1、2021-2022 学年北京市海淀区四校联考高一上期中数学试卷学年北京市海淀区四校联考高一上期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1已知集合 Ax|x24，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A0，1，2 B0，1 C1，0，1 D2，1，0，1，2 2命题“xR，使得 x21”的否定是（ ） AxR，都有 x21 BxR，使得 x21 CxR，都有 x21 DxR，使得 x21 3下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ） Ayx2 By2x1 Cy|x|x D 4已知函数 f（x）x2+1，那么 f（x1）等于（ ）
2、Ax Bx22x Cx2 Dx22x+2 5若偶函数 f（x）在（，1上是增函数，则（ ） Af（1.5）f（1）f（2） Bf（1）f（1.5）f（2） Cf（2）f（1）f（1.5） Df（2）f（1.5）f（1） 6已知函数 yf（x）满足 f（x+1）2f（x） ，且 f（5）3f（3）+4，则 f（4）（ ） A16 B8 C4 D2 7下列函数中，能说明“若函数 f（x）满足 f（0） f（2）0则 f（x）在（0，2）内不存在零点”为假命题的函数是（ ） Ay（x1）2 Byx1 Cyx2+2x+1 D 8已知函数 f（x）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A （，1）（0
3、，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 9 “x1“是“x21”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10设 aR，集合 A（x，y）|ax+y3，xay4，则（ ） A对任意实数 a， （2，2）A B对任意实数 a， （2，2）A C当且仅当 a1 时， （2，2）A D当且仅当时， （2，2）A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11函数 f（x）+的定义域是 12若集合x+1，x2，1与集合1，x，x1相等，则实数 x 13函数的值域是 14已
4、知，若函数 g（x）f（x）ax+a 恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是 15对于集合 A，B，定义 A+Bx+y|xA，yB，下列命题： A+BB+A； （A+B）+CA+（B+C） ； 若 A+AB+B，则 AB； A+CB+C，则 AB 其中正确的命题是： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （14 分）已知集合 Ax|x3a+1，集合 Bx|x25x+60 （1）当 a3 时，求 AB； （2）若 ABB，求实数 a 的取值范围 17 （14 分）求下列关于 x 的不等
5、式的解集： （1）； （2）x22ax3a2 18 （14 分）已知函数 f（x）ax2+bx5，对于任意 xR，有 f（2x）f（2+x） ，f（2）7 （1）求 f（x）的解析式； （2）若函数 f（x）在区间t，t+3上的最小值为8，求 t 的值 19 （14 分）已知函数 f（x）2x|xa|+x （1）若 f（x）为奇函数，求 a 的值； （2）当 a1 时，求函数 f（x）在区间0，4上的最大值； （3）若，函数 f（x）的图象恒在 g（x）2x 图象下方，求实数 a 的取值范围 20 （14 分）已知 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的函数，满足下列两个条件： 当 x0 时，
6、f（x）0 恒成立； 对任意的 x，y（，0）（0，+） ，都有 （1）求 f（1）和 f（1）的值； （2）证明：f（x）为奇函数，并且； （3）若 f（x）在区间（0，1上单调递减，直接写出关于 x 的不等式的解集 21 （15 分）设 nN*，集合 En1，2，n若 k 个互不相同的非空集合 A1，A2，Ak同讨满足下面两个条件，则称 A1，A2，Ak是集合 En的“规范 K 一子集组” （1）AiEn（i1，2，k） ； （2）对任意的 Ai，Aj（1ijk） ，要么 AiAj，要么 Ai，Aj中的一个是另一个的子集 （）直接写出集合 E2的一个“规范 2 一子集组” ； （）若 A1
