1、2021-2022 学年北京市东城区二校联考高一上期中数学试卷学年北京市东城区二校联考高一上期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 32 分）分） 1已知全集 UR，集合 A0，1，2，3，4，5，BxR|x3，则 AUB（ ） A4，5 B3，4，5 C0，1，2 D0，1，2，3 2若 a，b，cR，ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa+cb+c Bacbc Cacbc Da2b2 3已知命题 p： “xR，x2x10” ，那么命题 p 的否定为（ ） AxR，x2x10 BxR，x2x10 CxR，x2x10 DxR，x2x10 4已知
2、函数 yf（x）的对应关系如表，函数 yg（x）的图象是如图的曲线 ABC，其中 A（1，3） ，B（2，1） ，C（3，2） ，则 fg（2）的值为（ ） x 1 2 3 f（x） 2 3 0 A3 B2 C1 D0 5 “a2”是“函数 f（x）（xa）2在（2，+）上为增函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6函数 y（0a1）的图象的大致形状是（ ） A B C D 7已知函数 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（x）在1，0上单调递增，若 f（2t1）+f（）0，则实数 t 的取值范围为（ ） A B C D0，） 8函数
3、f（x）x22x，g（x）ax+2（a0） ，对x11，2，x01，2，使 g（x1）f（x0） ，则a 的取值范围是（ ） A B C3，+） D （0，3 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 2 小题，共小题，共 8 分）分） （多选）9下列函数中，在（0，+）上单调递增的函数是（ ） Ayx3 By|x| Cy（x1）2 Dy3x （多选）10下列指数式与对数式互化正确的是（ ） A54625 与 log46255 B1020.01 与 lg0.012 C与 D与 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 5 小题，共小题，共 25 分）分） 11求函数 f（x）的定义域
4、12函数 yax3+3（a0，且 a1）的图象过定点 13当 x1 时，的最小值是 14已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x21，则当 x0 时，f（x） 15 已知函数 f （x） 若 c0， 则 f （x） 的值域是 ； 若 f （x） 的值域是，则实数 c 的取值范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 85 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16计算： 17已知函数 f（x）3x+a，x0，集合 A 是函数 f（x）的值域，集合 B 是不等式的解集 （1）当 a1 时，求集
5、合 A 与集合 B； （2）若 ABA，求实数 a 的取值范围 18已知函数 f（x）x2+bx+c，满足 f（0）2，且xR，f（x）f（x） （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若关于 x 的方程 f（x）m0 在 x0，2上有实数解，求实数 m 的取值范围； （3）设当 xt，t+2（tR）时，函数 f（x）的最小值为 g（t） ，求 g（t） 19通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用 f（x）表示学生掌
6、握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强） ，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min） ，可有以下公式：f（x） （1）讲课开始后 5min 和讲课开始后 20min 比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？ （3）一道数学难题，需要讲解 13min，并且要求学生的注意力至少达到 55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由 20已知函数 （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并用定义证明； （2）用定义证明：f（x）在1，+）上单调递减； （3）若实数 a 满足，求 a 的取值范围 21已知集合 A 为
7、非空数集，定义：Sx|xa+b，a，bA，Tx|x|ab|，a，bA （）若集合 A1，3，直接写出集合 S，T； （）若集合 Ax1，x2，x3，x4，x1x2x3x4，且 TA，求证：x1+x4x2+x3； （）若集合 Ax|0 x2020，xN，ST，记|A|为集合 A 中元素的个数，求|A|的最大值 参考答案解析参考答案解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 32 分）分） 1已知全集 UR，集合 A0，1，2，3，4，5，BxR|x3，则 AUB（ ） A4，5 B3，4，5 C0，1，2 D0，1，2，3 【分析】先求出UBx|x3由此能求出
8、AUB 的值 【解答】解：全集 UR， 集合 A0，1，2，3，4，5，BxR|x3， UBx|x3 AUB0，1，2 故选：C 【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2若 a，b，cR，ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa+cb+c Bacbc Cacbc Da2b2 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解 【解答】解：对于 A，ab，cc， 由不等式的可加性可得，a+cb+c，故 A 正确， 对于 B，当 c0 时，acbc，故 B 错误， 对于 C，当 c0 时，acbc，故 C 错误， 对于
