1、2021-2022 学年北京市朝阳区二校联考高一上期中数学试卷学年北京市朝阳区二校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 11 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 44 分）分） 1设集合 A2，0，2，Bx|1x2，则 AB（ ） A BA C0，2 D2 2下列函数中是偶函数的是（ ） Ayx4（x0） B Cy3x1 Dy|x+1| 3下面命题正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 a2b2，则 ab C若，则 ab D若，则 ab 4x24x+30 是 x1 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、5奇函数 f（x）在区间3，6上是增函数，在区间3，6上的最大值为 8，最小值为1，则 f（6）+f（3）的值为（ ） A10 B10 C9 D15 6如图中阴影部分所表示的集合是（ ） ABU（AC） B （AB）（BC） C （AC）（UB） DBU（AC） 7函数 yx3是（ ） A在定义内是增函数 B奇函数 C偶函数 D非奇非偶函数 8已知 a0，则 a1+的最小值为（ ） A1 B3 C4 D5 9已知函数 f（x）在区间（0，2）上是减函数，又函数 yf（x+2）是偶函数，那么 f（x） （ ） A在区间（2，4）内是减函数 B在区间（2，4）内是增函数 C在区间（2，0）内是减函
3、数 D在区间（2，0）内是增函数 10向高为 H 的水瓶中注水，注满为止如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ） A B C D 11已知函数在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围（ ） A4，0） B （，2 C4，2 D （，0） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 11 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 44 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 12关于 a 的不等式的 a240 解集是 13设集合 Ax|1x2，xN，则集合 A 的真子集有 个 14函数的零点有 个 15函数 y的定义域是 16设方程|x23|a
4、 的解的个数为 m，则 m 可能的值有 17写出函数 f（x）x2+3|x|的单调递增区间 18函数的值域是 19若“1x1”是“xa0”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 20用 32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为 2m，车厢的最大容积是 m3，此时高是 m 21已知 f（x）x+，g（x）x2mx+1，若对x11，3，x21，3，使得 f（x1）g（x2）+10，则实数 m 的取值范围是 22已知函数，若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 5 小题，共小题，共
5、 62 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23 （12 分）已知集合 Ax|2x5，Bx|m+1x2m1 （1）当 m5 时，求 AB， （RA）B； （2）若 ABA，求实数 m 的取值范围； （3）若 AB，求实数 m 的取值范围 24 （12 分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价” ，计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 12m3的部分 3 元/m3 超过 12m3但不超过 18m3的部分 6 元/m3 超过 18m3的部分 9 元/m3 （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系； （2）若某户居民某月
6、交纳的水费为 54 元，则此月此户居民的用水量为多少？ 25 （12 分）已知函数 f（x）x22mx （1）当 x0，1，求 f（x）的最小值 g（m） ； （2）当1t1 时，若不等式 f（t）2t+2 恒成立，求实数 m 的取值范围 26 （13 分）已知函数是定义在 R 上的奇函数，且 （1）求函数 f（x）的解析式，以及零点； （2）判断函数 f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）判断函数 f（x）在区间（1，+）上的单调性； （只需写出结论） （4）在所给出的平面直角坐标系上，作出 f（x）在定义域 R 上的示意图 27 （13 分）已知集合 Dx|
7、x2ax+a2190，集合 B1，2，3，集合 C0，1，2，且集合 D 满足 DB，DC （1）求实数 a 的值； （2）对集合 Aa1，a2，ak（k2，kN*） ，其中 aiZ（i1，2，k） ，定义由 A 中的元素构成两个相合：S（a，b）|aA，bA，a+bA，T（a，b）|aA，bA，abA，其中（a，b）是有序实数对，集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n，若对任意的 aA，总有aA，则称集合 A 具有性质 P 请检验集合 BC 与 BD 是否具有性质 P，并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和 T； 试判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论 参考答