7、，A2，Ak是集合 En的“规范 K 一子集组” ， （）求证：A1，A2，Ak中至多有 1 个集合对Ai，Aj，满足 AiAj且 AiAjEn （）求 k 的最大值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1已知集合 Ax|x24，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A0，1，2 B0，1 C1，0，1 D2，1，0，1，2 【分析】求出关于 A 的不等式，求出 A、B 的交集即可 【解答】解：Ax|x24x|2x2， B1，0，1，2，3， 则 AB1，0，1， 故选：C 【点评】本题考查了集合的交集的运算，熟
8、练掌握交集的定义是解题的关键，本题是一道基础题 2命题“xR，使得 x21”的否定是（ ） AxR，都有 x21 BxR，使得 x21 CxR，都有 x21 DxR，使得 x21 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 【解答】解：命题是特称命题，则否命题的否定是： xR，都有 x21， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ） Ayx2 By2x1 Cy|x|x D 【分析】由值域的求法及常见函数的奇偶性逐一判断即可. 【解答】解：对于 A，yx2的值域为0，+）且为偶函数，不符合题意； 对于 B，y2x1 的值域
9、为 R，但是非奇非偶函数，不符合题意； 对于 C，y|x|x的值域为 R 且为奇函数，符合题意； 对于 D，y的值域为（，0）（0，+） ，不符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断及值域的求法，属于基础题 4已知函数 f（x）x2+1，那么 f（x1）等于（ ） Ax Bx22x Cx2 Dx22x+2 【分析】直接利用函数的解析式求解即可 【解答】解：函数 f（x）x2+1，那么 f（x1）（x1）2+1x22x+2 故选：D 【点评】本题考查函数的解析式的求法，基本知识的考查 5若偶函数 f（x）在（，1上是增函数，则（ ） Af（1.5）f（1）f（2） Bf（1）f（
10、1.5）f（2） Cf（2）f（1）f（1.5） Df（2）f（1.5）f（1） 【分析】由函数的奇偶性、单调性把 f（2） 、f（1.5） 、f（1）转化到区间（，1上进行比较即可 【解答】解：因为 f（x）在（，1上是增函数， 又21.511，所以 f（2）f（1.5）f（1） ， 又 f（x）为偶函数，所以 f（2）f（1.5）f（1） 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是灵活运用函数性质把 f（2） 、f（1.5） 、f（1）转化到区间（，1上解决 6已知函数 yf（x）满足 f（x+1）2f（x） ，且 f（5）3f（3）+4，则 f（4）（ ）
11、 A16 B8 C4 D2 【分析】根据关系式得到 f（4）2f（3）且 f（5）2f（4） ，进而求得结论 【解答】解：因为函数 yf（x）满足 f（x+1）2f（x） ， 所以：f（4）2f（3）且 f（5）2f（4） ， 又 f（5）3f（3）+4， 即 2f（4）3f（4）+4； 则 f（4）8； 故选：B 【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目 7下列函数中，能说明“若函数 f（x）满足 f（0） f（2）0则 f（x）在（0，2）内不存在零点”为假命题的函数是（ ） Ay（x1）2 Byx1 Cyx2+2x+1 D 【分析】函数 f（x）（x1）2满足 f（0） f（
12、2）0，但 f（x）在（0，2）内存在零点 x1，由此可得答案 【解答】解：f（x）（x1）2满足 f（0） f（2）1110，但 f（x）在（0，2）内存在零点 x1， 故函数 f（x）（x1）2符合题意 故选：A 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用， 考查函数性质的综合运用， 考查运算求解能力， 属于基础题 8已知函数 f（x）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 【分析】不等式等价于 f（x）0，再结合图象即可得解 【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+） ， 因为 x20 恒成
13、立，所以不等式等价于 f（x）0 的解集， 由图可知，x1 或 x1， 所以不等式的解集为（，1）（1，+） 故选：C 【点评】 本题考查函数的图象与性质， 分式不等式的解法， 考查逻辑推理能力和运算能力， 属于基础题 9 “x1“是“x21”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可运用定义来做题目 【解答】解：由 x21，可得1x1， 故，由 x1，不能够推出 x21，故，x1，是 x21 的不充分条件， 由 x21，能够推出 x1，故，x1，是 x21 的必要条件， 综上所述，x1，是 x21
