形的每个外角都为 60，则边数 n 为 6 【分析】根据多边形的外角和定理可直接求解 【解答】解：根据题意得： n360606， 故答案为：6 【点评】本题主要考查多边形的外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键 13如图，已知 AC 与 BD
21、 交于点 E，且 ABCD，请你再添加一个边或角的条件使ABCDCB，添加的条件是： （ABCDCB）答案不唯一 （添加一个即可） 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可 【解答】解：添加的条件是ABCDCB， 理由是：在ABC 和DCB 中 ABCDCB（SAS） ， 故答案为：ABCDCB 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS 14如图，点 P 是BAC 的平分线上一点，PBAB 于 B，且 PB5cm，AC12cm，则APC 的面积是 30
22、 cm2 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点 P 到 AC 的距离等于 5，从而求得APC 的面积 【解答】解：AP 平分BAC 交 BC 于点 P，ABC90，PB5cm， 点 P 到 AC 的距离等于 5cm， AC12cm，APC 的面积125230cm2， 故答案为 30 【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中 15等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则周长是 18 或 21 【分析】因为等腰三角形的两边分别为 5 和 8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 【解答】解：当 5 为底时，其它两边都为 8，5、8、8 可以构成三角形，
23、周长为 21； 当 5 为腰时，其它两边为 5 和 8，5、5、8 可以构成三角形，周长为 18， 所以答案是 18 或 21 故填 18 或 21 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论 16如图，在三角形 ABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，B30，且 AD1，那么 BD 3 【分析】利用含 30角的直角三角形的性质求解 AB 的长，再利用 BDABAD 计算可求解 【解答】解：ACB90，B30， AB2AC，A903060， CDAB， ACD906030， AC
24、2AD， AB4AD， AD1， AB4， BDABAD413 故答案为：3 【点评】本题主要考查含 30角的直角三角形的性质，求解 AB 的长是解题的关键 17如图，ABAC，BDAC，CBD，则A 2 （用含 的式子表示） 【分析】根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得A 的度数； 【解答】解：BDAC，CBD， C（90）， ABAC， ABCC（90）， ABD90（902） A90（902）2； 故答案为 2 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般 18已知一张三角形纸片 ABC
25、（如图甲） ，其中 ABAC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到 AB 边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙） 再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF（如图丙） 原三角形纸片 ABC 中，ABC 的大小为 72 【分析】设Ax，根据翻折不变性可知AEDAx，CBEDA+EDA2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题 【解答】解：设Ax，根据翻折不变性可知AEDAx，CBEDA+EDA2x， ABAC， ABCC2x， A+ABC+C180， 5x180， x36， ABC72 故答案为 72 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解
26、题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（三、解答题（19 题题26 题，每题题，每题 5 分，分，27 题题 6 分，分，28 题题 8 分，共分，共 54 分）分） 19 （5 分）如图，已知 AB 平分CAD，ACAD求证：CD 【分析】根据角平分线的定义得到CABDAB，推出ACBADB，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】证明：AB 平分CAD， CABDAB， 在ACB 与ADB 中， ， ACBADB， CD 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 20 （5 分）2019 年 12 月
27、18 日，新版北京市生活垃圾管理条例正式发布，并在 2020 年 5 月 1 日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道，目前，相关配套设施的建设已经开启如图，计划在某小区道路 l 上建一个智能垃圾分类投放点 O，使得道路 l 附近的两栋住宅楼 A，B 到智能垃圾分类投放点 O 的距离相等 （1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ，确定点 O 的位置； （2）得到 OAOB 的依据为： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 【分析】 （1）连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线 EF，交直线 l 于点 O，连接 OA，OB，点 O 即
