1、辽宁省盘锦市双台子区二校联考九年级上第一次月考数学试题一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，关于x一元二次方程是（ ）A B. C. D. 2. 抛物线y =x22x 3的对称轴和顶点坐标分别是( )A. x =1，(1，-4)B. x =1，(1，4)C. x=-1，(-1，4)D. x =-1，(-1，-4)3. 方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A. 2x2+4x+2=1B. x2+4x=1C. 2x2+4x+1=0D. 2x2+2x+1=04. 在平面直角坐标系中，将抛物线y2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )A
2、. B. C. D. 5. 若，为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，若AOB=15，则AOB的度数是（ ）A. 25B. 30C. 35D. 407. 关于x的方程的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2bx的图象可能是（ ）A. B. C. D. 9. 北京市市政府为了申办年冬奥委，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，希望绿地面积可以增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（
3、）A. B. C. D. 10. 当2x1时，二次函数y=（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A. B. 或C. 2或D. 2或或第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分）11. 已知x1是一元二次方程x2mxn0一个根，则m22mnn2的值为_12. 若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为_13. 飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是，飞机着陆后滑行_米才能停下来14. 已知如图二次函数y1=ax2+bx+c（a0）与一次函数y2=kx+m（k0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2）（如图所示）则
4、能使y1y2成立的x的取值范围是_15. 在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，如果点在y轴右侧的抛物线上，那么点的坐标是_16. 如图，等边三角形ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60至AE，连接EF，则EF的最小值为_三、解答题（17题8分，18题10分，共18分）17. 解下列方程：（1）（2）18. 关于x的一元二次方程（m1）x2+2x+m21=0有一个根是x=0，求：（1）m的值；（2）该一元二次方程的另一根四、解答题（19题10分，20题12分，共22
5、分）19. 线ya(x1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OBOA.(1)求抛物线的解析式；(2)若点C(3，m)在该抛物线上，求ABC的面积20. 如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒（1）填空：BQ=_cm，PB=_cm；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；
6、若不存在，请说明理由 五、解答题（21题10分，22题12分，共22分）21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则c ；（2）若是“倍根方程”，求代数式的值；（3）若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m （1）求抛物线的函数
7、关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？六、解答题（12分）23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围（2）每
8、件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？七、解答题（14分）24. 如图，中，于点，现将沿折叠得到，将沿折叠得到，延长和相交于点（1）求证：四边形是正方形；（2）连接分别交、于点、，将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，试判断线段、之间的数量关系，并说明理由（3）若，求、的长八、解答题（14分）25. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当P
9、CM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标辽宁省盘锦市双台子区二校联考九年级上第一次月考数学试题一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的概念依次判断即可【详解】解：A、，移项合并后无二次项，是一元一次方程，不符合题意；B、，当时，是一元一次方程，不符合题意；C、是一元二次方程，符合题意；D、，等式左边不是整式，不符合题意，故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后
10、看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是22. 抛物线y =x22x 3的对称轴和顶点坐标分别是( )A. x =1，(1，-4)B. x =1，(1，4)C. x=-1，(-1，4)D. x =-1，(-1，-4)【答案】A【解析】【分析】利用顶点坐标公式可求顶点坐标和对称轴，或者利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标很对称轴【详解】解：y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4，故对称轴为x=1，顶点的坐标是（1，-4）故选：A【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数三种表达方式是解题关键3. 方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A. 2
11、x2+4x+2=1B. x2+4x=1C. 2x2+4x+1=0D. 2x2+2x+1=0【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式把括号展开，化为ax2+bx+c=0的形式即可【详解】把方程左边两式相乘得2x2+4x+2=1整理得，2x2+4x+1=0故选C【点睛】考查一元二次方程的一般形式，一般形式为：4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的平移特点即可求解.【详解】将抛物线y2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为=故选A.【点睛
12、】此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知抛物线的平移规律.5. 若，为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据点在函数图象上，把点代入二次函数，进行比较，即可【详解】，为二次函数的图象上的三点故选：D【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的性质6. 如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，若AOB=15，则AOB的度数是（ ）A. 25B. 30C. 35D. 40【答案】B【解析】【详解】解：将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，AOA=45，AOB=AOB=15，AOB=AOA