14、 的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件以及充要条件的判断，属于基础题 10设 aR，集合 A（x，y）|ax+y3，xay4，则（ ） A对任意实数 a， （2，2）A B对任意实数 a， （2，2）A C当且仅当 a1 时， （2，2）A D当且仅当时， （2，2）A 【分析】假设（2，2）A，从而可得 2a+23 且 22a4，即可解得 a，再结合选项判断即可 【解答】解：若（2，2）A， 则 2a+23 且 22a4， 解得，a， 故当且仅当时， （2，2）A， 故选：D 【点评】本题考查了元素与集合的关系应用及转化思想的应用，属于基础题 二、填空题共二、
15、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11函数 f（x）+的定义域是 1，1）（1，+） 【分析】求出使函数式中无理式和分式有意义的 x 的取值集合，然后取交集 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：x1 且 x1 所以，原函数的定义域为1，1）（1，+） 故答案为1，1）（1，+） 【点评】本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型 12若集合x+1，x2，1与集合1，x，x1相等，则实数 x 0 【分析】由集合相等的概念求出 x 的值，再检验即可 【解答】解：由集合x+1，x2，1与集合1，x，x1相等， 则 x+11 或
16、x21， 解得：x0，1，1， 当 x0 时，1，0，1与集合1，0，1相等，成立， 当 x1 时，集合1，x，x11，1，0，不成立， 当 x1 时，集合x+1，x2，10，1，1，1，x，x11，1，2，不成立， 实数 x0， 故答案为：0 【点评】本题考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的互异性，是基础题，也是易错题 13函数的值域是 2，8 【分析】由基本不等式得 f（x）x+2，当且仅当 x，即 x时，取等号，再计算 f（1） ，f（6） ，即可得出答案 【解答】解：f（x）x+22， 当且仅当 x，即 x时，取等号， 又 f（1）8，f（6）6+7， 所以 f（x）最小值为 2，
17、最大值为 8， 所以 f（x）的值域为2，8 故答案为：2，8 【点评】本题考查函数的值域，解题关键是基本不等式的应用，属于中档题 14已知，若函数 g（x）f（x）ax+a 恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是 （，2）（2，1）1，+） 【分析】 依题意， 函数 yf （x） 与直线 yaxa 的图象有且仅有一个交点， 直线 yaxa 恒过定点 （1，0） ，作出函数 f（x）的图象，观察图象即可得到答案 【解答】解：令 g（x）0，则 f（x）axa，依题意，函数 yf（x）与直线 yaxa 的图象有且仅有一个交点， 注意直线 yaxa 恒过定点（1，0） ，作出函数 f（x）的图象如
18、下图所示， 由图象可知，满足条件的直线应介于红色线和蓝色线之间，且不与黄色线重合， a（，2）（2，1）1，+） 故答案为： （，2）（2，1）1，+） 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题 15对于集合 A，B，定义 A+Bx+y|xA，yB，下列命题： A+BB+A； （A+B）+CA+（B+C） ； 若 A+AB+B，则 AB； A+CB+C，则 AB 其中正确的命题是： 【分析】根据新定义以及加法交换律得出 A+BB+A；根据新定义以及加法结合律得出（A+B）+CA+（B+C） ；举特例根据新定义说明结论不成立；根据题意举例说明结论不成立 【解答】解：、
19、集合 A、B 满足 A+Bx+y|xA，yB， B+Ay+x|yB，xAx+y|xA，yBA+B，正确； 、 （A+B）+Cx+y+z|xA，yB，zC A+（B+C）x+y+z|xA，yB，zC，（A+B）+CA+（B+C） ，正确； 、当 Ax|x2n+1，nZ，Bx|x2n，nZ， 由题意得x+y|xA，yAx+y|xB，yB，但 AB，不正确； 、当 Ax|x2n+1，nZ，Bx|x2n，nZ，Cx|xn，nZ时， 满足x+z|xA，zCy+z|yB，zC，但 AB 不成立，错误， 所以正确的命题是：， 故答案为： 【点评】本题考查了新定义的集合的应用问题，解题时应理解集合的含义，理解
