1、2021-2022 学年北京市西城区十校联考八年级上期中数学试卷学年北京市西城区十校联考八年级上期中数学试卷 一一.选择题： （每小题选择题： （每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 120的值为（ ） A1 B0 C1 D2 2下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A笛卡尔爱心曲线 B蝴蝶曲线 C费马螺线曲线 D科赫曲线 3如图，ABC 的边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线交边 BC 于点 E，若 BC16，则ADE 的周长是（ ） A8 B16 C32 D不能确定 4如图，点 D 为ABC 的边 BC 上一点，且满足 ADDC，作 BEAD
2、 于点 E，若BAC70，C40，AB6，则 BE 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 5从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲） ，然后拼成一个平行四边形（如图乙） 那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） Aa2b2（ab）2 B （a+b）2a2+2ab+b2 C （ab）2a22ab+b2 Da2b2（a+b） （ab） 6如图，在ABC 中，ABC66，C40，将ABC 绕点 B 逆时针旋转 后得到ABC，此时点 A 恰好在线段 AC上，则ABA的度数为（ ） A28 B30 C32 D35 7小
3、明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示下面有四个推断： 小明此次一共调查了 100 位同学； 每天阅读图书时间不足 15 分钟的同学人数多于 4560 分钟的人数； 每天阅读图书时间在 1530 分钟的人数最多； 每天阅读图书时间超过 30 分钟的同学人数是调查总人数的 20% 根据图中信息，上述说法中正确的是（ ） A B C D 8已知 a，b，c 分别是等腰ABC 三边的长，且满足 ac12bc，若 a，b，c 均为正整数，则这样的等腰ABC 存在（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 二、填空： （每空二、填空： （每空 2 分，共分，共
4、18 分）分） 9若式子（x3）0有意义，则实数 x 的取值范围是 10一个等腰三角形有一个角为 80，则它的顶角度数为 11如图，在ABC 中，ABAC，A40，BD 是ABC 的角平分线，则ABD 12为了贯彻和落实“双减政策” ，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程） ，并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七年级 500 名学生中选择做豆腐课程的学生约为 名 13如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在坐标轴上，A（
5、1，0） ，过点 B 作 BDAB，垂线 BD 交 x 轴于点 D，则点 D 的坐标为 14已知 a2b2，那么 a24b28b+1 的值为 15如图，在ABC 中，C90，BD 为ABC 的角平分线，过点 D 作直线 lAB，点 P 为直线 l 上的一个动点，若BCD 的面积为 16，BC8，则 AP 最小值为 16若 xy5，xy6，则 x2yxy2 17如图，ABC 为等边三角形，点 D 与点 C 关于直线 AB 对称，E，F 分别是边 BC 和 AC 上的点，BECF，AE 与 BF 交于点 G，DG 交 AB 于点 H下列四个结论中：ABECBF；AG+BGDG；HG+GEGF；AH
6、F 为等边三角形所有正确结论的序号是 三、解答题： （三、解答题： （20-22 题每小题题每小题 8 分，分，23 题题 5 分，分，24 题题 4 分，共分，共 29 分）分） 18 （8 分）计算： （1） （a+2） （a+3）+2a6a4； （2） （3a+b）2（a+b） （ab） 19 （8 分）分解因式： （1）a2b16b； （2）5x320 x2y+20 xy2 20 （4 分）已知 a2，b3 时，求3（ab）25（a2+b2）+（2a+b） （a4b）2b 的值 21 （5 分）已知：如图，点 B 是MAN 边 AM 上的一定点（其中MAN45） ， 求作：ABC，使其
7、满足：点 C 在射线 AN 上，ACB2A 下面是小兵设计的尺规作图过程 作法： 作线段 AB 的垂直平分线 l，直线 l 交射线 AN 于点 D； 以点 B 为圆心，BD 长为半径作弧，交射线 AN 于另一点 C； 连接 BC，则ABC 即为所求三角形 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：直线 l 为线段 AB 的垂直平分线， ADBD（ ） ， （填推理的依据） A ， BDCA+ABD2A； BCBD， ACBBDC （ ） ， （填推理的依据） ACB2A 22 （4 分）为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初