13、-AOB=45-15=30，故选B7. 关于x的方程的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判定【详解】解：，无论k取何值时，此方程有两个不相等的实数根，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2bx的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a0，b0，对于二次函数y=ax2bx图像应该开口向上，对
14、称轴在y轴右侧，不合题意，选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a0，b0，对于二次函数y=ax2bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a0，b0，对于二次函数y=ax2bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意，选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a0，b0，对于二次函数y=ax2bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意故选：C9. 北京市市政府为了申办年冬奥委，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，希望绿地面积可以增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
15、【分析】假设2020年绿化面积为1，利用增长率求解即可【详解】假设2020年绿化面积为1，增长率为x0，则（1+x）21=44%解得：x=20%，所以增长率为20%，故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用增长率列一元二次方程是解题的关键.10. 当2x1时，二次函数y=（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A. B. 或C. 2或D. 2或或【答案】C【解析】【分析】根据对称轴位置，分三种情况讨论求解即可【详解】二次函数的对称轴为直线x=m，m2时，x=2时二次函数有最大值，此时（2m）2+m2+1=4，解得m=，与m2矛盾，故m值不存在；当2m1时，x=m时，二次函数有
16、最大值，此时，m2+1=4，解得m=，m=（舍去）；当m1时，x=1时二次函数有最大值，此时，（1m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或故选C第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分）11. 已知x1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则m22mnn2的值为_【答案】【解析】【分析】根据题意首先求出，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可【详解】把代入一元二次方程得，所以.故答案：1【点睛】本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键12. 若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为_【答案
17、】6【解析】【分析】根据，列方程计算求解即可【详解】因为抛物线的顶点在x轴上，所以，所以，解得b=6，故答案为：6【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的特点列方程计算是解题的关键13. 飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是，飞机着陆后滑行_米才能停下来【答案】600【解析】【分析】将函数解析式配方成顶点式，求出函数的最大值即可详解】解：，当时，y有最大值600，飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键14. 已知如图二次函数y1=ax2+bx+
18、c（a0）与一次函数y2=kx+m（k0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1y2成立的x的取值范围是_【答案】-2x8【解析】【分析】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可【详解】解：由图可知，-2x8时，y1y2 故答案为-2x8【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视15. 在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，如果点在y轴右侧的抛物线上，那么点的坐标是_【答案】（1，-6）或（4，6）【解析】【分析】根据抛物线的定义
19、可求出m=2，然后再令y=0，解方程求出A，B两点，再令x=0，求出C点坐标，设出M点坐标，根据它在抛物线上和SABO=SCOB，这两个条件求出M点坐标【详解】y=x2-x-6为抛物线，抛物线y=x2-x-6与x轴交于A，B两点，令y=0，设方程x2-x-6=0的两根为x1，x2，x1=-2，x2=3，A（-2，0），B（3，0），设M点坐标为（a，a2-a-6），（a0）SAMO=SCOB，AO|yM|=OC|xB|，2|a2-a-6|=63，解得，a1=0，a2=1，a3=-3，a4=4，点M在y轴右侧的抛物线上，a0，a=1，或a=4，a2-a-6=12-1-6=-6，或a2-a-6=4
20、2-4-6=6M点坐标为（1，-6）或（4，6）【点睛】本题考查二次函数的图像与性质.根据面积关系列出等式求解是解题的关键.16. 如图，等边三角形ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60至AE，连接EF，则EF的最小值为_【答案】【解析】【分析】取AB的中点H，连接DH，由“SAS”可证ADHAEF，可得EFDH，由垂线段最短，可得当DHBF时，DH的长最短，即EF有最小值，即可求解【详解】解：如图，取AB的中点H，连接DH，ABC是等边三角形，BF是高，AFCF3，ABF30，点H是AB中点，BHAH3，AHAF，将A
21、D绕点A逆时针旋转60至AE，AEAD，DAE60BAC，DAHFAE，且AFAH，ADAE，ADHAEF（SAS）EFDH，当DHBF时，DH的长最短，即EF有最小值，DH的最小值为BH，EF的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的最值问题，掌握旋转的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键三、解答题（17题8分，18题10分，共18分）17. 解下列方程：（1）（2）【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）利用求根公式法求解即可（2）利用因式分解法求解即可【小问1详解】因为，a=1，b= -4，c=1，0，所以，解得，【小问2详解】因为，所以，解得，【点睛】本题考
22、查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选择求解方法是解题的关键18. 关于x的一元二次方程（m1）x2+2x+m21=0有一个根是x=0，求：（1）m的值；（2）该一元二次方程的另一根【答案】（1）m=-1（2）x=1【解析】【分析】（1）把x=0代入求值即可，注意一元二次方程的定义；（2）把m的值代入，再解方程即可【详解】（1）把x=0代入可得m21=0，解得m=1，又m10m=1；（2）将m=1带入方程整理可得x2x=0，解得x=0或x=1，该方程的另外一个根是x=1【点睛】考查方程根的定义，求得m的值是解题的关键四、解答题（19题10分，20题12分，共22分）19. 线ya(x1)
23、2顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OBOA.(1)求抛物线的解析式；(2)若点C(3，m)在该抛物线上，求ABC的面积【答案】(1) y(x1)2；(2)3【解析】【详解】分析：（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积-三角形ACD面积-三角形AOB面积，求出即可本题解析： (1)依题意可知A(1，0)由OBOA，得B(0，1)将点B(0，1)代入ya(x1)2，得1a(01)2，解得a1.所以y(x1)2