28、为所求； （2）利用线段的垂直平分线的性质证明即可 【解答】解： （1）如图，点 O 即为所求； （2）EF 垂直平分线段 AB， OAOB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等） ， 故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 【点评】本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型 21 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC80，D 是 AC 上一点，E 是 BC 延长线上一点，连接BD，DE，若ABD20，BDDE，求CDE 的度数 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得A
29、BCACB50，那么DBCABCABD30因为BDE 是等腰三角形，所以EDBC30，然后根据三角形外角的性质即可求出CDE 的度数 【解答】解：在ABC 中，ABAC，BAC80， ABCACB（18080）50， ABD20， DBCABCABD30 BDDE， EDBC30， CDEACBE20 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，求出ACB 与E的度数是解题关键 22 （5 分）如图，点 B、F、C、E 在直线 l 上（F、C 之间不能直接测量） ，点 A、D 在 l 异侧，测得 ABDE，ABDE，AD （1）求证：ABCDEF； （2）若 BE
30、10m，BF3m，求 FC 的长度 【分析】 （1）先证明ABCDEF，再根据 ASA 即可证明 （2）根据全等三角形的性质即可解答 【解答】 （1）证明：ABDE， ABCDEF， 在ABC 与DEF 中 ABCDEF（ASA） ； （2）ABCDEF， BCEF， BF+FCEC+FC， BFEC， BE10m，BF3m， FC10334m 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型 23 （5 分）如图 1 是 44 正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色现要从其余 13 个白色小
31、方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形 （1）可能的位置有 4 种 （2）请在图 1 中利用阴影标出所有可能情况 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可 【解答】解： （1）可能的位置有 4 个 故答案为：4； （2）如图所示： 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键 24 （5 分）如图所示，有一块直角三角板 DEF（足够大） ，其中EDF90，把直角三角板 DEF 放置在锐角ABC 上，三角板 DEF 的两边 DE、DF 恰好分别经过 B、C （1） 若A40， 则ABC+ACB 140 ， DBC+D
32、CB 90 ABD+ACD 50 （2）若A55，则ABD+ACD 35 （3）请你猜想一下ABD+ACD 与A 所满足的数量关系 ABD+ACD90A 【分析】 （1）根据三角形内角和定理可得ABC+ACB180A140，DBC+DCB180DBC90，进而可求出ABD+ACD 的度数； （2） 根据三角形内角和定理可得ABC+ACB180A130， DBC+DCB180DBC90，进而可求出ABD+ACD 的度数； （3）根据三角形内角和定义有 90+（ABD+ACD）+A180，则ABD+ACD90A 【解答】解： （1）在ABC 中，A40， ABC+ACB18040140， 在DBC
33、 中，BDC90， DBC+DCB1809090， ABD+ACD1409050； 故答案为：140；90；50 （2）在ABC 中，A55， ABC+ACB18055125， 在DBC 中，BDC90， DBC+DCB1809090， ABD+ACD1259035， 故答案为：35； （3）ABD+ACD 与A 之间的数量关系为：ABD+ACD90A证明如下： 在ABC 中，ABC+ACB180A 在DBC 中，DBC+DCB90 ABC+ACB（DBC+DCB）180A90 ABD+ACD90A， 故答案为：ABD+ACD90A 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和
34、定理是解答的关键 25 （5 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是 E，F，BECF求证：AD 是ABC 的角平分线 【分析】首先可证明 RtBDERtDCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得 AD 是角平分线即可 【解答】证明：DEAB，DFAC， RtBDE 和 RtCDF 是直角三角形 ， RtBDERtCDF（HL） ， DEDF， DEAB，DFAC，ADAD， RtADERtADF（HL） ， DAEDAF， AD 是ABC 的角平分线 【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定由三角形全等得到 DEDF 是
