1、2021-2022 学年北京市朝阳区三校联考高一上期中数学试卷学年北京市朝阳区三校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1已知集合 Ax|2x2，B2，1，0，1，2，则 AB（ ） A2，1，0 B2，1，0，1 C2，1，0，1，2 Dx|2x2 2下列函数是偶函数的是（ ） A Bf（x）log2x Cf（x）x2 Df（x）x3 3若 ab，c0，则下列不等式成立的是（ ） Aac2bc2 B Ca+cb+c Dabc 4设 a，bR，则“a|b|”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
2、C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知 a0.5，b0.50.6，clog0.60.5，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 6函数 f（x）x3x7 的零点所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 7已知函数 yf（x）可表示为（ ） x 0 x2 2x4 4x6 6x8 y 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） Af（f（4） ）3 Bf（x）的值域是1，2，3，4 Cf（x）的值域是1，4 Df（x）在区间4，8上单调递增 8已知函数 f（x）2xx1，则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A （1，1） B （，1）（1，+
3、） C （0，1） D （，0）（1，+） 9大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 3000 英里游回它们出生的地方产卵繁殖研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v（单位：m/s）可以表示为 v，其中 O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数则该鲑鱼游速为 2m/s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ） A8100 B900 C81 D9 10已知函数，f2（x）2x+1，g1（x）logax（a1） ，g2（x）kx（k0） ，则下列结论正确的是（ ） A函数 f1（x）和 f2（x）的图象有且只有一个公共点 Bx0R，当 xx0时，恒有 g1（x）g2（x） C当 a2 时，x0（0，+） ，f1（x0）g1（x0
4、） D当时，方程 g1（x）g2（x）有解 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分） 分） 11函数的定义域是 12已知 x0，y0，且 x+y2，则 xy 的最大值为 13 14 已知奇函数 f （x） 的定义域为1， 1， 当 x （0， 1时， f （x） 2x， 则当 x1， 0） 时， f （x） ；函数 f（x）在定义域内的值域为 15方程 x+2x2 的根为 a，方程 x+log2x2 的根为 b，则 a+b 16已知函数，如果函数 f（x）满足对任意 x1（，a） ，都存在 x2（a，+） ，使得 f（x2）f（x
5、1） ，称实数 a 为函数 f（x）的包容数 在；1；中，函数 f（x）的包容数是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17 （13 分）已知全集 UR，集合 Ax|x22x30，Bx|0 x13 （）求 AB； （）设非空集合 Dx|ax2a+3，aR，若 DUA，求实数 a 的取值范围 18 （13 分）已知函数 f（x）ax2+（a2）x2 （）若 f（x）0 的解集x|x1 或 x2，求 a 的值 （）分类讨论不等式 f（x）0 的解集 19 （13 分）已知函数 f（x）a
6、2x+b 的图象过原点，且 f（1）1 （）求实数 a，b 的值； （）判断并用定义证明函数在区间（0，+）上的单调性 20 （13 分）2020 年 11 月 5 日至 10 日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品 在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本 150 万元，每生产一台需另投入 380 元设该企业一年内生产该产品 x 万台且全部售完，每万台的销售收入为 R（x）万元，
7、且 R（x） （1）写出年利润 S（万元）关于年产量 x（万台）的函数解析式； （利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润 21 （14 分）已知函数 yf（x）的定义域为 R，且满足 （1）f（1）3； （2）对于任意的 u，vR，总有 f（u+v）f（u）+f（v）1； （3）对于任意的 u，vR，uv0， （uv）f（u）f（v）0 （）求 f（0）及 f（1）的值； （）求证：函数 yf（x）1 为奇函数； （）若，求实数 m 的取值范围 22 （14 分）定义：给定整数 i，如果非空集合 A 满足如下 3 个条件： AN*； A1； x，y