24、.（2）过C作CDx轴，则SABC=S梯形OBCD-SACD-SAOB=123(4+1)-1242-1211=3(2)将C(3，m)代入y(x1)2，得m(31)2，即m4.所以C(3，4)所以SABC1413113.点睛：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键20. 如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒（1）填空：BQ=_cm，PB=_cm；（用含t
25、的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）2t，（5-t）；（2）0秒或2秒；（3）存在，1秒【解析】【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可【详解】解：（1）P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，AP=tcm，A
26、B=5cm，PB=（5-t）cm，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，BQ=2tcm；（2）由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，解得：t1=0，t2=2；当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2理由如下：长方形ABCD的面积是：56=30（cm2），使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则PBQ的面积为30-26=4（cm2），（5-t）2t=4，解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用
27、，关键是表示出BQ、PB的长度 五、解答题（21题10分，22题12分，共22分）21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则c ；（2）若是“倍根方程”，求代数式的值；（3）若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根【答案】（1）2 （2）0 （3）【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式判断c的取值范围设一元二次方程的两个根分别为和，由根与系数的关系和“倍根方程”的定义即可得出关于p，q的二元一次方程组，解出p，q，
28、再代入中，解出c即可；（2）解出该方程得：根据“倍根方程”的定义可分类讨论当时和当时，得出m和n的关系，代入代数式求值即可；（3）设方程的两个根分别为和，且由题意可求出该抛物线的对称轴为，再结合二次函数和一元二次方程的关系可得出最后解出和即可【小问1详解】根据题意可知，设一元二次方程的两个根分别为和，则一元二次方程是“倍根方程”，可设，即，解得：将代入，得，解得：，符合题意故答案为：2；【小问2详解】解方程，得：是“倍根方程”，故可分类讨论：当时，即，将代入，得；当时，即，将代入，得综上可知代数式的值为0【小问3详解】方程是倍根方程，可设其两个根分别为和，且相异两点，都在抛物线上，该抛物线对称
29、轴为，解得：一元二次方程的根为【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解和解一元二次方程，抛物线与x轴的交点与其相关一元二次方程的解的关系等知识掌握若是一元二次方程的两根时，和是解题关键22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱
30、壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是【解析】【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标；（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值【详解】解
31、：（1）由题知点在抛物线上所以，解得，当时，抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）当x=2或x=10时，所以可以通过；（3）令，即，可得，解得答：两排灯的水平距离最小是六、解答题（12分）23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围（2）每件玩具的售价定为多少元时，月
32、销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】（1）（且为正整数）；（2）所以每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）所以每件玩具的售价为36或37元时，可使月利润最大，最大的月利润为元【解析】【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润月销售量即可求出函数关系式；（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，解方程求出x的值即可；（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再
33、根据0x10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可【详解】解：（1）根据题意得：y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0x10且x为正整数；函数关系式为y=-10x2+130x+2300(0x10且x为正整数)；（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，整理得，即，解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去），当x=2时，30+x=32（元），答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）根据题意得：y=-10x2+130x+2300=-10（x-6.5）2+2722.5，a=-1
34、00，当x=6.5时，y有最大值为2722.5，0x10且x为正整数，当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程七、解答题（14分）24. 如图，中，于点，现将沿折叠得到，将沿折叠得到，延长和相交于点（1）求证：四边形是正方形；（2）连接分别交、于点、，将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，试判断线段、之间的数量关系，并
35、说明理由（3）若，求、的长【答案】（1）证明，如下，见解析 （2） （3），【解析】【分析】（1）根据是折叠得到，将是折叠得到，得，；根据，得，即可证明四边形是正方形；（2）连接，根据是折叠而得，则，得，；根据，得，得，推出，得，根据勾股定理，即可得到、的关系；（3）设，得，在直角三角形，根据勾股定理，即可求出；设，在直角三角形中，根据勾股定理，即可求出【小问1详解】是折叠得到，将是折叠得到四边形是矩形又四边形是正方形【小问2详解】理由：连接是折叠而得，在直角三角形中，【小问3详解】设，在直角三角形中，解得，（舍）设在直角三角形中，【点睛】本题考查图形是翻折、折叠、旋转，正方形的判定，全等三角
36、形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握图形翻折、折叠、旋转的性质八、解答题（14分）25. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【答案】（1） （2）；，【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）求出直线BC的表达式，设，其中，则，用含有t的式子表示出，并求其最大值即可；根据等腰三角形的性质，可分为或，分别用含t的式子表示，并列出关于t的方程，表示出来，求出t，再求出点P的坐标【小问1详解】解：二次函数的图象与x轴相交于，两点，解得，二次函数的表达式为【小问2详解】解：令，则，即，设：直线BC的表达式为，点，在直线BC上，解得，直线BC的表达式为，设：，其中，则，当时，取到最大值；当时，解得（舍），当时，解得（舍），（舍），综上：P点的坐标为，【点睛】本题考查了二次函数综合，考查待定系数法求函数表达式、二次函数求最值、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分类讨论并列出关于t的方程是解答本题的关键