8、二年级 600 名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）进行统计分析，得到如下所示的频数分布表： 分数段 50.560.5 60.570.5 70.580.5 80.590.5 90.5100.5 频数 18 30 50 a 22 所占百分比 9% 15% 25% b% c 请根据尚未完成的表格，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 ，表中 c ； （2）补全如图所示的频数分布直方图； （3）若成绩小于或者等于 70 分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提
9、高的有 人 四、解答题： （四、解答题： （25，26 题每题题每题 5 分，分，27 题题 6 分，分，28 题题 7 分，共分，共 23 分）分） 23 （5 分）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为 1 元，现在有两种提价方案： 方案 1：第一次提价 x%，第二次提价 y%； 方案 2：第一次、二次提价均为 其中 x， y 是不相等的正数， 请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明 24 （5 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC2BC，点 D 是线段 AC 的中点，以 CD 为斜边作等腰直角CDE，连接 AE，EB，判断AEB
10、 的形状，并证明 25 （6 分）若整式 A 只含有字母 x，且 A 的次数不超过 3 次，令 Aax3+bx2+cx+d，其中 a，b，c，d 为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式 A 的关联点，我们规定次数超过 3 次的整式没有关联点例如，若整式 A2x25x+4，则 a0，b2，c5，d4，故 A 的关联点为（6，1） （1）若 Ax3+x22x+4，则 A 的关联点坐标为 （2）若整式 B 是只含有字母 x 的整式，整式 C 是 B 与（x2） （x+2） 的乘积， 若整式 C 的关联点为（6，3） ，求整式 B 的表达式 （3） 若整式 Dx3，
11、整式 E 是只含有字母 x 的一次多项式， 整式 F 是整式 D 与整式 E 的平方的乘积，若整式 F 的关联点为（200，0） ，请直接写出整式 E 的表达式 26 （7 分）在ABC 中，AD 为ABC 的角平分线，点 E 是直线 BC 上的动点 （1）如图 1，当点 E 在 CB 的延长线上时，连接 AE，若E48，AEADDC，则ABC 的度数为 （2）如图 2，ACAB，点 P 在线段 AD 延长线上，比较 AC+BP 与 AB+CP 之间的大小关系，并证明 （3）连接 AE，若DAE90，BAC24，且满足 AB+ACEC，请求出ACB 的度数（要求：画图，写思路，求出度数） 参考
12、答案解析参考答案解析 一一.选择题： （每小题选择题： （每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 120的值为（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】根据 a01（a0）进行求解即可 【解答】解：201， 故选：C 【点评】本题考查零指数幂的运算，熟练掌握 a01（a0）是解题的关键 2下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A笛卡尔爱心曲线 B蝴蝶曲线 C费马螺线曲线 D科赫曲线 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【解答】解：选项 A、B、D 均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直
13、线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项 C 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 3如图，ABC 的边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线交边 BC 于点 E，若 BC16，则ADE 的周长是（ ） A8 B16 C32 D不能确定 【分析】如图，由题意可知 DADB，EAEC，推出 AD+AE+DEBD+EC+DE，于是得到结论 【解答】解：边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，边