9、 D，令 a1，b3，满足 ab，但 a2b2，故 D 错误 故选：A 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题 3已知命题 p： “xR，x2x10” ，那么命题 p 的否定为（ ） AxR，x2x10 BxR，x2x10 CxR，x2x10 DxR，x2x10 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 【解答】解：命题为全称命题，则命题 p： “xR，x2x10” ，那么命题 p 的否定为xR，x2x10， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 4已知函数 yf（x）的对应关系如表，函数 yg（x）的图象是如图的曲线 ABC，其
10、中 A（1，3） ，B（2，1） ，C（3，2） ，则 fg（2）的值为（ ） x 1 2 3 f（x） 2 3 0 A3 B2 C1 D0 【分析】根据函数图象和函数值的对应关系即可得到结论 【解答】解：由图象可知 g（2）1， 由表格可知 f（1）2， fg（2）f（1）2， 故选：B 【点评】本题主要考查函数值的计算，要求熟练掌握图象法和表格法对应函数值的关系，比较基础 5 “a2”是“函数 f（x）（xa）2在（2，+）上为增函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先由二次函数的单调性，等价转化函数 f（x）（xa）2在（2，
11、+）上为增函数，然后由充分条件与必要条件的定义判断即可 【解答】解：因为函数 f（x）（xa）2在（2，+）上为增函数， 则 a2， 因为 a2 可以推出 a2，但是 a2 不能推出 a2， 所以“a2”是“函数 f（x）（xa）2在（2，+）上为增函数”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，二次函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题 6函数 y（0a1）的图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】分 x0 与 x0 两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状 【解答】解：当 x0 时，|x|x，此时 yax（0
12、a1） ； 当 x0 时，|x|x，此时 yax（0a1） ， 则函数（0a1）的图象的大致形状是： ， 故选：D 【点评】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键 7已知函数 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（x）在1，0上单调递增，若 f（2t1）+f（）0，则实数 t 的取值范围为（ ） A B C D0，） 【分析】先利用函数的奇偶性，将不等式进行变形，然后利用函数的单调性去掉“f” ，求解不等式组，即可得到答案 【解答】解：因为 f（x）为奇函数， 则 f（2t1）+f（）0 可变形为 f（2t1）f（）f（） ， 因为 f（x）在1，0上单调递增，且
13、 f（x）是定义在1，1上的奇函数， 所以 f（x）在1，1上单调递增， 则，解得， 所以实数 t 的取值范围为 故选：B 【点评】本题考查了抽象函数的理解与应用，函数性质的综合应用，函数与不等式的应用，主要考查了函数奇偶性以及单调性的运用，解题的关键是利用单调性去掉“f” ，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于中档题 8函数 f（x）x22x，g（x）ax+2（a0） ，对x11，2，x01，2，使 g（x1）f（x0） ，则a 的取值范围是（ ） A B C3，+） D （0，3 【分析】先求出两个函数在1，2上的值域分别为 A、B，再根据对任意的 x11，2，存在 x01，2，使 g（
14、x1）f（x0） ，集合 B 是集合 A 的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数 a 的取值范围，注意条件 a0 【解答】解：设 f（x）x22x，g（x）ax+2（a0） ，在1，2上的值域分别为 A、B， 由题意可知：A1，3，Ba+2，2a+2 a 又a0， 0a 故选：A 【点评】此题是个中档题考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 2 小题，共小题，共 8 分）分） （多选）9下列函数中，在（0，+）上单调递增的函数是（ ） Ayx3 By|x
15、| Cy（x1）2 Dy3x 【分析】根据基本初等函数的单调性知识，判定各选项中的函数是否满足条件 【解答】解：A 选项中 yx3在 R 上是增函数，所以 A 选项正确； B 选项中 y|x|在（，0）上单调递减，在（0，+）单调递增，所以 B 选项正确； C 选项中 y（x1）2在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以 C 选项错误； D 选项中 y3x在 R 上是减函数，所以 D 选项错误 故选：AB 【点评】本题考查了基本初等函数在某一区间上的单调性问题，是基础题 （多选）10下列指数式与对数式互化正确的是（ ） A54625 与 log46255 B1020.01 与 lg0
16、.012 C与 D与 【分析】直接化指数式为对数式，化对数式为指数式后核对四个选项得答案 【解答】解：对于选项 A：由 54625 得 log56254，故选项 A 错误， 对于选项 B：由 1020.01 得 lg0.012，故选项 B 正确， 对于选项 C：由16 得，故选项 C 错误， 对于选项 D：由得，故选项 D 正确， 故选：BD 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 5 小题，共小题，共 25 分）分） 11求函数 f（x）的定义域 （，02，+） 【分析】要使函数有意义，则需 x22x0，解出不等式，运用集合或区间表示即
