1、 20232023 年九年级中考数学复习：二次函数综合题（特殊四边形问题）年九年级中考数学复习：二次函数综合题（特殊四边形问题） 1已知抛物线21=+4(0)2y a xmmam过点0,4A (1)若=2m，求 a的值； (2)如图，顶点 M在第一象限内，B、C 是抛物线对称轴 l上的两点，且MBMC，在直线 l右侧以 BC 为边作正方形 BCDE，点 E 恰好在抛物线上 求 am的值； 试判断点 E 和点 A 是否关于直线 l对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例 2如图，抛物线 yax2-2x+c(a0)与直线 yx+3 交于 A，C 两点，与 x轴交于点 B （1）求抛物线的
2、解析式 （2）点 P 是抛物线上一动点，且在直线 AC 下方，当 ACP的面积为 6 时，求点 P的坐标 （3）D为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以 A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时点 D 的坐标 3如图 1，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC和 BC，OAC60 （1）求二次函数的表达式 （2）如图 2，线段 BC上有 M、N两动点（N在 M上方） ，且 MN32，P是直线 BC下方抛物线上一动点，连接 PC、PB，当 PBC面积最大时，连接 PM、AN，当 MN 运动到某
3、一位置时，PM+MN+NA的值最小，求出该最小值 （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AP，将 AP绕着点 A 逆时针旋转 60 至 AQ点 E为二次函数对称轴上一动点，点 F 为平面内任意一点，是否存在这样的点 E、F，使得四边形 AEFQ为菱形，若存在，请直接写出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由 4直线3yx 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，抛物线2yax2xc经过点 A，B，与 x 轴的另一个交点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若点 P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值； （3） 如图 2，(2,3)D为抛物线上的一
4、点， 直线CD与AB相交于点 M， 点 H在抛物线上， 过 H作HKy轴，交直线CD于点 KP是平面内一点，当以点 M，H，K，P 为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点 P的坐标 5综合与探究 如图 1 所示，直线 y=x+c与 x轴交于点 A（-4，0） ，与 y轴交于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A，C （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 在抛物线的对称轴上，求 CE+OE 的最小值为_ （3）如图 2 所示，M 是线段 OA的上一个动点，过点 M垂直于 x轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点P、N 当ANC面积最大时的 P点坐标为_；最大面积为_ 点 F是直线
5、AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点 D，使以点 D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由 6 如图， 已知抛物线2yaxbxc与 x轴交于点2,0A ，6,0B， 与 y轴交于点 C， 且:1:2C O A O 连接 BC，与抛物线的对称轴交于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线BC上方抛物线上一点，连接PC、PD，求PCD面积的最大值，及当PCD面积最大时点 P 的坐标； （3） M 为抛物线对称轴上一点， N为抛物线上一点， 在 （2） 的基础上， 是否存在这样的点 M， 使得以点 P、C、M、N 为顶点的四边形为平行四
6、边形，若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由 7已知抛物线 y=ax2+bx+3(a0)交 x 轴于 A(1，0)和 B(3，0)，交 y轴于 C （1）求抛物线的解析式； （2）D是抛物线的顶点，P 为抛物线上的一点（不与 D 重合） ，当 SPAB=SABD时，求 P 的坐标； （3）若 F 是 x轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在 F，Q，使以 B，C，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 Q的坐标 8将抛物线 yax2（a0）向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到抛物线 H：ya（xh）2+k.抛物线 H 与 x轴交于点 A，B，与 y
7、轴交于点 C.已知 A（3，0） ，点 P是抛物线 H上的一个动点. （1）求抛物线 H的表达式； （2）如图 1，点 P 在线段 AC 上方的抛物线 H 上运动（不与 A，C 重合） ，过点 P作 PDAB，垂足为 D，PD 交 AC 于点 E.作 PFAC，垂足为 F，求 PEF 的面积的最大值； （3）如图 2，点 Q 是抛物线 H 的对称轴 l上的一个动点，在抛物线 H 上，是否存在点 P，使得以点 A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，说明理由. 9 如图， 已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x轴的一个交点为 B(5， 0