20、新定义的内含与外延，是不易理解的题目 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （14 分）已知集合 Ax|x3a+1，集合 Bx|x25x+60 （1）当 a3 时，求 AB； （2）若 ABB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）先求出集合 A，B，然后由交集的定义求解即可； （2）利用子集的定义，列式求解即可 【解答】解： （1）当 a3 时，集合 Ax|x8，集合 Bx|x25x+60 x|x2 或 x3， 所以 ABx|8x2 或 x3； （2）因为 ABB，则 AB， 所
21、以 3a+13，解得 a， 所以实数 a 的取值范围为 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集与子集的定义，属于基础题 17 （14 分）求下列关于 x 的不等式的解集： （1）； （2）x22ax3a2 【分析】 （1）将其转化为一元二次不等式，解之即可； （2）分 a0，a0 和 a0 三种情况，结合二次函数的图象与性质，解之即可 【解答】解： （1）原不等式等价于， 所以 x1 或 x， 故不等式的解集为x|x1 或 x （2）原不等式可化为（x3a） （x+a）0， 当 a0 时，不等式为 x20，显然不成立，所以无解； 当 a0 时，3aa，所以
22、ax3a； 当 a0 时，3aa，所以 3axa， 综上所述， 当 a0 时，不等式的解集为； 当 a0 时，不等式的解集为x|ax3a； 当 a0 时，不等式的解集为x|3axa 【点评】 本题考查分式不等式的解法， 含参一元二次不等式的解法， 考查分类讨论思想， 运算求解能力，属于基础题 18 （14 分）已知函数 f（x）ax2+bx5，对于任意 xR，有 f（2x）f（2+x） ，f（2）7 （1）求 f（x）的解析式； （2）若函数 f（x）在区间t，t+3上的最小值为8，求 t 的值 【分析】 （1）根据题意可得2，结合 f（2）7 可得 4a2b57，从而即可求出 a 与 b 的
23、值，进一步即可确定 f（x）的解析式； （2）讨论区间t，t+3和对称轴的位置关系，结合函数的单调性即可求解 【解答】解： （1）由函数 f（x）满足 f（2x）f（2+x） ，得 f（x）的对称轴是 x2，即2， 由 f（2）7，得 4a2b57，联立解得， 所以 f（x）x24x5； （2）当 t+32，即 t1 时，函数 yf（x）在区间t，t+3上单调递减， 所以 f（x）minf（t+3）t2+2t88，解得 t2 或 t0（舍去） ， 当 t2 时，函数 yf（x）在区间t，t+3上单调递增， f（x）minf（t）t24t58，解得 t3 或 t1（舍去） ， 当 t2t+3，即
24、1t2 时，f（x）minf（2）9 不符合题意， 综上所述，t2 或 t3 【点评】本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题 19 （14 分）已知函数 f（x）2x|xa|+x （1）若 f（x）为奇函数，求 a 的值； （2）当 a1 时，求函数 f（x）在区间0，4上的最大值； （3）若，函数 f（x）的图象恒在 g（x）2x 图象下方，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由函数 f（x）为奇函数可得 f（1）f（1） ，由此建立关于 a 的方程，解出再验证即可得出答案； （2）将 a1 代入，并把函数 f（x）化为分段函数的形式，分别求出 x0
25、，1）及 x1，4时的最大值，综合即可得出答案； （3）对，2x|xa|+x2x 恒成立，即恒成立，解绝对值不等式可得，由此建立关于 a 的不等式组，解出即可 【解答】解： （1）由于 f（x）为奇函数，则 f（1）f（1） ， 2|1a|+1（2|1a|1） ，解得 a0， 经检验，a0 符合题意，故实数 a 的值为 0； （2）当 a1 时， 当 x0，1）时，f（x）2x2+3x，此时的最大值为， 当 x1，4时，f（x）2x2x 在1，4上单调递增，此时的最大值为 f（4）242428， 综上，函数 f（x）在区间0，4上的最大值为 28； （3）依题意，对，2x|xa|+x2x 恒成