14、AC 的垂直平分线交 BC 于点 E， DADB，EAEC， BCBD+DE+CEAD+DE+AEADE 的周长， ADE 的周长16， 故选：B 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，关键在于根据题意推出 DADA，EAEC，正确的进行等量代换 4如图，点 D 为ABC 的边 BC 上一点，且满足 ADDC，作 BEAD 于点 E，若BAC70，C40，AB6，则 BE 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据等边对等角可得DAC40，根据角的差可得BAE30，根据含 30角的直角三角形的性质可得 BE 的长 【解答】解：ADCD， DACC40， BAC70，
15、BAE704030， BEAD， AEB90， BEAB63 故选：B 【点评】 此题主要考查了等腰三角形的性质， 含 30角的直角三角形的性质， 解本题的关键是得出BAE30 5从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲） ，然后拼成一个平行四边形（如图乙） 那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） Aa2b2（ab）2 B （a+b）2a2+2ab+b2 C （ab）2a22ab+b2 Da2b2（a+b） （ab） 【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立
16、的公式 【解答】解：由图 1 将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为 ab，即平行四边形的高为 ab， 两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积a2b2，乙的面积（a+b） （ab） 即：a2b2（a+b） （ab） 所以验证成立的公式为：a2b2（a+b） （ab） 故选：D 【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键本题主要利用面积公式求证明 a2b2（a+b） （ab） 6如图，在ABC 中，ABC66，C40，将ABC 绕点 B 逆时针旋转 后得到ABC，此时点 A 恰好在线段 AC上，则ABA的度数为（ ） A28 B30 C32 D
17、35 【分析】由旋转的性质可得 ABBA，BACBAC74，由三角形的内角和定理可求解 【解答】解：ABC66，C40， BAC74， 将ABC 绕点 B 逆时针旋转 后得到ABC， ABBA，BACBAC74， BAABAA74， ABA32， 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 7小明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示下面有四个推断： 小明此次一共调查了 100 位同学； 每天阅读图书时间不足 15 分钟的同学人数多于 4560 分钟的人数； 每天阅读图书时间在 1530 分钟的人数最多； 每天阅读图
18、书时间超过 30 分钟的同学人数是调查总人数的 20% 根据图中信息，上述说法中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据频数分布直方图中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：由直方图可得， 小明此次一共调查了 10+60+20+10100 名同学，故正确； 每天阅读图书时间不足 15 分钟的同学人数和 4560 分钟的人数一样多，故错误； 每天阅读图书时间在 1530 分钟的人数最多，故正确； 每天阅读图书时间超过 30 分钟的同学人数是调查总人数的： （20+10）100100%30%，故错误； 故选：A 【点评】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思
19、想解答是解答本题的关键 8已知 a，b，c 分别是等腰ABC 三边的长，且满足 ac12bc，若 a，b，c 均为正整数，则这样的等腰ABC 存在（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可 【解答】解：ac12bc， ac+bc12， （a+b）c12， 121122634，a+bc， 或或， 当 时，三边长分别为 1，6，6 或 1，1，11 （不合题意舍去） ； 当 时，三边长分别为 2，3，3 或 2，2，4 （不合题意舍去） ； 当 时，三边长分别为 3，2，2 或 3，3，1， 所以一共有 4 个， 故选：B 【点评】本题考查了不定
20、方程的正整数解和等腰三角形的三边关系，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论 二、填空： （每空二、填空： （每空 2 分，共分，共 18 分）分） 9若式子（x3）0有意义，则实数 x 的取值范围是 x3 【分析】利用零指数幂的意义即零的零次幂没有意义解答即可 【解答】解：零的零次幂没有意义， x30 x3 故答案为：x3 【点评】本题主要考查了零指数幂的意义，利用零的零次幂没有意义解答是解题的关键 10一个等腰三角形有一个角为 80，则它的顶角度数为 80或 20 【分析】等腰三角形一内角为 80，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况 【解答】解： （1）当 80角为顶角，顶角度数即为 8
