1、2021-2022 学年北京市西城区七校联考高一上期中数学试卷学年北京市西城区七校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1已知集合 A1，0，1，B2，1，则 AB（ ） A1 B1 C1，2 D1，2，3，4 2已知 a，b，c，d 均是实数，则“a+cb+d”是“ab 且 cd”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知命题 p：x0（1，3） ，x024x00，则p 是（ ） Ax（1，3） ，x24x0 Bx（1，3） ，x24x0 Cx（1，3） ，x24x
2、0 Dx（1，3） ，x24x0 4不等式0 的解集为（ ） Ax|4x2 Bx|2x4 Cx|x4 或 x2 Dx|x2 或 x4 5函数 y的单调减区间为（ ） A （，0）（0，+） BR C0，+） D （，0） ， （0，+） 6 已知 yf （x） 是定义在 R 上的偶函数， 当 x0 时， yf （x） 的图象如图所示， 则下列关系正确的是 （ ） Af（1）f（2）f（3） Bf（3）f（1）f（2） Cf（1）f（3）f（2） Df（2）f（1）f（3） 7在用二分法求方程 x32x10 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（
3、） A （1.8，2） B （，2） C （1，） D （1，1.2） 8已知函数 f（x）的定义域是 R，若对于任意两个不相等的实数 x1，x2，总有0 成立，则函数 f（x）一定是（ ） A奇函数 B偶函数 C增函数 D减函数 9已知 m，n 是方程 2x2x20 的两个实数根，则的值为（ ） A1 B C D1 10在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线 yf（x） ，一种是平均价格曲线 yg（x）（如 f（2）3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元；g（2）4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元） 下面所给出的四个图象中，实线表示 yf
4、（x） ，虚线表示 yg（x） ，其中可能正确的是（ ） A B C D 11函数 f（x）x22x+2 的零点个数是（ ） A0 B1 C2 D3 12已知关于 x 的函数|x|的定义域是a，b（a，b 为整数） ，值域是0，1，则满足条件的整数数对（a，b）的个数为（ ） A5 B4 C3 D2 二、填空题（共二、填空题（共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 45 分）分） 13函数 f（x）的定义域为 14设函数，则 f（f（1） ）的值为 15已知函数 f（x）在 R 上单调递增，若 f（2）2，则满足 f（x2）2 的实数 x 的取值范围是 16已知 x（1，+）
5、，则函数 yx+，当 x 等于 时，函数有最小值为 17函数 yx2+2x+1 的值域为 18若方程 2ax2x10 在（0，1）内恰有一个根，则实数 a 的取值范围是 19若关于 x 的不等式 tx22tx+40 的解集为 R，则实数 t 的取值范围是 20能够说明“若 f（x）f（x+1）对任意的 xR 都成立，则函数 f（x）在（，+）是增函数”为假命题的一个函数是 21用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（kN*） 已知一个铁钉受击 3 次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这
6、件事实中提炼出一个不等式组是 三、解答题（本小题共三、解答题（本小题共 3 小题，满分小题，满分 45 分）分） 22 （15 分）已知函数 f（x）的定义域为集合 A，集合 Bx|x1|a （）求集合 A； （）若全集 UR，a2，求 AUB； （）若 BA，求 a 的取值范围 23 （15 分）已知函数 f（x）x （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）证明：函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （3）求函数 f（x）x，x4，1的值域 24 （15 分）已知函数 f（x）x2+（2+a）x+b，其中 a，bR （1）当 a1，b4 时，求函数 f（x）的零点； （2）当 b2a
7、时，解关于 x 的不等式 f（x）0； （3）如果函数 f（x）的图象恒在直线 y2x+2 的上方，证明：b2 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1已知集合 A1，0，1，B2，1，则 AB（ ） A1 B1 C1，2 D1，2，3，4 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 A1，0，1，B2，1， AB1 故选：A 【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2已知 a，b，c，d 均是实数，则“a+cb+d”是“ab 且 cd”的（ ） A充分不必要条件 B
