1、2021-2022 学年北京市海淀区十五校联考高一上期中数学试卷学年北京市海淀区十五校联考高一上期中数学试卷 一、选择题一、选择题 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 1下列错误的是（ ） A0N B01，1 C0 D00 2下图中不可作为函数 yf（x）的图像的是（ ） A B C D 3函数 f（x）x2+1 的定义域为 x1，2，则函数 f（x）的值域为（ ） A1，2 B1，2 C1，5 D1，5 4若 a2，则的最小值是（ ） A0 B2 C1 D 5已知函数 f，则 ff（1）（ ） A3 B3 C5 D5 6已知函数，下列属于函数单调递减区间的是（ ）
2、A （1，2 B10，4） C （4，0） D （0，4） 7已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 f（x） 6.1 2.9 3.5 那么函数 f（x）一定存在零点的区间是（ ） A （，1） B （1，2） C （2，3） D （3，+） 8下列命题正确的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，cd，则 acbd C若 ac2bc2，则 ab D若 ab，cd，则 acbd 9 “不等式的解集”是“x2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 10若偶函数 f（x）在（，0上是增函数
3、，则（ ） Af（）f（1）f（2） Bf（1）f（）f（2） Cf（2）f（1）f（） Df（2）f（）f（1） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分. 11命题“xR，x2x+10”的否定是 ，它是 （真或假）命题 12函数 f（x）和 g（x）由表给出，则 fg（2） x 1 2 3 4 f（x） 2 4 3 1 g（x） 3 1 2 4 13求函数 f（x）的定义域为 14设函数 f（x）x22kx+1，若对于 xR，f（x）0 恒成立，则实数 k 的取值范围是 15函数 f（x）x2+4ax+2 在（，6）内递减，则 a 的取值范围是
4、三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 40 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16 （10 分）Ax|3x+2|1，B，Ux|x2求： （1）求 AB； （2）AB； （3）UA 17 （10 分）判断并证明函数在1，+）上的单调性 18 （10 分）围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口， 已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x（单位：m） ，修建此矩形场地围
5、墙的总费用为 y（单位：元） （）将 y 表示为 x 的函数； （）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 19 （10 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）x2+2x现已画出函数 f（x）在 y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象完成下列各小题 （1）补全函数图象 （2）写出函数 f（x） （xR）的解析式 （3）若函数 g（x）f（x）2ax+2（x1，2） ，求函数 g（x）的最小值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题一、选择题 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 1下列错误的是（ ） A0N B01
6、，1 C0 D00 【分析】由集合的定义及空集的定义知，选项 C 错误 【解答】解：0N，01，1，00正确，0错误， 故选：C 【点评】本题考查了集合的定义及空集的定义，属于基础题 2下图中不可作为函数 yf（x）的图像的是（ ） A B C D 【分析】利用函数的定义判断函数的图像即可 【解答】解：选项 A，C，D 的图像都满足函数的定义的要求，是函数的图像， 只有 B 的图象，不是函数的图像， 故选：B 【点评】本题考查函数的定义的应用，函数的图像与函数的关系，是基础题 3函数 f（x）x2+1 的定义域为 x1，2，则函数 f（x）的值域为（ ） A1，2 B1，2 C1，5 D1，5
7、 【分析】利用二次函数的性质求解即可 【解答】解：f（x）x2+1 的定义域为 x1，2， 又 f（x）x2+11，5， 则函数 f（x）的值域为1，5 故选：C 【点评】本题考查了函数值域的求解，主要考查了二次函数性质的运用，属于基础题 4若 a2，则的最小值是（ ） A0 B2 C1 D 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解 【解答】解：由 a2 得 a+20， 则a+2+220， 当且仅当 a+2，即 a1 时取等号，此时的最小值是 0 故选：A 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题 5已知函数 f，则 ff（1）（ ） A3 B3 C5 D5 【分析】推导出 f
8、（1）1+23，从而 ff（1）f（3） ，由此能求出结果 【解答】解：函数 f， f（1）1+23， ff（1）f（3）3+25 故选：C 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6已知函数，下列属于函数单调递减区间的是（ ） A （1，2 B10，4） C （4，0） D （0，4） 【分析】求出 f（x） ，然后利用导数的正负与函数单调性的关系，求出函数的单调递减区间，判断选项即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0， 则 f（x）， 令 f（x）0，解得2x0 或 0 x2， 所以函数 f（x）的单调递减区间为（2，0）和（0，2） ， 对照选
9、项，则（1，2（0，2） ，故选项 A 正确 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性的应用，解题的关键是掌握导数的正负与函数单调性的关系，求解函数单调区间的时候要先求出函数的定义域，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题 7已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 f（x） 6.1 2.9 3.5 那么函数 f（x）一定存在零点的区间是（ ） A （，1） B （1，2） C （2，3） D （3，+） 【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数
10、在该区间有零点 【解答】解：由于 f（2）0，f（3）0， 根据函数零点的存在定理可知故函数 f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断 故选：C 【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号 8下列命题正确的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，cd，则 acbd C若 ac2bc2，则 ab D若 ab，cd，则 acbd 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可 【解答】解：对于 A，当 c0 时，ac2bc2，故 A 错误； 对于 B，取 a2，b1，c3，d2，则 acbd，故 B 错误； 对于 C，
11、若 ac2bc2，则 ab，故 C 正确； 对于 D，取 a2，b1，c3，d2，则acbd，故 D 错误 故选：C 【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题 9 “不等式的解集”是“x2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】解出不等式，即可进行判断 【解答】解：不等式等价于（2x+1） （x1）0，解得 x1 或 x， 故“不等式的解集”是“x2”的既不充分又不必要条件， 故选：D 【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查分式不等式的求解，属于基础题 10若偶函数 f（x）在（，0上是增函数，则（ ） Af（）f（1）f（2）