17、可 【解答】解：要使函数有意义，则需 x22x0， 解得 x2 或 x0， 即定义域为（，02，+） 故答案为： （，02，+） 【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，考查解不等式的运算能力，属于基础题 12函数 yax3+3（a0，且 a1）的图象过定点 （3，4） 【分析】根据指数函数过定点的性质，令指数为 0，即可确定定点的坐标 【解答】解：令 x30，解得 x3，此时 y1+34 定点坐标为（3，4） ， 故答案为： （3，4） 【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，直接让幂指数等于即可求出定点的横坐标，比较基础 13当 x1 时，的最小值是 4 【分析】先
18、进行分离，然后结合基本不等式即可求解 【解答】解：由 x1 得 x+10， 所以 yx+1+4， 当且仅当 x+1，即 x1 时取等号，此时函数取得最小值 4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，属于基础题 14已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x21，则当 x0 时，f（x） x2+1 【分析】利用函数为奇函数，将 x0 转化为x0，再利用当 x0 时，f（x）x21，即可求得答案 【解答】解：设 x0，则x0， 当 x0 时，f（x）x21， f（x）（x）21x21， 又函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数， f（x）f（x）
19、 ， f（x）f（x）x2+1， 当 x0 时，f（x）x2+1 故答案为：x2+1 【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法对于求函数解析式的方法，一般有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等本题解题的关键是运用函数的偶函数的性质，将要求的范围转化到已知的范围求解解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化属于基础题 15已知函数 f（x）若 c0，则 f（x）的值域是 ，+） ；若 f（x）的值域是，则实数 c 的取值范围是 ，1 【分析】若 c0，分别求出 f（x）在2，0及（0，3上的最值，取并集得答案；求出 f（x）在2，1上的值域以及在（c，3上的值域，注意 c0，运用单
20、调性即可得到 c 的范围 【解答】解：当 c0 时， 当 f（x）x2+x，2x0 时， f（x）在2，上单调递减，在（，0上单调递增， 可得 f（x）的最大值为 f（2）2，最小值为 f（）； 当 f（x），0 x3 时，f（x）为减函数，有最小值为，无最大值 综上所述，f（x）的值域是，+） ； f（x）x2+x 在2，上单调递减，在（，1上单调递增， f（x）在2，1上的最小值为 f（），最大值是 f（2）f（1）2； 由题意可得 c0，而当 cx3 时，f（x）是减函数且值域为，） ， 当 f（x）的值域是时，即c1 故实数 c 的取值范围是，1 故答案为：，+） ；，1 【点评】本题
21、给出分段函数，求函数的值域，并在已知值域的前提下求参数的范围，考查函数的单调性与二次函数的最值情况，是中档题 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 85 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16计算： 【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解 【解答】解：原式1（2）4+4116+85 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题 17已知函数 f（x）3x+a，x0，集合 A 是函数 f（x）的值域，集合 B 是不等式的解集 （1）当 a1 时，求集合 A 与集合 B； （2）若 ABA，求实数 a 的取值
22、范围 【分析】 （1）当 a1 时，求出 A，解指数不等式求出 B 即可； （2）根据 ABA 即可得出 AB，得出不等式，解出 a 的范围即可 【解答】解： （1）函数 f（x）3x+1，x0，集合 A 是函数 f（x）的值域， f（x）的值域 A（0，2） ， 不等式，可得 x13，解得 B（2，+） （2）函数 f（x）3x+a，x0，集合 A 是函数 f（x）的值域， A（a，1+a） ，B（2，+） ABA， AB， 2a， a 的取值范围为2，+） 【点评】 本题考查了函数值域的定义及求法， 指数不等式的解法， 交集的定义及运算， 考查了计算能力，属于基础题 18已知函数 f（x）
23、x2+bx+c，满足 f（0）2，且xR，f（x）f（x） （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若关于 x 的方程 f（x）m0 在 x0，2上有实数解，求实数 m 的取值范围； （3）设当 xt，t+2（tR）时，函数 f（x）的最小值为 g（t） ，求 g（t） 【分析】 （1）由题意得到即可求解 （2）求出函数 f（x）在 x0，2上的值域即可 （3）讨论二次函数的对称轴与区间的关系，得到单调性求出最小值即可 【解答】解： （1）f（0）2，且xR，f（x）f（x） ， ，f（x）x2+2 （2）f（x）x2+2 的对称轴为 x0，且开口向上， f（x）x2+2 在 x0，2上单调递
24、增， f（x）min2，f（x）max6， 函数 f（x）的值域为2，6， 方程 f（x）m0 在 x0，2上有实数解，m2，6， 实数 m 的取值范围为2，6 （3）当 t0 时，函数 f（x）在t，t+2上单调递增，g（t）f（t）t2+2， 当 t+20，即 t2 时，函数 f（x）在t，t+2上单调递减，g（t）f（t+2）t2+4t+6， 当 t0t+2，即2t0 时，g（t）f（0）2， 综上，当 t0 时，g（t）t2+2， 当 t2 时，g（t）t2+4t+6， 当2t0 时，g（t）2 【点评】本题考查二次函数解析式的求法，二次函数在区间上的值域问题，属于中档题 19通过研究