8、)， 另一个交点为 A， 且与 y 轴交于点 C(0，5) （1）求直线 BC与抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线在 x轴下方图象上的动点，过点 M 作/MN y轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点 P 是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以 BC为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ的面积为1S，ABN的面积为2S，且126SS，求点P的坐标 10如图，在平面直角坐标系中抛物线 yx2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B的左侧） ，直线 BC 的解析式为 y122x （1）
9、求抛物线的解析式； （2） 过点 A作 ADBC， 交抛物线于点 D， 点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点， 连接 CE， EB， BD， DC 求四边形 BECD面积最大值时相应点 E的坐标； （3）将抛物线 yx2+bx+c向左平移 2 个单位，已知点 M 为抛物线 yx2+bx+c 的对称轴上一动点点N为平移后的抛物线上一动点在（2）中当四边形 BECD 的面积最大时，是否存在以 A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 11如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx4 与 x轴交于点 A（2，0） 、B（4，0） ，
10、与 y 轴交于点 CE为抛物线上一点，直线 AE 交 y 轴于点 D，且 ODOA （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第四象限内的抛物线上一点，过点 P 作 PQy轴交直线 AE于点 Q，交 x 轴于点 F，过点 P作PGAE于点 G，交 x 轴于点 H，求 PQ22GQ的最大值，并求出此时点 P的坐标； （3）如图 2，点 K 为线段 OD 的中点，作射线 AK，将该抛物线沿射线 AK 方向平移52个单位长度，得到新抛物线 y1a1x2+b1x+c1（a10） ，新抛物线与原抛物线交于点 I点 N 是平面内一点，点 M 是新抛物线上一点，若以点 I、E、M、N为顶点的四边形是以 IE
11、为边的矩形，请直接写出点 N 的坐标 12如图，已知抛物线23yaxbx与 x 轴交于1,0A 、3,0B两点，与 y轴交于点 C，连接BC （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为线段 BC上的一动点（不与 B、C 重合） ，/PM y轴，且PM交抛物线于点 M，交 x轴于点 N，当BCM的面积最大时，求点 P的坐标及最大面积； （3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，点 D 是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 E，使得以 A、P、D、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 13如图，抛物线21yxmxm与直线ykxk交于
12、点 A、B，其中 A点在 x轴上，它们与 y轴交点分别为 C和 D，P为抛物线的顶点，且点 纵坐标为 4，抛物线的对称轴交直线于点 Q （1）求点 A的坐标，并用含 k的代数式表示点 B 的坐标； （2）如图，当四边形 CDOP 为平行四边形时， 求 k 的值； 设 E、 F为线段 DB 上的点 （含端点） ， 横坐标分别为 a，an（n 为正整数） ，/EG y轴交抛物线于点 G 问是否存在正整数 n，使满足1tan2EGF的点 E 有两个？若存在，求出 n；若不存在，请说明理由 14如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴交于点 A(3，0)，B(1，0)两点，于 y 轴交于 C点，且
13、OC3OB，顶点为 D 点，连接 OD （1）求抛物线解析式； （2）P点为抛物线上 AD部分上一动点，过 P点作 PFDE交 AC 于 F点，求四边形 DPAF 面积的最大值及此时 P点坐标 （3）在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平移后的新抛物线对称轴上找一个点 M，在平面内找一个点 N，使以 D、P、M、N 为顶点的四边形为矩形，请直接写出 N 点坐标 15如图，抛物线2yxbxc 与y轴相交于点 C（0，3） ，与x正半轴相交于点 B，负半轴相交于点 A，A 点坐标是（1，0） （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，点 P在第一象限的抛物线上运动，过点 P作 PD
14、x轴，垂足是点 D，线段 BC把线段 PD分成两条线段，其中一条线段长是另一条线段长的2倍，求 P点坐标； （3）如图2，若点 E 在抛物线上，点 F在x轴上，当以 B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 F 的坐标 16已知二次函数2yaxbxc的图像与 x轴交于 A(-3，0)，B(1，0)两点，与 y轴交于点 C(0，-3) （1）求抛物线的解析式； （2）D是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点 D 到直线 AC的距离最大值时点 D的坐标； （3）M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点 N，使以 M、N、B、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，