12、 Bf（1）f（）f（2） Cf（2）f（1）f（） Df（2）f（）f（1） 【分析】根据题意，由函数为偶函数分析可得 f（2）f（2） ，结合函数的单调性分析可得 f（2）f（）f（1） ，综合分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）为偶函数，则 f（2）f（2） ， 又由 f（x）在（，0上是增函数，且21，则有 f（2）f（）f（1） ， 即有 f（2）f（）f（1） ， 故选：D 【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在0，+）上的单调性 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分. 11命题“xR，x2x+10
13、”的否定是 xR，x2x+10 ，它是 假 （真或假）命题 【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可 【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题“xR，x2x+10”的否定是：xR，x2x+10，它是假命题 故答案为：xR，x2x+10，假 【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题 12函数 f（x）和 g（x）由表给出，则 fg（2） 2 x 1 2 3 4 f（x） 2 4 3 1 g（x） 3 1 2 4 【分析】推导出 g（2）1，从而 fg（2）f（1） ，由此能
14、求出结果 【解答】解：由题意得 g（2）1， fg（2）f（1）2 故答案为：2 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 13求函数 f（x）的定义域为 x|x1 或 x1 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 求解 x 的范围得答案 【解答】解：要使原函数有意义，则（x+1） （x1）0， 解得 x1 或 x1 函数 f（x）的定义域为x|x1 或 x1 故答案为：x|x1 或 x1 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题 14设函数 f（x）x22kx+1，若对于 xR，f（x）0 恒成立，则实数 k 的取值范围
15、是 1，1 【分析】利用二次函数的图象与性质，列出不等式，求解即可 【解答】解：函数 f（x）x22kx+1， 因为对于 xR，f（x）0 恒成立， 则（2k）24110，解得1k1， 所以实数 k 的取值范围为1，1 故答案为：1，1 【点评】本题考查了不等式恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于基础题 15函数 f（x）x2+4ax+2 在（，6）内递减，则 a 的取值范围是 a|a3 【分析】抛物线 f（x）x2+4ax+2 开口向上，对称轴为 x2a，结合开口方向和单调性进行求解 【解答】解：f（x）x2+4
16、ax+2 开口向上，对称轴为 x2a， 由数 f（x）x2+4ax+2 在（，6）内递减，知2a6， 解得 a3 故答案为：a|a3 【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 40 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16 （10 分）Ax|3x+2|1，B，Ux|x2求： （1）求 AB； （2）AB； （3）UA 【分析】 （1）化简集合 A，根据交集的定义写出 AB； （2）根据并集的定义计算 AB； （3）根据补集的定义计算UA 【解答】解： （1）因为 Ax|3x+
17、2|1x|13x+21x|1x， B，所以 ABx|x； （2）ABx|1x； （3）因为 Ux|x2，所以UAx|2x1 或 x 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题 17 （10 分）判断并证明函数在1，+）上的单调性 【分析】利用定义法来证明单调性即可 【解答】解：函数 y在1，+）上单调递增 证明：任取 x1，x2且 1x1x2， ， x2x10，x1x20， f（x1）f（x2）0 即 f（x1）f（x2） ， 故函数 f（x）在1，+）上单调递增 【点评】本题主要考查了利用定义法证明函数的增减性，属于基础题 18 （10 分）围建一个面积为 360
18、m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口， 已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x（单位：m） ，修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元） （）将 y 表示为 x 的函数； （）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 【分析】 （I）设矩形的另一边长为 am，则根据围建的矩形场地的面积为 360m2，易得 ，此时再根据旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，我们即可得到修建围墙的总费用 y 表示成
19、x 的函数的解析式； （II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的 x 值 【解答】解： （）设矩形的另一边长为 am， 则 y45x+180（x2）+1802a225x+360a360 由已知 ax360，得 ， 所以 （II）因为 x0，所以 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立 即当 x24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元 【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量 x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转
20、化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一 19 （10 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）x2+2x现已画出函数 f（x）在 y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象完成下列各小题 （1）补全函数图象 （2）写出函数 f（x） （xR）的解析式 （3）若函数 g（x）f（x）2ax+2（x1，2） ，求函数 g（x）的最小值 【分析】 （1）根据偶函数的图象关于 y 轴对称，可作出 f（x）的图象即可； （2）令 x0，则x0，利用偶函数的定义，可得 f（x）f（x）x22x，从而可得函数 f（x）的解析式； （3）先求出抛物线对称轴 xa+1
21、，然后分当 a+11 时，当 1a+12 时，当 a+12 时三种情况，根据二次函数的增减性解答 【解答】解： （1）如图，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出 f（x）的图象； （2）令 x0，则x0， f（x）x22x， 函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数， f（x）f（x）x22x， 解析式为 （3） 因为 g（x）f（x）2ax+2（x1，2） ， 所以 g（x）x22x2ax+2x22（a+1）x+2，对称轴为 xa+1，开口朝上， 当 a+11 时，即 a0 时，g（x）ming（1）12a； 当 1a+12 时，即 0a1，g（x）ming（1+a）a2+12a； 当 a+12 时，即 a1 时，g（x）ming（2）24a； g（x）min 【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性及分类讨论思想，属于中档题