8、案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 11 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 44 分）分） 1设集合 A2，0，2，Bx|1x2，则 AB（ ） A BA C0，2 D2 【分析】根据 B 的范围，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由 B1，2， A2，0，2， AB0，2， 故选：C 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2下列函数中是偶函数的是（ ） Ayx4（x0） B Cy3x1 Dy|x+1| 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，yx4（x0
9、） ，其定义域不关于原点对称，不是偶函数，不符合题意； 对于 B，y，其定义域为 R，f（x）f（x） ，是偶函数，符合题意； 对于 C，y3x1，是一次函数，不是偶函数，不符合题意； 对于 D，y|x+1|，其定义域为 R，但 f（x）|x1|f（x） ，不是偶函数，不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题 3下面命题正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 a2b2，则 ab C若，则 ab D若，则 ab 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解 【解答】解：对于 A，若 acbc，当 c0 时，ab，故 A
10、错误， 对于 B，令 a4，b3，满足 a2b2，但 ab，故 B 错误， 对于 C，令 a1，b1，满足，但 ab，故 C 错误， 对于 D， ab，故 D 正确 故选：D 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值是解本题的关键，属于基础题 4x24x+30 是 x1 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据一元二次方程的解，由充分必要条件的定义即可判断 【解答】解：把 x1 代入 x24x+30 成立，所以“x1“推出“x24x+30” ， x24x+30 的解为 x3 或 x1，所以“x24x+30”推不出“x1” ， 故“
11、x24x+30”是“x1”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查充分必要条件的定义，一元二次方程的解，属于基础题 5奇函数 f（x）在区间3，6上是增函数，在区间3，6上的最大值为 8，最小值为1，则 f（6）+f（3）的值为（ ） A10 B10 C9 D15 【分析】利用函数的奇偶性的性质直接求解即可 【解答】解：由于 f（x）在3，6上为增函数， f（x）的最大值为 f（6）8，f（x）的最小值为 f（3）1， f（x）为奇函数，故 f（3）f（3）1，f（6）+f（3）8+19 故选：C 【点评】本题考查函数的最值的求法，函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力 6如图中阴影部分
12、所表示的集合是（ ） ABU（AC） B （AB）（BC） C （AC）（UB） DBU（AC） 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是 B 中且不在 A、C 内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案 【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是 B 中且不在 A、C 内部分所得， 即 B 与U（AC）的交集组成的集合， 即：BU（AC） 故选：A 【点评】本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算阴影部分在表示 A 的图内，表示 xA；阴影部分不在表示 A 的图内，表示 xUA 7函数 yx3是（ ） A在定义内是增函数 B奇函数 C偶函数 D非奇非偶函数 【分析】由函数的单调性与奇偶性
13、直接判断即可 【解答】解：函数 yx3的定义域为 R，是奇函数且在 R 上单调递减 故选：B 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查幂函数的性质，属于基础题 8已知 a0，则 a1+的最小值为（ ） A1 B3 C4 D5 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：因为 a0， 则 a1+3，当且仅当 a即 a2 时取等号，此时 a1+的最小值为 3 故选：B 【点评】本题考查基本不等式的性质，属于基础题 9已知函数 f（x）在区间（0，2）上是减函数，又函数 yf（x+2）是偶函数，那么 f（x） （ ） A在区间（2，4）内是减函数 B在区间（2，4）内是增函数 C在区
14、间（2，0）内是减函数 D在区间（2，0）内是增函数 【分析】根据函数 yf（x+2）是偶函数，得到函数 yf（x）关于 x2 对称，结合函数对称性和单调性的关系进行转化判断即可 【解答】解：函数 yf（x+2）是偶函数， 函数 yf（x+2）关于 y 轴对称， 即函数 yf（x）关于 x2 对称， 函数 f（x）在（0，2）上是减函数， 函数 f（x）在（2，4）上是增函数， 故选：B 【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化判断是解决本题的关键 10向高为 H 的水瓶中注水，注满为止如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）