8、必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 【解答】解：令 p： “a+cb+d” ，q： “ab 且 cd” 由于 a+cb+d 推不出 ab 且 cd，则 pq 为假命题； 由于 ab 且 cd，根据不等式同向可加性得到 a+cb+d，则 qp 为真命题 故选：B 【点评】判断充要条件的方法是： 若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 若 pq 为真命题且 qp 为真命题
9、，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的既不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题q 的关系 3已知命题 p：x0（1，3） ，x024x00，则p 是（ ） Ax（1，3） ，x24x0 Bx（1，3） ，x24x0 Cx（1，3） ，x24x0 Dx（1，3） ，x24x0 【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可 【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题 p：x0（1，3） ，x
10、024x00， 则p 是：x（1，3） ，x24x0 故选：C 【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题 4不等式0 的解集为（ ） Ax|4x2 Bx|2x4 Cx|x4 或 x2 Dx|x2 或 x4 【分析】把原不等式转化为二次不等式即可直接求解 【解答】解：原不等式可转化为（x2） （x+4）0， 解得，4x2， 所以原不等式的解集（4，2） 故选：A 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题 5函数 y的单调减区间为（ ） A （，0）（0，+） BR C0，+） D （，0） ， （0，+） 【分析】求出定义域，运用
11、反比例函数的单调性即可判断 【解答】解：函数 y的定义域为（，0）（0，+） ， 由反比例函数的性质可得， f（x）在（，0）上递减，在（0，+）上递减 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性和单调区间，考查常见函数的单调性，属于基础题 6 已知 yf （x） 是定义在 R 上的偶函数， 当 x0 时， yf （x） 的图象如图所示， 则下列关系正确的是 （ ） Af（1）f（2）f（3） Bf（3）f（1）f（2） Cf（1）f（3）f（2） Df（2）f（1）f（3） 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得 f（2）f（2） ，由函数的图象分析函数的单调性，可得 f（1）f（2）f（3） ，
12、综合可得答案 【解答】解：根据题意，yf（x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（2）f（2） ， 又由函数图象可得：f（x）在（0，+）上为减函数，即有 f（1）f（2）f（3） ， 则有 f（1）f（2）f（3） ， 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题 7在用二分法求方程 x32x10 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ） A （1.8，2） B （，2） C （1，） D （1，1.2） 【分析】由题意构造函数 f（x）x32x1，求方程 x32x10 的一个近似解，就是求函数在某个区
13、间内有零点，因此把 x1，2，代入函数解析式，分析函数值的符号是否异号即可 【解答】解：令 f（x）x32x1， 则 f（1）20，f（2）30，f（）0 由 f（2）f（）0 知根所在区间为（，2） 故选：B 【点评】此题是个基础题考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力 8已知函数 f（x）的定义域是 R，若对于任意两个不相等的实数 x1，x2，总有0 成立，则函数 f（x）一定是（ ） A奇函数 B偶函数 C增函数 D减函数 【分析】利用题中的条件，结合函数的单调性，即可做出判断 【解答】解：由任意两个不相等的实数
14、 x1，x2，总有0 成立得， 若 x2x10，则 f（x2）f（x1）0， 若 x2x10，则 f（x2）f（x1）0， 故函数 f（x）为增函数， 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性，学生的数学运算能力，属于基础题 9已知 m，n 是方程 2x2x20 的两个实数根，则的值为（ ） A1 B C D1 【分析】根据根与系数关系可解决此题 【解答】解：根据题意得：m+n，mn1， 故选：C 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，考查数学运算能力，属于基础题 10在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线 yf（x） ，一种是平均价格曲线 yg（x）（如 f（2）3 表示
15、开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元；g（2）4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元） 下面所给出的四个图象中，实线表示 yf（x） ，虚线表示 yg（x） ，其中可能正确的是（ ） A B C D 【分析】由股票买卖过程以及股票买卖的规律性，依次分析可得答案 【解答】解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D 均错误 故选：C 【点评】本题考查函数及其图象的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力 11函数 f（x）x22x+2 的零点个数是（