21、0； （2）当 80为底角时，顶角18028020 故答案为：80或 20 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键 11如图，在ABC 中，ABAC，A40，BD 是ABC 的角平分线，则ABD 35 【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解 【解答】解：ABAC，A40， ABCC（18040）270， 又BD 为ABC 的平分线， ABD35， 故答案为：35 【点评】本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质
22、、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键 12为了贯彻和落实“双减政策” ，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程） ，并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七年级 500 名学生中选择做豆腐课程的学生约为 100 名 【分析】用整体 1 减去戏剧赏析、篮球、剪纸、硬笔书法所占的百分比，求出做豆腐所占的百分比，再用该学校 500 名学生乘以做豆腐所占的百分比即可得出答案 【解答】解：根据题意得： 500（114%16
23、%30%20%）100（名） ， 答：这个统计图可以估计七年级 500 名学生中选择做豆腐课程的学生约为 100 名 故答案为：100 【点评】此题考查了用样本估计总体，依据扇形统计图求出做豆腐所占的百分比是解题的关键 13如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在坐标轴上，A（1，0） ，过点 B 作 BDAB，垂线 BD 交 x 轴于点 D，则点 D 的坐标为 （3，0） 【分析】根据等边三角形的性质得 OCOA1，则 ACBC2，ACBABC60，由 BDAB得CBD30， 根据三角形外角的性质得BDCCBD30， 则 CDBC2， 可得出 ODOC+CD3，即可得点 D 的坐标 【解答】
24、解：A（1，0） ， OA1， ABC 是等边三角形，OBAC， OCOA1， ACBC2，ACBABC60， BDAB， CBDABDABC30， BDCACBDBC30， BDCCBD， CDBC2， ODOC+CD3， 点 D 的坐标（3，0） 故答案为： （3，0） 【点评】本题考查等边三角形的性质，坐标与图形的性质，求出 OC，CD 的长是解题的关键 14已知 a2b2，那么 a24b28b+1 的值为 5 【分析】先将 a24b2因式分解，利用整体代入的方法化简整理，再利用代入计算即可得出结论 【解答】解：a2b2， 原式（a+2b） （a2b）8b+1 2（a+2b）8b+1 2
25、a+4b8b+1 2a4b+1 2（a2b）+1 22+1 4+1 5 故答案为：5 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，求代数式的值，利用因式分解的方法将代数式适当变形利用整体代入的思想是解题的关键 15如图，在ABC 中，C90，BD 为ABC 的角平分线，过点 D 作直线 lAB，点 P 为直线 l 上的一个动点，若BCD 的面积为 16，BC8，则 AP 最小值为 4 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据三角形的面积公式求出 CD，根据角平分线的性质求出 DE，根据垂线段最短解答即可 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于 E， BCD 的面积为 16，BC8，C90， CD
26、4， BD 是ABC 的平分线，C90，DEAB， DECD4， 当 AP直线 l 时，AP 的值最小， 此时四边形 APDE 为矩形， APDE4， AP 最小值为 4， 故答案为：4 【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 16若 xy5，xy6，则 x2yxy2 30 【分析】将原式首先提取公因式 xy，进而分解因式，将已知代入求出即可 【解答】解：xy5，xy6， x2yxy2xy（xy）6530 故答案为：30 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键 17如图，ABC 为等边三
27、角形，点 D 与点 C 关于直线 AB 对称，E，F 分别是边 BC 和 AC 上的点，BECF，AE 与 BF 交于点 G，DG 交 AB 于点 H下列四个结论中：ABECBF；AG+BGDG；HG+GEGF；AHF 为等边三角形所有正确结论的序号是 【分析】直接根据全等三角形的判定方法判断即可； 延长 GE 至 H，使 GHGB，根据等边三角形的判定与性质可得ABHDBG，再根据全等三角形的判定与性质可得结论； 根据三角形的三边关系可得答案； 连接 HF，根据全等三角形的判定方法及性质可得 AHCE，最后根据等边三角形的判定可得结论 【解答】解：在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（