8、N*，若 x+yA，则 xyiA 则称集合 A 为“减 i 集” （）P1，2是否为“减 0 集”？是否为“减 1 集”？ （）证明：不存在“减 2 集” ； （）是否存在“减 1 集”？如果存在，求出所有的“减 1 集” ；如果不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1已知集合 Ax|2x2，B2，1，0，1，2，则 AB（ ） A2，1，0 B2，1，0，1 C2，1，0，1，2 Dx|2x2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x2，B2，1，0，1，2， AB2，1，0，1
9、 故选：B 【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题 2下列函数是偶函数的是（ ） A Bf（x）log2x Cf（x）x2 Df（x）x3 【分析】利用基本初等函数的性质以及偶函数的定义分析判断即可 【解答】解：函数的定义域为0，+） ，不关于原点对称，所以 f（x）为非奇非偶函数，故选项 A 错误； 函数 f（x）log2x 的定义域为（0，+） ，不关于原点对称，所以 f（x）为非奇非偶函数，故选项 B 错误； 函数 f（x）x2定义域为 R，且 f（x）f（x） ，所以函数 f（x）为偶函数，故选项 C 正确； 函数 f（x）x3定义域为 R，且
10、 f（x）f（x） ，所以函数 f（x）为奇函数，故选项 D 错误 故选：C 【点评】本题考查了偶函数定义的理解与应用，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题 3若 ab，c0，则下列不等式成立的是（ ） Aac2bc2 B Ca+cb+c Dabc 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误 【解答】解：ab，c0， ac2bc2，与大小关系不确定，a+cb+c，a 与 bc 的大小关系不确定 则下列不等式成立的是 A 故选：A 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4设 a，bR，则“a|b|”是“ab”的（ ） A充分不必要
11、条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由“a|b|”可得“ab“，反之不成立即可判断出关系 【解答】解： “a|b|”“ab“，反之不成立 “a|b|”是“ab“的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5已知 a0.5，b0.50.6，clog0.60.5，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 【分析】根据指数函数的单调性可得 a、b、1 的大小，利用对数函数的单调性可得 c 与 1 的大小，从而可得结论 【解答】解：根据 y0.5x在 R 上单调递减得 0.50.510
12、.50.60.501， 根据 ylog0.6x 在（0，+）上单调递减得 log0.60.5log0.60.61， 所以 abc 故选：A 【点评】本题主要考查了指数式、对数式的大小，以及指数函数、对数函数的性质，同时考查了学生分析问题的能力，属于基础题 6函数 f（x）x3x7 的零点所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可 【解答】解：函数 f（x）x3x7 是连续函数， f（2）81710， f（3）2727180， f（2）f（3）0， 由零点判定定理可知函数的零点在（2，3） 故选：C 【
13、点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题 7已知函数 yf（x）可表示为（ ） x 0 x2 2x4 4x6 6x8 y 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） Af（f（4） ）3 Bf（x）的值域是1，2，3，4 Cf（x）的值域是1，4 Df（x）在区间4，8上单调递增 【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可 【解答】解：由题意知 f（4）3，得 f（f（4） ）f（3）2，故 A 错误， 函数的值域为1，2，3，4，故 B 正确，C 错误， f（x）在定义域上不单调，故 D 错误， 故选：B 【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域
14、和值域的关系是解决本题的关键，是基础题 8已知函数 f（x）2xx1，则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A （1，1） B （，1）（1，+） C （0，1） D （，0）（1，+） 【分析】不等式即 2xx+1由于函数 y2x和直线 yx+1 的图象都经过点（0，1） 、 （1，2） ，数形结合可得结论 【解答】解：不等式 f（x）0，即 2xx+1 由于函数 y2x和直线 yx+1 的图象都经过点（0，1） 、 （1，2） ，如图所示： 不等式 f（x）0 的解集是（，0）（1，+） ， 故选：D 【点评】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题 9大西洋鲑鱼每年都要