16、） A0 B1 C2 D3 【分析】直接根据判别式的取值即可得到结论 【解答】解：函数 f（x）x22x+2 的零点个数即为方程 x22x+20 根的个数， 又（2）24240， 故对应方程无根， 函数 f（x）x22x+2 的零点个数是：0 故选：A 【点评】本题考查函数与方程的关系，考查计算能力 12已知关于 x 的函数|x|的定义域是a，b（a，b 为整数） ，值域是0，1，则满足条件的整数数对（a，b）的个数为（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】由|x|，可得，再结合函数的奇偶性，即可求解 【解答】解：|x|， ， 令 y0，可得，解得 x2 或 x2， 令 y1，可得1，解得 x
17、0， 当 x0 时，y，可得函数为单调递减函数， 又f（x），f（x）f（x） ， 函数 f（x）为偶函数，图象如图所示， 函数定义域可能为2，0，2，1，2，2，1，2，0，2， 则满足满足条件的整数对（a，b）为（2，0） ， （2，1） ， （2，2） ， （1，2） ， （0，2） ，共 5 个 故选：A 【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，考查数形结合的能力，属于中档题 二、填空题（共二、填空题（共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 45 分）分） 13函数 f（x）的定义域为 x|x0 且 x1 【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可 【解答】
18、解：要使函数有意义，则， 得，即 x0 且 x1， 即函数的定义域为x|x0 且 x1， 故答案为：x|x0 且 x1 【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题 14设函数，则 f（f（1） ）的值为 5 【分析】利用函数的解析式，先求出 f（1） ，再求解 f（f（1） ）的值即可 【解答】解：因为函数， 所以 f（1）1+12， 所以 f（f（1） ）f（2）4+15 故答案为：5 【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题 15已知函数 f（x）在 R 上单
19、调递增，若 f（2）2，则满足 f（x2）2 的实数 x 的取值范围是 x|x4 【分析】利用函数的单调性可以直接解出 【解答】解：f（2）2，f（x2）2， f（x2）f（2） ， 因为 f（x）在 R 上单调递增， x22， x4， 故答案为：x|x4 【点评】本题考查了函数的性质的应用，学生数学运算能力，属于基础题 16已知 x（1，+） ，则函数 yx+，当 x 等于 4 时，函数有最小值为 7 【分析】由已知得 yx+x1+1，然后结合基本不等式可求 【解答】解：x（1，+） ，则函数 yx+x1+1+17， 当且仅当 x1，即 x4 时取等号，此时函数取得最小值 7 故答案为：4，
20、7 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题 17函数 yx2+2x+1 的值域为 （，2 【分析】本题考查的是求二次函数的值域，常用的是用配方法来求 【解答】解：y（x1）2+2，在区间（，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减， 又 f（1）2，所以函数的值域为（，2 故答案为： （，2 【点评】在解题时要注意二次函数图象抛物线的开口方向，对称轴，在对称轴处取得最值 18若方程 2ax2x10 在（0，1）内恰有一个根，则实数 a 的取值范围是 （1，+） 【分析】由题意，令 f（x）2ax2x1，由零点判定定理结合一元二次方程根的分布情况即可得答案 【解答】解：由题
21、意，令 f（x）2ax2x1 在（0，1）内恰有一个根， 则 f（0） f（1）0， 即1 （2a2）0， 解得 a1， 实数 a 的取值范围是（1，+） 故答案为： （1，+） 【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题 19若关于 x 的不等式 tx22tx+40 的解集为 R，则实数 t 的取值范围是 0，4） 【分析】由题意利用恒成立问题，二次函数的性质，可得实数 t0 或，由此求得实数 t 的取值范围 【解答】解：关于 x 的不等式 tx22tx+40 的解集为 R， 当 t0 时，40 恒成立， 当时，0t4， 综上可得，t 的取值范围为0，4） ， 故答案为：0，4） 【点评
22、】本题主要考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，二次函数的性质，属于中档题 20能够说明“若 f（x）f（x+1）对任意的 xR 都成立，则函数 f（x）在（，+）是增函数”为假命题的一个函数是 f（x）， 【分析】根据题意构造一个满足题意的函数，分段函数较为合适 【解答】解：设函数 f（x）， 任意的 x1 时，x+10，此时 f（x）x+，满足 f（x）f（x+1） ； 当1x0 时，x+10，此时 f（x）x+，f（x+1）x+1，满足 f（x）f（x+1） ， 当 x0 时，f（x）x+1，f（x+1）x+2，满足满足 f（x）f（x+1） ， 故 f（x）f（x+1）对任意的 xR