26、立，即恒成立， 由得， ，解得， 实数 a 的取值范围为 【点评】本题考查绝对值函数的奇偶性，单调性及最值，同时还涉及了绝对值不等式的解法，考查转化思想、集合思想及运算求解能力，属于中档题 20 （14 分）已知 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的函数，满足下列两个条件： 当 x0 时，f（x）0 恒成立； 对任意的 x，y（，0）（0，+） ，都有 （1）求 f（1）和 f（1）的值； （2）证明：f（x）为奇函数，并且； （3）若 f（x）在区间（0，1上单调递减，直接写出关于 x 的不等式的解集 【分析】 （1）在中，令 xy1，即可求得 f（1）2，取 xy1，即可求得 f（1）
27、； （2）取 y1，得 f（x） f（1）f（x）+f（） ，取 xx，y1，得 f（x） f（1）f（x）+f（） ，联立可得 f（x）f（x） ，则函数 f（x）为奇函数，令 y1，得 f（x） f（1）f（x）+f（） ，可得f（x）f（）f（） ，得； （3） 利用函数单调性定义证明 f （x） 在1， +） 上单调递增， 由， 得 f （x2+x+1）f（）f（）f（3） ，可得x2+x+11 或 1x2+x+13，求解可得关于 x 的不等式的解集 【解答】 （1）解：令 xy1，得 f（1） f（1）f（1）+f（1） ， f（1）0 或 f（1）2 若 f（1）0，取 x1，y1
28、，则 f（1） f（1）f（1）+f（1） ， 得 f（1）0，与 x0 时，f（x）0 矛盾，故 f（1）0 舍去 取 xy1，则 f（1） f（1）f（1）+f（1）4， 得 f（1）2（f（1）0） ； （2）证明：取 y1，得 f（x） f（1）f（x）+f（） ， 将 x 换为x，y 换为 1，得 f（x） f（1）f（x）+f（） ， 则 f（x） f（1）f（x） f（1） ，2f（x）2f（x） ， 即 f（x）f（x） ，函数 f（x）为奇函数 令 y1，得 f（x） f（1）f（x）+f（） ， 2f（x）f（x）+f（） ， 则f（x）f（）f（） ，故； （3）解：设
29、x1x21，则 01， 由，且 f（x）在区间（0，1上单调递减， ，即 f（x1）f（x2） ，可得 f（x）在1，+）上单调递增， 由，得 f（x2+x+1）f（）f（）f（3） ， 不等式或 1x2+x+13， 解得2x1 关于 x 的不等式的解集为2，1 【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力及推理运算能力，训练了不等式的解法，属难题 21 （15 分）设 nN*，集合 En1，2，n若 k 个互不相同的非空集合 A1，A2，Ak同讨满足下面两个条件，则称 A1，A2，Ak是集合 En的“规范 K 一子集组” （1）AiEn（i1，2，k） ； （2）对
30、任意的 Ai，Aj（1ijk） ，要么 AiAj，要么 Ai，Aj中的一个是另一个的子集 （）直接写出集合 E2的一个“规范 2 一子集组” ； （）若 A1，A2，Ak是集合 En的“规范 K 一子集组” ， （）求证：A1，A2，Ak中至多有 1 个集合对Ai，Aj，满足 AiAj且 AiAjEn （）求 k 的最大值 【分析】 （I）由集合的新定义写出 E2即可， （II） （i）应用反证法进行证明，假设不只是一个集合满足 AiAj，且 AiAjEn，再证明假设不成立即可 （ii）用数学归纳法进行证明，得出 k 的最大值即可 【解答】解： （I）E21，2， 令 A11，A21，2， A
31、1E2，A2E2，且 A1A2， E2的一个“规范 2子集组”为A1，A2， （II） （i）假设不只是一个集合满足 AiAj，且 AiAjEn， AiEn，AjEn，AiAiEn， 若 n4，E41，2，3，4， 此时 i1，j2，设 A11，A22，3，4， A1E4，A2E4，当 i3，i4， 设 A31，2，A43，4，且 A3En，A4En， 且 A3A4，A3A4E4，满足条件， 故至多一个集合对满足条件不符，假设不成立， 故命题得证 （ii ）En1，2，3， n，当 1in 时， 令 Aii，当 n+1i2n1 时， 令 AixE|1xin+1， 这样取出的 2n1 个集合 A
32、i满足依题意， 用数学归纳法证明：k2n1， 当 n1 时，可见结论成立， 假设 nm1 时结论成立， 当 nm 时，考察 A1，A2， Ak中不为全集且元素个数最多的集合， 记为 A1，并设 A1中有 t 个元素，则 tm1， 将 A1，A2， Ak分为三类， 全集不是全集且 Ai不为全集与 A1交集为全集， 由 A1选取可知，中子集全部是 A1的子集且满足条件， 由归纳假设可知第二类的集合个数不超过 2t1， 第中的集合都是 E 或 A1的子集， 由归纳假设知集合个数不超过 2（mt）1， 因此 k1+（2t1）+2（mt）12m1， 所以当 nm 时，成立 所以由归纳法得，对于任意 n 元集合 E，都有 k2n1， 所以综上：kmax2n1 【点评】本题考查反证法与数学归纳法，属于综合题