15、A B C D 【分析】本题利用排除法解从所给函数的图象看出，V 不是 h 的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项 【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，Vr2h，r 不变，V 是 h 的正比例函数， 其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符故 D 错； 由已知函数图可以看出，随着高度 h 的增加 V 也增加，但随 h 变大， 每单位高度的增加，体积 V 的增加量变小，图象上升趋势变缓， 其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小故 A、C 错 故选：B 【点评】 本题主要考查知识点： 旋转体 （圆柱、 圆锥、
16、圆台） 等简单几何体和函数的图象， 属于基础题 本题还可从注水一半时的状况进行分析求解 11已知函数在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围（ ） A4，0） B （，2 C4，2 D （，0） 【分析】根据题意，由增函数的定义，分析可得不等式组，解可得 a 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数在 R 上单调递增， 则有，解可得4a2； 故选：C 【点评】 本题考查函数单调性的性质， 涉及分段函数的单调性问题， 注意函数单调性的定义， 是中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 11 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 44 分，把答案填在题中横线上）分，把
17、答案填在题中横线上） 12关于 a 的不等式的 a240 解集是 （2，2） 【分析】由 a240，得（a+2） （a2）0，解得2a2，从而即可得出该不等式的解集 【解答】解：由 a240，得（a+2） （a2）0，解得2a2， 所以该不等式的解集为（2，2） 故答案为： （2，2） 【点评】本题考查一元二次不等式的求解，考查学生的基本运算能力，属于基础题 13设集合 Ax|1x2，xN，则集合 A 的真子集有 3 个 【分析】求出 A 的元素的个数，即可得出集合 A 的真子集个数 【解答】解：Ax|1x2，xN0，1， 集合 A 的真子集有 2213 个， 故答案为：3 【点评】本题考查了
18、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14函数的零点有 1 个 【分析】令 f（x）0，x1，则函数 f（x）的零点有 1 个，即可得出答案 【解答】解：令 f（x）0， 得10，即 x1， 所以函数 f（x）的零点有 1 个 故答案为：1 【点评】本题考查函数的零点，属于基础题 15函数 y的定义域是 1，0）（0，+） 【分析】根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域 【解答】解：要使函数有意义，须， 解得 x1 且 x0 函数的定义域是1，0）（0，+） 故答案为1，0）（0，+） 【点评】此题是个基础题考查函数定义域及其求
19、法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等 16设方程|x23|a 的解的个数为 m，则 m 可能的值有 0，2，3，4 【分析】在同一直角坐标系中，分别画出 y|x23|和 ya 的图象，由方程|x23|a 的解的个数 m，得y|x23|与 ym 的交点个数为 m 【解答】解：在同一直角坐标系中，分别画出 y|x23|和 ya 的图象： 可知方程解得个数为 0 或 2 或 3 或 4， 故答案为：0，2，3，4 【点评】本题考查函数的性质，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题 17写出函数 f（x）x2+3|x|的单调递增区间 （，和0， 【
20、分析】由绝对值的意义和二次函数的单调性，可得所求增区间 【解答】解：函数 f（x）x2+3|x|， 当 x0 时，f（x）（x）2+，可得 f（x）在0，递增； 当 x0 时，f（x）（x+）2+，可得在（，递增 所以 f（x）的递增区间为（，0， 故答案为： （，和0， 【点评】本题考查分段函数的单调区间的求法，以及二次函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于基础题 18函数的值域是 （0， 【分析】借助反函数的思想，用 y 表示 x，注意到 x20，故可以先解出 x2，再利用函数的有界性求出函数值域 【解答】解：由 ，得 ， xR ， 解之得 0y； 故答案为： （0， 【点评】考查函数
21、值域的求法，解决本题时易忽视函数的有界性，在数学中有很多问题看起来很相似，但解法有很大不同，要仔细区别，防止出错 19若“1x1”是“xa0”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 1，+） 【分析】根据充分不必要条件作答即可 【解答】解：“1x1”是“xa0”的充分不必要条件， 即“1x1”是“xa”的充分不必要条件 a1， 故答案为：1，+） 【点评】本题属于简易逻辑中的易做题 20用 32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为 2m，车厢的最大容积是 16 m3，此时高是 2 m 【分析】设长方体长为 am，高为 hm，则 a+2h+ah16，再结合基本不
22、等式的公式，即可求解 【解答】解：设长方体长为 am，高为 hm， 则有 2a+22h+2ah32，即 a+2h+ah16， a+2h，当且仅当 a2h 时，等号成立， ，解得 0， 0ah8， V2ah16，当且仅当 a2h4 时，等号成立， 故车厢的最大容积是 16m3，此时高是 2m 故答案为：16，2 【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题 21已知 f（x）x+，g（x）x2mx+1，若对x11，3，x21，3，使得 f（x1）g（x2）+10，则实数 m 的取值范围是 3，+） 【分析】将问题转化为求解 f（x）的最小值和 g（x）的最小值