15、逆流而上 3000 英里游回它们出生的地方产卵繁殖研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v（单位：m/s）可以表示为 v，其中 O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数则该鲑鱼游速为 2m/s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ） A8100 B900 C81 D9 【分析】由题意令 V2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比 【解答】解：鲑鱼游速为 2m/s 时的耗氧量为：令 v2，即， 即，即 o8100， 鲑鱼静止时耗氧量为：令 v0，即，即 o100， 故鲑鱼游速为 2m/s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为， 故选：C 【点评】本题考查对数求值，属于中档题 10已知函数，f2（x）2x+1，g1
16、（x）logax（a1） ，g2（x）kx（k0） ，则下列结论正确的是（ ） A函数 f1（x）和 f2（x）的图象有且只有一个公共点 Bx0R，当 xx0时，恒有 g1（x）g2（x） C当 a2 时，x0（0，+） ，f1（x0）g1（x0） D当时，方程 g1（x）g2（x）有解 【分析】根据函数的单调性，以及函数零点的存在性定理进行逐一判定即可 【解答】解：选项 A：，f2（x）2x+1， f1（0）1，f2（0）1，f1（2）4f2（2）5，f1（3）8f2（3）7， 则函数 f1（x）和 f2（x）的图象有一个交点（0，1） ，还有一个交点横坐标在（2，3）上，故选项 A 不正确
17、； 选项 B：当 a2，k1 时，g1（x）log2xg2（x）x 恒成立， 故不x0R，当 xx0时，恒有 g1（x）g2（x） ，故选项 B 不正确； 选项 C：当 a2 时，f1（x）与 g1（x）的图象关于 yx 对称，f1（x）的图象恒在直线 yx 上方， g1（x）的图象恒在直线 yx 下方，故不存在 x0（0，+） ，f1（x0）g1（x0） ，故选项 C 不正确； 选项 D：时，g2（x）x， 故 g1（x）logax（a1）和 g2（x）kx（k0）均过点（a，1） ， 所以方程 g1（x）g2（x）有解，故选项 D 正确 故选：D 【点评】本题主要考查了命题真假的判断的应用
18、，以及函数零点的存在性定理，同时考查了学生分析问题的能力 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分） 分） 11函数的定义域是 （0，1）（1，+） 【分析】根据求使得函数 f（x）表达式有意义的 x 的取值集合即可解决此题 【解答】解：要使得函数有意义， 则 x0 且 x10，解得：x（0，1）（1，+） 故答案为： （0，1）（1，+） 【点评】本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题 12已知 x0，y0，且 x+y2，则 xy 的最大值为 1 【分析】根据基本不等式可知，xy（）2，进而根据 x+y 的值求得 x
19、y 的最大值 【解答】解：因为 x0，y0，且 x+y2， 所以由基本不等式可得，xy（）21， 当且仅当 xy1 时，等号成立， 故 xy 最大值为 1 故答案为：1 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了考生综合运用基础知识的能力，属于基础题 13 5 【分析】利用对数的运算性质求解 【解答】解：原式+lg（）+3+lg10+3+35 故答案为：5 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题 14已知奇函数 f（x）的定义域为1，1，当 x（0，1时，f（x）2x，则当 x1，0）时，f（x） 2x ；函数 f（x）在定义域内的值域为 2，1）0（1，2 【分析】利用
20、奇函数的定义以及已知的解析式，求出当 x1，0）时，f（x）的解析式，从而求出函数f（x）在定义域内的解析式，分 x（0，1，x0，x1，0）三种情况，结合函数的单调性求解函数的值域，即可得到答案 【解答】解：函数 f（x）为奇函数，且定义域为1，1， 则 f（0）0， 因为当 x（0，1时，f（x）2x， 则当 x1，0）时，x（0，1， 所以 f（x）2xf（x） ， 故 f（x）2x， 所以， 当 x（0，1时，f（x）2x为单调递增函数， 所以 f（x）（1，2； 当 x0 时，f（x）0； 当 x1，0）时，f（x）2x为单调递增函数， 所以 f（x）2，1） 综上所述，f（x）在定
21、义域内的值域为2，1）0（1，2 故答案为：2x；2，1）0（1，2 【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数值域的求解，函数奇偶性与单调性的运用，分段函数的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题 15方程 x+2x2 的根为 a，方程 x+log2x2 的根为 b，则 a+b 2 【分析】 由 x+2x2， 得 2x2x， 由 x+log2x2， 得 log2x2x， 在同一平面直角坐标系中画出 y2x，ylog2x 和 y2x 的图像，由反函数的图像关系即可求出 a+b 的值 【解答】解：由 x+2x2，得 2x2x， 由 x+log2x2，得 log2x2x， 在同一平面直角