35、正确解答本题的关键 26 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3） ，B（1，0） ，C（1，2） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 全等，写出所有符合条件的点 D 坐标 【分析】 （1）利用轴对称变换，即可作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）依据以 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 全等，可知两个三角形有公共边 BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点 D 坐标 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）当BCD 与BCA 关于
36、BC 对称时，点 D 坐标为（0，3） ， 当BCA 与CBD 关于 BC 的中点对称时，点 D 坐标为（ 0，1） ， BCA 与CBD 关于 BC 的中垂线对称时，点 D 坐标为当（2，1） 【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等 27 （6 分）如图，在ABC 中，A90，ABAC （1） 请用尺规作图的方法在边 AC 上确定点 D， 使得点 D 到边 BC 的距离等于 DA 的长；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：BCAB+AD 【分析】 （1）依据尺规作图，作ABC 的平
37、分线 BD 即可解决问题 （2）依据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题 【解答】解： （1）如图，点 D 即为所求 （2）如图，过点 D 作 DEBC 于点 E， 由（1）知 DADE 又A90，BDBD， RtABDRtEBD（HL） ， ABBE， A90，ABAC， C45 CDE904545， CDEC， DECE， CEAD， BCBE+ECAB+AD 【点评】本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 28 （8
38、分）如图 1，E 是等边三角形 ABC 的边 AB 所在直线上一点，D 是边 BC 所在直线上一点，且 D 与 C不重合，若 ECED则称 D 为点 C 关于等边三角形 ABC 的反称点，点 E 称为反称中心 在平面直角坐标系 xOy 中， （1）已知等边三角形 AOC 的顶点 C 的坐标为（2，0） ，点 A 在第一象限内，反称中心 E 在直线 AO 上，反称点 D 在直线 OC 上 如图 2，若 E 为边 AO 的中点，在图中作出点 C 关于等边三角形 AOC 的反称点 D，并直接写出点 D 的坐标： （1，0） ； 若 AE2，求点 C 关于等边三角形 AOC 的反称点 D 的坐标； （
39、2）若等边三角形 ABC 的顶点为 B（n，0） ，C（n+1，0） ，反称中心 E 在直线 AB 上，反称点 D 在直线BC 上，且 2AE3请直接写出点 C 关于等边三角形 ABC 的反称点 D 的横坐标 t 的取值范围： n3tn2 或 n+2tn+3 （用含 n 的代数式表示） 【分析】 （1）过点 E 作 EFOC，垂足为 F，根据等边三角形的性质可得 DFFC，OF，即可求 OD1，即可求点 D 坐标； 分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论， 根据反称点定义可求点D的坐标； （2）分点 E 在点 E 在 AB 的延长线上或在 BA 的延长线上，根据平行线分线段
40、成比例的性质，可求 CFDF 的值，即可求点 D 的横坐标 t 的取值范围 【解答】解： （1）如图，过点 E 作 EFOC，垂足为 F， ECED，EFOC DFFC， 点 C 的坐标为（2，0） ， AOCO2， 点 E 是 AO 的中点， OE1， AOC60，EFOC， OEF30， OE2OF1 OF， OC2， CFDF， DO1 点 D 坐标（1，0） 故答案为： （1，0） 等边三角形 AOC 的两个顶点为 O（0，0） ，C（2，0） ， OC2 AOOC2 E 是等边三角形 AOC 的边 AO 所在直线上一点，且 AE2， 点 E 与坐标原点 O 重合或点 E 在边 OA
41、的延长线上， 如图，若点 E 与坐标原点 O 重合， ECED，EC2， ED2 D 是边 OC 所在直线上一点，且 D 与 C 不重合， D 点坐标为（2，0） 如图，若点 E 在边 OA 的延长线上，且 AE2， ACAE2， EACE AOC 为等边三角形， OACACO60 EACE30 OCE90 ECED， 点 D 与点 C 重合 这与题目条件中的 D 与 C 不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去， 综上所述：D（2，0） （2）B（n，0） ，C（n+1，0） ， BC1， ABAC1 2AE3， 点 E 在 AB 的延长线上或在 BA 的延长线上， 如图点 E 在 AB 的延长
42、线上，过点 A 作 AHBC，过点 E 作 EFBD ABAC，AHBC， BHCH， AHBC，EFBD AHEF 若 AE2，AB1 BE1， 1 BHBF CFDF D 的横坐标为：nn2， 若 AE3，AB1 BE2， BF2BH1 CFDF2 D 的横坐标为：n12n3， 点 D 的横坐标 t 的取值范围：n3tn2， 如图点 E 在 BA 的延长线上，过点 A 作 AHBC，过点 E 作 EFBD， 同理可求：点 D 的横坐标 t 的取值范围：n+2tn+3， 综上所述：点 D 的横坐标 t 的取值范围：n3tn2 或 n+2tn+3 故答案为：n3tn2 或 n+2tn+3 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例，阅读理解题意是本题的关键，是中考压轴题