28、SAS） ，故正确； 延长 GE 至 H，使 GHGB， 由知ABEBCF， BAEFBC， BGEABG+BAEABG+FBCABC60， GHGB， BGH是等边三角形， GBHGH，GBH60， 点 D 与点 C 关于直线 AB 对称， ADDC，BDBC， ADDBAB， ABD 是等边三角形， ABBD，ABD60， ABHGBH+ABG，DBGABD+ABG， ABHDBG， DBAB，BGBH， DBGABH（SAS） ， DGAH， AHAG+GH， DGAG+BG，故正确； 连接 HE， HE 不等于 GF，可以证明 HG+GEBG，而 BG 不一定等于 FG，故错误； 连接
29、 HF， DBGABH BDGBAG ADBBAC60， ADBBDGBACBAG，即ADHGAF， ADAC，ACEDAH， ADHCAE（AAS） ， AHCE， CEBCBEACFCAF， AHAF， HAF60 AHE 是等边三角形，故正确， 故答案为： 【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确作出辅助线是解决此题关键 三、解答题： （三、解答题： （20-22 题每小题题每小题 8 分，分，23 题题 5 分，分，24 题题 4 分，共分，共 29 分）分） 18 （8 分）计算： （1） （a+2） （a+3）+2a6a4； （2） （
30、3a+b）2（a+b） （ab） 【分析】 （1）先计算乘除，再合并同类项即可； （2）先用完全平方、平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可 【解答】解： （1） （a+2） （a+3）+2a6a4 a2+3a+2a+6+2a2 3a2+5a+6； （2） （3a+b）2（a+b） （ab） 9a2+6ab+b2（a2b2） 9a2+6ab+b2a2+b2 8a2+6ab+2b2 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘法、完全平方及平方差公式，能熟练的去括号、合并同类项 19 （8 分）分解因式： （1）a2b16b； （2）5x320 x2y+20 xy2 【分析】 （1
31、）先提公因式，再应用平方差公式； （2）先提公因式，再应用完全平方公式 【解答】解： （1）原式b（a216）b（a+4） （a4） ； （2）原式5x（x24xy+4y2）5x（x2y）2 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键 20 （4 分）已知 a2，b3 时，求3（ab）25（a2+b2）+（2a+b） （a4b）2b 的值 【分析】直接利用乘法公式、多项式乘多项式运算法则化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案 【解答】解：原式3（a22ab+b2）5a25b2+2a28ab+ab4b22b （3a26ab+3b25a25b2+2a28
32、ab+ab4b2）2b （6b213ab）2b 3ba， 当 a2，b3 时， 原式33（2） 9+13 4 【点评】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式是解题关键 21 （5 分）已知：如图，点 B 是MAN 边 AM 上的一定点（其中MAN45） ， 求作：ABC，使其满足：点 C 在射线 AN 上，ACB2A 下面是小兵设计的尺规作图过程 作法： 作线段 AB 的垂直平分线 l，直线 l 交射线 AN 于点 D； 以点 B 为圆心，BD 长为半径作弧，交射线 AN 于另一点 C； 连接 BC，则ABC 即为所求三角形 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，
33、补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：直线 l 为线段 AB 的垂直平分线， ADBD（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ） ， （填推理的依据） A ABD ， BDCA+ABD2A； BCBD， ACBBDC （ 等边对等角 ） ， （填推理的依据） ACB2A 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可 【解答】解： （1）如图，ABC 即为所求 （2）直线 l 为线段 AB 的垂直平分线， ADBD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等） ， AABD， BDCA+ABD2A，