22、坐标系中画出 y2x，ylog2x 和 y2x 的图像，如图所示， 设直线 yx 与 y2x 的交点为 A， 联立方程，解得 A（1，1） ， a 为点 B 的横坐标，b 为点 C 的横坐标，而点 A 为点 B，C 的中点， a+b2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了函数的零点由方程根的关系，考查了反函数的函数图像关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题 16已知函数，如果函数 f（x）满足对任意 x1（，a） ，都存在 x2（a，+） ，使得 f（x2）f（x1） ，称实数 a 为函数 f（x）的包容数 在；1；中，函数 f（x）的包容数是 ，1， 【分析】由题意知f（x）|xaf
23、（x）|xa，然后分别求出集合，构造出关于 a 的不等式，解出即可 【解答】解：由题意可知：a 应满足f（x）|xaf（x）|xa， 当 xa 时，f（x）2x1单调递增，故 0f（x）2a1； 当 xa 时，f（x）x2+2a， 若 a0，则 f（x）单调递减，则 f（x）f（a）a2+2a； 当 a0 时，f（x）在（a，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，故 f（x）f（0）2a， 由题意，只需 2a1a2+2a， 当 a0 时，此时，1，满足，a不满足； 当 a0 时，不满足， 故 f（x）的包容数为： 故答案为： 【点评】本题考查分段函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题
24、三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17 （13 分）已知全集 UR，集合 Ax|x22x30，Bx|0 x13 （）求 AB； （）设非空集合 Dx|ax2a+3，aR，若 DUA，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）先利用一元二次不等式的解法求出集合 A，再由集合并集的定义求解即可； （）利用补集的定义先求出UA，然后由子集的定义求解即可 【解答】解： （）集合 Ax|x22x30 x|1x3，Bx|0 x13x|1x4， 所以 ABx|1x4； （）由（）可知，UAx|x1
25、或 x3， 因为非空集合 Dx|ax2a+3，aR，且 DUA， 则 2a+31 或 a3 且 2a+3a， 解得3a2 或 a3， 故实数 a 的取值范围为（3，23，+） 【点评】本题考查了集合的运算，集合并集、补集、子集定义的理解与应用，一元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题 18 （13 分）已知函数 f（x）ax2+（a2）x2 （）若 f（x）0 的解集x|x1 或 x2，求 a 的值 （）分类讨论不等式 f（x）0 的解集 【分析】 （）根据不等式的解集可得 f（x）0 的两个根即可 （）分类讨论 a 的值，再结合一元二次不等式的解法求解即可 【解答】
26、解： （）f（x）0 的解集x|x1 或 x2， f（x）0 的两根为1 和 2， 4a+2（a2）20，a1 （）f（x）0（ax2） （x+1）0， 当 a0 时，则2（x+1）0，x1， 当 a0 时，则1，x或 x1， 当 a0 时，若1，即 a2 时，x1， 若1，即 a2 时，1x， 若1，即2a0 时，x1， 综上，当 a0 时，不等式的解集为x|x1， 当 a0 时，不等式的解集为x|x或 x1， 当 a2 时，不等式的解集为x|x1， 当2a0 时，不等式的解集为x|x1， 当 a2 时，不等式的解集为x|1x 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及含有字母系数的一
27、元二次不等式的解法，属于中档题 19 （13 分）已知函数 f（x）a2x+b 的图象过原点，且 f（1）1 （）求实数 a，b 的值； （）判断并用定义证明函数在区间（0，+）上的单调性 【分析】 （）利用 f（0）0，f（1）1，建立关于 a，b 的方程组，求解即可； （）利用函数单调性的定义判断并证明即可 【解答】解： （）因为函数 f（x）a2x+b 的图象过原点，且 f（1）1， 则，解得 a1，b1； （）由（）可得，f（x）2x1， 则 g（x）， 函数在区间（0，+）上单调递减 证明如下： 设 0 x1x2， 则， 因为 0 x1x2， 所以， 故 g（x1）g（x2） ， 所
28、以函数在区间（0，+）上单调递减 【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数单调性的证明，解题的关键是掌握利用函数单调性定义证明的一般步骤，考查了逻辑推理能力，属于基础题 20 （13 分）2020 年 11 月 5 日至 10 日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品 在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本 150 万元，每生产一台需另投入 380 元设该企业一年内生产该产品 x
29、万台且全部售完，每万台的销售收入为 R（x）万元，且 R（x） （1）写出年利润 S（万元）关于年产量 x（万台）的函数解析式； （利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润 【分析】 （1） 分 0 x20 和 x20 两种情况， 由利润销售收入成本， 知 SxR （x） （380 x+150） ，再代入 R（x）的解析式，进行化简整理即可； （2）当 0 x20 时，利用配方法求出 S 的最大值，当 x20 时，利用基本不等式求出 S 的最大值，比较两个最大值后，取较大者，即可 【解答】解： （1）当 0 x20 时，SxR （x）（380 x+1