23、，然后利用基本不等式以及二次函数的性质分析求解即可 【解答】解：因为对x11，3，x21，3，使得 f（x1）g（x2）+10， 即 f（x）ming（x）min+10， 因为 x1，3， 所以 f（x）x+， 当且仅当，即 x2 时取等号， 所以 f（x）min4， 又 g（x）x2mx+1， 当1，即 m2 时，g（x）ming（1）2m， 则 4（2m）+10，解得 m3， 所以3m2； 当 13，即 1m6 时， 则 4（）+10，解得 mR， 所以 1m6； 当3，即 m6 时，g（x）ming（3）103m， 则 4（103m）+10，解得 m， 所以 m6 综上所述，实数 m 的
24、取值范围为3，+） 故答案为：3，+） 【点评】本题考查了函数恒成立问题、存在性问题的求解，利用基本不等式求解最值的应用，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题与存在性问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，考查了分类讨论思想方法的运用，属于中档题 22已知函数，若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成立，则实数 a 的取值范围是 （，2） 【分析】若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成立，则 f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案 【解答】解：由题意得，即在定义域内
25、，f（x）不是单调的 分情况讨论： （1）若 x1 时，f（x）x2+ax 不是单调的， 即对称轴在 x满足1， 解得：a2 （2）x1 时，f（x）是单调的， 此时 a2，f（x）为单调递增 最大值为 f（1）a1 故当 x1 时，f（x）ax1 为单调递增，最小值为 f（1）a1， 因此 f（x）在 R 上单调增，不符条件 综合得：a2 故实数 a 的取值范围是（，2） 故答案为： （，2） 【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数 f（x）不是单调函数，是解答的关键 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 5 小题，共小题，共 62 分。解答应写出文字说明，证
26、明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23 （12 分）已知集合 Ax|2x5，Bx|m+1x2m1 （1）当 m5 时，求 AB， （RA）B； （2）若 ABA，求实数 m 的取值范围； （3）若 AB，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）当 m5 时，Bx|6x9，RAx|x2 或 x5，由此能求出结果 （2）ABA 时，BA，当 B时，m+12m1，当 B时，由此能求出实数 m 的取值范围； （3）AB时，当 B时，m+12m1，当 B时，或，由此能求出当 AB时，实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）集合 Ax|2x5，Bx|m+1x2m1 当 m5
27、时，Bx|6x9， ABx|2x5 或 6x9， RAx|x2 或 x5， （RA）Bx|5x9； （2）ABA，BA， 当 B时，m+12m1，解得 m2， 当 B时， 解得 2m3， 综上，实数 m 的取值范围是（，3； （3）AB时， 当 B时，m+12m1，解得 m2， 当 B时， 或， 解得 m或 m4 当 AB时，实数 m 的取值范围是2，4 【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 24 （12 分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价” ，计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 12m3的
28、部分 3 元/m3 超过 12m3但不超过 18m3的部分 6 元/m3 超过 18m3的部分 9 元/m3 （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系； （2）若某户居民某月交纳的水费为 54 元，则此月此户居民的用水量为多少？ 【分析】 （1）根据表中数据，依次写出分段函数，即可求解 （2）根据（1）的函数，分类讨论，即可求解 【解答】解： （1）解：设用水量为 xm3，水费为 y 元， 当 0 x12 时，y3x， 当 12x18 时，y123+（x12）66x36， 当 x18 时，y123+66+（x18）99x90， 故每月用水量和水费之间的函数关系为 y （2）由（1）可得，当 0
29、 x12 时，y3x36，不符合题意，舍去， 当 12x18 时，令 6x3654，解得 x15，符合题意， 当 x18 时，y9x1872，不符合题意，舍去， 综上所述，此月此户居民的用水量为 15m3 【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握分段函数是解本题的关键，属于基础题 25 （12 分）已知函数 f（x）x22mx （1）当 x0，1，求 f（x）的最小值 g（m） ； （2）当1t1 时，若不等式 f（t）2t+2 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的对称轴，分类讨论即可求出最小值； （2）方法一，分类讨论，再分离参数，根据函数的单调性即可求出； 方法二：构