34、BCBD， ACBBDC （等边对等角） ， ACB2A 故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，ABD，等边对等角 【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型 22 （4 分）为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级 600 名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）进行统计分析，得到如下所示的频数分布表： 分数段 50.560.5 60.570.5 70.580.5 80.590.5 90.51
35、00.5 频数 18 30 50 a 22 所占百分比 9% 15% 25% b% c 请根据尚未完成的表格，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 200 ，表中 c 11% ； （2）补全如图所示的频数分布直方图； （3）若成绩小于或者等于 70 分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有 144 人 【分析】 （1）根据各个组的频数、频率，由频率可求出样本容量，进而求出 c 的值； （2）求出 a 的值即可补全频数分布直方图； （3）求出样本中， “需要加强锻炼和提高”的学生所占的百分比，估计总体中“需要加强锻炼和提高”学生所占的百分比，进而求
36、出需要加强锻炼和提高的人数 【解答】解： （1）189%200（人） ，c2220011%， 故答案为：200，11%； （2）2001830502280（人） ， 补全频数分布直方图如下： （3）600144（人） ， 故答案为：144 【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图以及样本、总体、个体、样本容量，掌握频率是正确解答的关键 四、解答题： （四、解答题： （25，26 题每题题每题 5 分，分，27 题题 6 分，分，28 题题 7 分，共分，共 23 分）分） 23 （5 分）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为 1 元，现在有两种提价方案： 方案
37、1：第一次提价 x%，第二次提价 y%； 方案 2：第一次、二次提价均为 其中 x， y 是不相等的正数， 请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明 【分析】根据各方案中的提价百分率，分别表示出提价后的单价，得到： 方案 1： （1+x%） （1+y%） ； 方案 2： （1+）2，用方案二的单价减去方案一的单价，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据 xy 判定出其差为正数，可得出（1+）2（1+x%） （1+y%） ，进而确定出方案二的提价多 【解答】解：方案 1： （1+x%） （1+y%） ； 方案 2： （1+
38、）2， （1+）2（1+x%） （1+y%） 1+x%+y%+（）2（1+x%+y%+x%y%） （1+x%+y%+（）2x%+y%+x%y%） （）2x%y% ， xy， 0， （1+）2（1+x%） （1+y%） ， 方案二提价更多 【点评】此题考查了列代数式、整式混合运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 24 （5 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC2BC，点 D 是线段 AC 的中点，以 CD 为斜边作等腰直角CDE，连接 AE，EB，判断AEB 的形状，并证明 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到 EDEC，EDCECD45，进而得出ECB135E
39、DA，根据线段中点的定义得出 ADBC，利用 SAS 证明ADEBCE，根据全等三角形的性质得出 EAEB， AEDBEC， 进而根据角的和差得出AEB90， 即可判定AEB 是等腰直角三角形 【解答】解：AEB 是等腰直角三角形，理由如下： CDE 是等腰直角三角形， EDEC，EDCECD45， ACB90，EDA+EDC180， ECBECD+ACB45+90135，EDA18045135， ECBEDA， 点 D 是线段 AC 的中点， AC2AD， AC2BC， ADBC， 在ADE 和BCE 中， ， ADEBCE（SAS） ， EAEB，AEDBEC， DECDEB+BEC90，
40、 AED+DEB90， 即AEB90， 又 EAEB， AEB 是等腰直角三角形 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用 SAS 证明ADEBCE 是解题的关键 25 （6 分）若整式 A 只含有字母 x，且 A 的次数不超过 3 次，令 Aax3+bx2+cx+d，其中 a，b，c，d 为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式 A 的关联点，我们规定次数超过 3 次的整式没有关联点例如，若整式 A2x25x+4，则 a0，b2，c5，d4，故 A 的关联点为（6，1） （1）若 Ax3+x22x+4，则 A 的关联点坐标为 （5，4） （2）若整式 B