23、都成立，则函数 f（x）在（，+）是增函数， 故答案为：f（x） 【点评】本题考查了函数的单调性，学生的定义识记能力，属于基础题 21用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（kN*） 已知一个铁钉受击 3 次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的， 请从这件事实中提炼出一个不等式组是 【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式组的建立，关键是要从已知的题目中找出不等关系，并用不等式表达出来 【解答】解：依题意+1，且三次后全部进入， 即+1， 故不等式组为 故答案为： 【点评】在使用不等式解决实际
24、问题时，关键的步骤是仔细分析题意，从题目中找到合适的变量及不等关系，并用不等式（组）将数量间的不等关系正确表达出来，在表达时要注意变量的取值范围，特别在实际问题中，要实际问题实际考虑 三、解答题（本小题共三、解答题（本小题共 3 小题，满分小题，满分 45 分）分） 22 （15 分）已知函数 f（x）的定义域为集合 A，集合 Bx|x1|a （）求集合 A； （）若全集 UR，a2，求 AUB； （）若 BA，求 a 的取值范围 【分析】 （）根据使得函数 f（x）的表达式有意义可求得集合 A； （）根据集合运算定义运算即可； （）根据集合间关系可解决此题 【解答】解： （）要使得函数 f（
25、x）的表达式有意义， 则（x+3） （4x）0，解得 x3，4，函数定义域 A3，4； （）当 a2 时，Bx|x1|a（1，3） ，AUB3，4（，13，+）3，13，4； （）Bx|1ax1+a 当 B时，1a1+a 即 a0 时满足题意， 当 B时，由 BA 得，解得 0a3， 综上，a 的取值范围是（，3 【点评】本题考查函数定义域求法、集合运算、集合间关系、不等式组解法，考查数学运算能力属于中档题 23 （15 分）已知函数 f（x）x （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）证明：函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （3）求函数 f（x）x，x4，1的值域 【分析】 （1）
26、求出函数 f（x）的定义域，利用定义判断 f（x）是奇函数； （2）利用单调性的定义证明函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （3）判断函数 f（x）在（，0）上也单调递增，求出 x4，1时函数的最小与最大值，即可求出值域 【解答】 （1）解：函数 f（x）x的定义域为（，0）（0，+） ，定义域关于原点对称， 设 f（x）的定义域为 I，任取 xI，则 f（x）x（x）f（x） ， 所以函数 f（x）是奇函数； （2）证明：任取 x1、x2（0，+） ，且 x1x2， 则 f（x1）f（x2）（x1）（x2）（x1x2）（）（x1x2） （1+） ， 因为 0 x1x2，所以 x1x20，
27、且 1+0， 所以 f（x1）f（x2） ， 所以函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （3）解：因为函数 f（x）x在（0，+）上单调递增，所以 f（x）在（，0）上也单调递增， 当 x4，1时，f（x）minf（4）43，f（x）maxf（1）13， 所以 f（x）在4，1上的值域是3，3 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义和应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题 24 （15 分）已知函数 f（x）x2+（2+a）x+b，其中 a，bR （1）当 a1，b4 时，求函数 f（x）的零点； （2）当 b2a 时，解关于 x 的不等式 f（x）0； （3）如果函数 f（x）的
28、图象恒在直线 y2x+2 的上方，证明：b2 【分析】 （1）将 a1，b4 代入 f（x）的解析式中，令 f（x）0，求出 f（x）的零点即可； （2）当 b2a 时，f（x）x2+（2+a）x+2a，然后解关于 x 的不等式 f（x）0 即可； （3）由条件，可得 f（x）2x+2 恒成立，即 x2+ax+b20 在 R 上恒成立，然后结合二次函数的性质，即可证明 b2 【解答】解： （1）根据题意，当 a1，b4 时，f（x）x2+3x4， 若 f（x）0，即 x2+3x40，解得 x4 或 1， 即函数的零点为4 或 1； （2）当 b2a 时，f（x）x2+（2+a）x+2a， 方程 x2+（2+a）x+2a0 有两个根，分别为 x2 和 xa， 当 a2 即a2 时，f（x）0 的解集为a，2， 当 a2 即a2 时，f（x）0 的解集为x|x2， 当 a2 即a2 时，f（x）0 的解集为2，a； （3）证明：如果函数 f（x）的图象恒在直线 y2x+2 的上方，即 f（x）2x+2 恒成立， 则有 x2+ax+b20 在 R 上恒成立，所以a24（b2）0， 所以 4（b2）a20，即 4（b2）a20，所以 b2 【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的零点以及恒成立问题，属于中档题