30、造函数 h（t）t2（2m+2）t2，则满足，解得即可 【解答】解： （1）函数 f（x）x22mx 的对称轴为 xm， 当 m0 时，函数 f（x）在0，1上单调递增，则 g（m）f（x）minf（0）0， 当 0m1 时，g（m）f（x）minf（m）m2， 当 m1 时，函数 f（x）在0，1上单调递减，则 g（m）f（x）minf（1）12m， 综上所述，g（m）； （2）方法一：当1t1 时，若不等式 f（t）2t+2 恒成立， t22mt2t+2，在 t1，1上恒成立， 当 t0 时，此时 mR， 当 0t1 时，2mt2， 由于 yt2 在（0，1上为增函数， 2m1223， 即
31、 m， 当1t0 时，2mt2， 由于 yt2 在1，0）上为增函数， 2m1+221， 即 m， 综上所述 m 的取值范围为（，） 方法二：当1t1 时，若不等式 f（t）2t+2 恒成立， t22mt2t+2，在 t1，1上恒成立， 即 t2（2m+2）t20 在 t1，1上恒成立， 令 h（t）t2（2m+2）t2， h（t）maxmaxh（1） ，h（1）， h（1）2m+1，h（1）2m3， 若 2m+12m3，即 m1 时，h（1）h（1） ，此时 h（x）maxh（1）2m+1， 则 2m+10，解得 m，即1m 若 2m+12m3，即 m1 时，k（1）h（1） ，此时 h（x
32、）maxh（1）2m3， 则2m30，解得 m，即m1， 综上所述 m 的取值范围为（，） 【点评】本题考查二次函数闭区间的最值和单调性，分类讨论是解决问题的关键，属中档题 26 （13 分）已知函数是定义在 R 上的奇函数，且 （1）求函数 f（x）的解析式，以及零点； （2）判断函数 f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）判断函数 f（x）在区间（1，+）上的单调性； （只需写出结论） （4）在所给出的平面直角坐标系上，作出 f（x）在定义域 R 上的示意图 【分析】 （1）由 f（x）是定义在 R 上的奇函数，得 f（0）0，即 b0，又 f（），解得 a
33、1，则可得 f（x）的解析式和零点 （2）由函数的单调性定义，即可得出答案 （3）函数 f（x）的区间为（1，+）上单调递减， （4）由函数的性质，作出 f（x）的图象，即可得出答案 【解答】解： （1）因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数， 所以 f（0）0， 所以 b0， 又因为 f（），解得 a1， 所以 f（x） 当 x0 时，f（x）0， 当 x0 时，f（x）0， 所以 f（x）只有一个零点 0 （2）证明：设 0 x1x21， 则 f（x1）f（x2）， 因为 0 x1x21， 所以 x1x20，1x1x20， （x12+1） （x22+1）0， 所以 f（x1）f（x2）0，
34、 即 f（x1）f（x2） ， 所以 f（x）在（0，1）上为增函数 （3）函数 f（x）的区间为（1，+）上单调递减， f（x）的图象如下： 【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题 27 （13 分）已知集合 Dx|x2ax+a2190，集合 B1，2，3，集合 C0，1，2，且集合 D 满足 DB，DC （1）求实数 a 的值； （2）对集合 Aa1，a2，ak（k2，kN*） ，其中 aiZ（i1，2，k） ，定义由 A 中的元素构成两个相合：S（a，b）|aA，bA，a+bA，T（a，b）|aA，bA，abA，其中（a，b）是有序实数对，集合 S 和 T 中的元素个
35、数分别为 m 和 n，若对任意的 aA，总有aA，则称集合 A 具有性质 P 请检验集合 BC 与 BD 是否具有性质 P，并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和 T； 试判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论 【分析】 （1）由 DB，DC，可得 3D，从而可求得 a 的值，验证即可得结论； （2）由（1）求得 BC，BD，检验性质，即可得到结论； 分别证得 mn 和 nm，从而可得 mn 【解答】解： （1）已知集合 B1，2，3，集合 C0，1，2， 由 DB，DC，可得 3D， 即 x3 是方程 x2ax+a2190 的一个根， 即 323a+a2190，即 a23
36、a100，解得 a5 或 a2 当 a5 时，方程为 x25x+60，解得 x2 或 x3，此时 D2，3（不合题意，舍去） ； 当 a2 时，方程为 x2+2x150，解得 x5 或 x3，此时 D3，5符合题意 综上，a2 （2）由（1）可知 BC0，1，2，3，BD5，1，2，3， 易得集合 BC 不满足性质 P，集合 BD 满足性质 P， 则 S（1，1） ， （1，2） ， （2，1）， T（2，1） ， （3，1） ， （3，2） m 与 n 的大小关系为 mn 证明如下：对于（a，b）S，根据定义知 aA，bA，且 a+bA，从而（a+b，b）T， 如果（a，b）与（c，d）是
37、S 的不同元素， 那么 ac 与 bd 中至少有一个不成立， 从而 a+bc+d 与 bd 中也至少有一个不成立， 故（a+b，b）与（c+d，d）也是 T 的不同元素， 可见 S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数，即 mn 对于（a，b）T，根据定义知 aA，bA，且 abA，从而（ab，b）S， 如果（a，b）与（c，d）是 T 的不同元素， 那么 ac 与 bd 中至少有一个不成立， 从而 abcd 与 bd 中也至少有一个不成立，故（ab，b）与（cd，d）也是 S 的不同元素， 可见，T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数，即 nm 综上，mn 【点评】本题考查实数值、集合的求法，考查并集、交集、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题