15、请直接写出点 N的坐标 17 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 y12x+2 与 x轴交于点 A， 与 y轴交于点 B， 抛物线 y12x2+bx+c经过 A，B两点且与 x 轴的负半轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC时，求点 D 的坐标； （3）已知 E，F分别是 x轴和抛物线上的动点，当以 A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 F 点的坐标 18如图，在平面直角坐标系中，直线122yx 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线212yxbxc 经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C
16、（1）求该拋物线的解析式； （2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当2ABDBAC 时，求点D的坐标； （3）已知E，F分别是x轴和拋物线上的动点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，宜接写出所有符合条件的F点的坐标 19如图，抛物线2yaxbxc经过1,0A 、4,0B、0,2C三点，D为抛物线上一个动点 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知E是直线BC上的一动点，若以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）在抛物线2yaxbxc上，当mxn时，y的取值范围是2528y，求mn的取值范围 20如图，已知抛物线 yax2bxc的顶点 D的坐标
17、为（2，9） ，抛物线与坐标轴分别交于 A、B、C三点，且 B 的坐标为（0，5） ，连接 DB、DC，作直线 BC （1）求抛物线的解析式； （2）P 是 x 轴上的一点，过点 P作 x轴的垂线，与 CD 交于 H，与 CB 交于 G，若线段 HG把 CBD 的面积分成相等的两部分，求 P点的坐标； （3）若点 M在直线 CB 上，点 N 在平面上，直线 CB 上是否存在点 M，使以点 C、点 D、点 M、点 N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 1(1)14a (2)12am 点 E 和点 A 关于直线 l对称， 2 （1）223
18、yxx ； （2） （-4，-5）或（1，0） ； （3） （-4，-5）或（2，-5）或（-2，3） 3 （1）232 3333yxx； （2）217342； （3）存在，1111,4或1111,4 4 （1）2yx2x3 ； （2）638； （3）P 点坐标为（5，2）或122，或122，时，以点 M，H，K，P 为顶点的四边形是正方形 5 （1）234yxx ； （2） 5；（3） （-2， 2） ， 8； 存在， 点 D的坐标为 （-3422， -342） 或 （3422，342）或（236，176）或（-4，5） 6 （1）2111123yxx ； （2）面积最大值为34，53,4P
19、； （3）存在，75,12或71,12或51,4 7 （1）抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3； （2）点 P的坐标为（-1+22，-4）或（-1-22，-4） ； （3）点 Q 的 坐标为（-2，3）或（17 ，-3）或（17 ，-3） 8 （1）y（x+1）2+4； （2）8164 ； （3）存在，点 P的坐标为（2，5）或（4，5）或（2，3） 9 （1）5yx ，265yxx； （2）254； （3）点 P 的坐标为（2，-3）或（3，-4） 10 （1）2722yxx ； （2）(2,5)； （3）存在，点 N 的坐标为： 1 81()4 16，或17243()416，或3 77
20、()4 16， 11 （1）y12x2x4； （2）点 P（2，4） ； （3）点 N的坐标为（163，749）或（24173，241239）或（24173，241239） 12 （1）2yx2x3 ； （2）点P的坐标为3(2，3)2，BCM的最大面积为278； （3）39(,)24或79( ,)24或1 7(, )2 4 13 （1）23,4Bkkk ； （2）1k ；不存在， 14 （1）yx2+2x+3； （2）2710，3 15,24； （3）7 31,24或5,72 15 （1）2yx2x3 ； （2）P 点坐标为（12，154） （2，3） ； （3）F1（1，0） ，F2（5，
21、0） ，F3（72，0） ，F4（72，0） 16 （1）y2 23xx； （2） （32，154） ； （3）存在， （2，3）或（0，3）或（2，5） 17 （1）213222yxx ； （2）点 D的坐标为（2，3） ； （3）点 F 的坐标为（3，0） 18（1） 抛物线的解析式为 y=-12x2+32x+2；（2） 点 D 的坐标为 （2， 3） ；（3） 点 F 的坐标为 （3， 2） 或 （3412，-2）或（3412，-2） 19 （1）213222yxx ； （2）5, 3； （3）332mn 20 （1）yx24x5； （2） （3 0 1 02，0） ； （3）存在，点 M 的坐标为（7，12）或（355，35）或（355，35）或（54，154）