25、学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用 f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强） ，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min） ，可有以下公式：f（x） （1）讲课开始后 5min 和讲课开始后 20min 比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？ （3）一道数学难题，需要讲解 13min，并且要求学生的注意力至少达到 55，那么老师
26、能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由 【分析】 （1）f（5）0.1（513）2+59.953.5，f（20）320+10747，即可得出； （2）当 0 x10 时，f（x）0.1（x13）2+59.9，可得 f（x）在 0 x10 时单调递增，最大值为 f（10）59当 10 x16 时，f（x）59；当 x16 时，函数 f（x）为减函数，且 f（x）59即可得出； （3）当 0 x10 时，令 f（x）55，解得 x6 或 20（舍去） ；当 x16 时，令 f（x）55，解得 x17， 即可得到学生一直达到所需接受能力 55 的状态的时间， 进而判断出老师能否及时在学生
27、一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题 【解答】解： （1）f（5）0.1（513）2+59.953.5，f（20）320+1074753.5， 因此开讲 5 分钟比开讲 20 分钟时，学生的接受能力强一些 （2）当 0 x10 时，f（x）0.1x2+2.6x+430.1（x13）2+59.9， f（x）在 0 x10 时单调递增，最大值为 f（10）0.1（1013）2+59.959 当 10 x16 时，f（x）59；当 x16 时，函数 f（x）为减函数，且 f（x）59 因此开讲 10 分钟后，学生的接受能力最强（为 59） ，能维持 6 分钟 （3）当 0 x10 时，令 f（
28、x）55，解得 x6 或 20（舍去） ； 当 x16 时，令 f（x）55，解得 x17， 可得学生一直达到所需接受能力 55 的状态的时间1761113， 因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题 【点评】本题考查了分段函数的意义、二次函数的单调性、一次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题 20已知函数 （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并用定义证明； （2）用定义证明：f（x）在1，+）上单调递减； （3）若实数 a 满足，求 a 的取值范围 【分析】 （1）f（x）为奇函数，利用奇函数的定义即可证明； （2）利用函数单调性的定义即可证明； （3）由
29、f（2），将不等式转化为 f（a2+1）f（2） ，利用函数 f（x）在1，+）上单调递减，即可求解 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为 R，且 f（x）f（x） ， 所以 f（x）为奇函数 （2）证明：在1，+）上任取 x1，x2，令 x1x2， 则 f（x1）f（x2） 因为 1x1x2，所以 x1x20，x1x21，1x1x20， 所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ， 所以函数 f（x）在1，+）上单调递减 （3）因为 f（2）， 所以等价于 f（a2+1）f（2） ， 因为函数 f（x）在1，+）上单调递减，a2+
30、11， 所以 a2+12，解得 a1 或 a1， 即 a 的取值范围是（，1）（1，+） 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的证明，利用函数的性质解不等式，考查转化思想与逻辑推理能力，属于中档题 21已知集合 A 为非空数集，定义：Sx|xa+b，a，bA，Tx|x|ab|，a，bA （）若集合 A1，3，直接写出集合 S，T； （）若集合 Ax1，x2，x3，x4，x1x2x3x4，且 TA，求证：x1+x4x2+x3； （）若集合 Ax|0 x2020，xN，ST，记|A|为集合 A 中元素的个数，求|A|的最大值 【分析】 （）根据题目定义，直接计算集合 S 及 T； （）根据两集合
31、相等即可找到 x1，x2，x3，x4的关系； （）通过假设 A 集合m，m+1，m+2，2020，m2020，mN，求出相应的 S 及 T，通过 ST建立不等关系求出相应的值 【解答】解： （）根据题意，由集合 A1，3，计算集合 S2，4，6，T0，2； （）由于集合 Ax1，x2，x3，x4，x1x2x3x4，且 TA， 所以 T 中也只包含四个元素，即 T0，x2x1，x3x1，x4x1， 剩下的 x3x2x4x3x2x1，所以 x1+x4x2+x3； （）设 Aa1，a2，ak 满足题意，其中 a1a2ak， 则 2a1a1+a2a1+a3a1+aka2+aka3+akak1+ak2a
32、k， |S|2k1，a1a1a2a1a3a1aka1，|T|k， ST，由容斥原理|ST|S|+|T|3k1， ST 中最小的元素为 0，最大的元素为 2ak， |ST|2ak+1， 3k12ak+14041（kN*） ， k1347， 实际上当 A674，675，676，2020时满足题意， 证明如下： 设 Am，m+1，m+2，2020，mN， 则 S2m，2m+1，2m+2，4040，A0，1，2，2020m， 依题意有 2020m2m，即 m673， 故 m 的最小值为 674，于是当 m674 时，A 中元素最多， 即 A674，675，676，2020时满足题意， 综上所述，集合 A 中元素的个数的最大值是 1347 【点评】本题考查的知识点是新定义，正确理解集合的定义是解答的关键，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是难题