30、50） 500 x2x2380 x1502x2+120 x150， 当 x20 时，SxR （x）（380 x+150） 370 x+2140380 x15010 x+1990， 函数 S 的解析式为 S （2）当 0 x20 时，S2x2+120 x1502（x30）2+1650， 函数 S 在（0，20上单调递增， 当 x20 时，S 取得最大值，为 1450， 当 x20 时，S10 x+1990（10 x+）+1990 2+1990500+19901490， 当且仅当 10 x，即 x25 时，等号成立，此时 S 取得最大值，为 1490， 14901450， 当年产量为 25 万台时
31、，该企业获得的利润最大，最大利润为 1490 万元 【点评】本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 21 （14 分）已知函数 yf（x）的定义域为 R，且满足 （1）f（1）3； （2）对于任意的 u，vR，总有 f（u+v）f（u）+f（v）1； （3）对于任意的 u，vR，uv0， （uv）f（u）f（v）0 （）求 f（0）及 f（1）的值； （）求证：函数 yf（x）1 为奇函数； （）若，求实数 m 的取值范围 【分析】 （I）令 uv0，可得 f（0） ；令 u1，v1
32、，可得 f（1） ； （II）可令 ux，vx，可得 f（x）+f（x）2，由奇偶性的定义即可得证； （III）由条件可得 f（x）在 R 上递增，运用条件可得 f（m2+12m）0，再令 uv，结合条件和单调性、二次不等式的解法，即可得到所求解集 【解答】解： （I）令 uv0，可得 f（0）f（0）+f（0）1， 解得 f（0）1； 令 u1，v1，可得 f（0）f（1）+f（1）1， 可得 f（1）2f（1）231； （II）证明：令 ux，vx，即有 f（0）f（x）+f（x）1， 即 f（x）+f（x）2， 即有 f（x）1f（x）1， 可得函数 yf（x）1 为奇函数； （III）
33、由对于任意的 u，vR，uv0， （uv）f（u）f（v）0， 可得 f（x）在 R 上递增， f（m2）f（2m1）+12 f（m2）+2f（2m1）10f（m2）+f（12m）10 f（m2+12m）0， 由于 f（1）f（）+f（）11，即 f（）0， 即有 f（m2+12m）f（） ， 由 f（x）在 R 上递增，可得m2+12m， 解得 m3 或 m1， 即 m 的范围是（，1）（3，+） 【点评】 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用， 考查定义法和转化思想， 化简整理的运算能力，属于中档题 22 （14 分）定义：给定整数 i，如果非空集合 A 满足如下 3 个条件： AN*
34、； A1； x，yN*，若 x+yA，则 xyiA 则称集合 A 为“减 i 集” （）P1，2是否为“减 0 集”？是否为“减 1 集”？ （）证明：不存在“减 2 集” ； （）是否存在“减 1 集”？如果存在，求出所有的“减 1 集” ；如果不存在，请说明理由 【分析】 （）PN*，P1，1+12P，110P，即可得出 P 是“减 0 集” ，同理可得 P 不是“减1 集” （）假设存在 A 是“减 2 集” ，则若 x+yA，那么 xy2A，当 x+yxy2 时，有（x1） （y1）3，对 x，y 分类讨论即可得出矛盾当 x+yxy2 时，则 x+yxy1 或者 x+yxym（m2）
35、，同样得出矛盾 （） 存在 “减 1 集” A A1 假设 1A， 则 A 中除了元素 1 以外， 必然还含有其它元素 假设 2A，1+1A，而 111A，因此 2A假设 3A，1+2A，而 121A，因此 3A因此可以有 A1，3 假设 4A， 1+3A， 而 131A， 因此 4A 假设 5A， 1+4A， 141A， 2+35， 231A，因此 5A因此可以有 A1，3，5以此类推可得所有的 A 【解答】解： （）PN*，P1，1+12P，110P，P 是“减 0 集” 同理，PN*，P1，1+12P，111P，P 不是“减 1 集” （）假设存在 A 是“减 2 集” ，则若 x+yA
36、， 那么 xy2A，当 x+yxy2 时，有（x1） （y1）3， 则 x，y 一个为 2，一个为 4，所以集合 A 中有元素 6， 但是 3+3A，332A，与 A 是“减 2 集” ，矛盾； 当 x+yxy2 时，则 x+yxy1 或者 x+yxym（m2） ， 若 x+yxy1，m1 时 M 为除 1 以外的最小元素，则 xM1，y1 时，xy2M3 小于 M， 如果要符合题意必须 M4，此时取 x2，y2，xy22 不属于 A，故不符合题意 m2 时， （x1） （y1）m+1，同样得出矛盾 综上可得：不存在 A 是“减 2 集” （）存在“减 1 集”AA1 假设 1A，则 A 中除了元素 1 以外，必然还含有其它元素 假设 2A，1+1A，而 111A，因此 2A 假设 3A，1+2A，而 121A，因此 3A 因此可以有 A1，3 假设 4A，1+3A，而 131A，因此 4A 假设 5A，1+4A，141A，2+35，231A，因此 5A 因此可以有 A1，3，5 以此类推可得：A1，3，5，2n1， （nN*） ， 以及 A 的满足以下条件的非空子集：1，3，1，3，5，1，3，5，7， 【点评】本题考查了新定义、元素与集合之间的关系、逻辑推理，考查了推理能力与计算能力，属于难题