41、 是只含有字母 x 的整式，整式 C 是 B 与（x2） （x+2） 的乘积， 若整式 C 的关联点为（6，3） ，求整式 B 的表达式 （3） 若整式 Dx3， 整式 E 是只含有字母 x 的一次多项式， 整式 F 是整式 D 与整式 E 的平方的乘积，若整式 F 的关联点为（200，0） ，请直接写出整式 E 的表达式 【分析】 （1）根据整式 A 得出 a1，b1，c2，d4，根据关联点的定义得出 b+d5，a+b+c+d4，即可得出 A 的关联点坐标； （2）根据题意得出 B 中 x 的次数为 1 次，设 Bnx+m，计算出 Cnx3+mx24nx4m，进而表达出 a，b，c，d 的值
42、，再根据 C 的关联点为（6，3） ，列出关于 b+d，a+b+c+d 的等式，解出 m、n 的值即可； （3）设 Enx+m，根据题意求出 Fn2x3+（2mm3n2）x2+（m26mn）x3m2，进而表达出 a，b，c，d 的值，再根据 F 的关联点为（200，0） ，列出关于 b+d，a+b+c+d 的等式，解出 m、n 的值即可 【解答】解： （1）Ax3+x22x+4， a1，b1，c2，d4， b+d5，a+b+c+d4， A 的关联点坐标为： （5，4） ， 故笞案为： （5，4） ； （2）整式 B 是只含有字母 x 的整式，整式 C 是 B 与（x2） （x+2）的乘积， （
43、x2） （x+2）x24 是二次多项式，且 C 的次数不能超过 3 次， B 中 x 的次数为 1 次， 设 Bnx+m， C（nx+m） （x24）nx3+mx24nx4m， an，bm，c4n，d4m， 整式 C 的关联点为（6，3） ， m4m6，n+m4n4m3， 解得：m2，n3， B3x2； （3）根据题意：设 Enx+m， F（nx+m）2（x3） （n2x2+2mnx+m2） （x3） n2x3+（ 2mn3n2）x2+（m26mn）x3m2， an2，b2mn3n2，cm26mn，d3m2， 整式 F 的关联点为（200，0） ， 2mn3n23m2200，n2+2mn3n2
44、+m26mn3m20， n2+2mn+m20， （m+n）20， mn， 把 mn 代入 2mn3n23m2200 得：2n23n23n2200， 解得：n225， n5，m5， E5x5 或 E5x+5 【点评】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握（a+b） （ab）a2b2 26 （7 分）在ABC 中，AD 为ABC 的角平分线，点 E 是直线 BC 上的动点 （1）如图 1，当点 E 在 CB 的延长线上时，连接 AE，若E48，AEADDC，则ABC 的度数为 108 （2）如图 2，ACAB，点 P 在线段 AD 延长线上，比较 AC+BP 与 AB+CP 之间的大小关系，并证明
45、 （3）连接 AE，若DAE90，BAC24，且满足 AB+ACEC，请求出ACB 的度数（要求：画图，写思路，求出度数） 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求出ABC 的度数； （2）在 AC 上截取 AHAB，利用 SAS 证明PABPAH，得 PHPB，在CHP 中，再利用三边关系即可得出结论； （3）对点 E 的位置进行分类，当点 E 在 CB 的延长线上时，延长 CA 到 K，使 AKAB，连接 EK，BK，设BKE，则AKE+12，利用 SAS 证明AKEABE，得AKEABEBAC+C，即可得出 的值，从而解决问题 【解答】解： （1）AEAD， ADEE48，
46、 ADDC， CDAC24， AD 平分BAC， BAC2DAC48， ABC180CBAC1802448108， 故答案为：108； （2）AC+BPAB+CP，理由如下： 如图，在 AC 上截取 AHAB， AD 平分BAC， PABPAH， 又PAPA， PABPAH（SAS） ， PHPB， 在CHP 中，CH+HPCP， AH+CH+HPCP+AH， AC+HPAH+CP， AC+BPAB+CP； （3）延长 CA 到 K，使 AKAB，连接 EK，BK， BAC24， AKB12， 设BKE，则AKE+12， CEAC+ABAC+AKCK， CEKAKE+12， C180CEKAK
47、E1802（+12） 1562， AD 平分BAC， DAB12， DAE90， BAE78， KAE180BAEBAC180782478， BAEKAE， AKAB，AEAE， AKEABE（SAS） ， AKEABEBAC+C， +1224+1562， 56， ACB156215625644 当点 E 在 BC 延长线上时，延长 BA 到 F，使 AFAC，连接 EF， 则FAECAE78， AEAE， FAECAE（SAS） ， CEEF，CEAFEA， 设AEC， B2， 2+12+90， 26 ACB104， 综上：ACB44或 104 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键，有一定的难度