1、 福建省福州市鼓楼区福建省福州市鼓楼区二二校校联考联考2021-2022学年学年九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1围棋起源于中国，古代称之为“弈” ，至今已有 4000 多年的历史2017 年 5 月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A B C D 2已知 OA4，以 O 为圆心，r 为半径作O若使点 A 在O 内，则 r 的值可以是（ ） A2 B3 C4 D5 3 把方
2、程 2x （x1） 3x 化成一元二次方程的一般形式， 则二次项系数、 一次项系数、 常数项分别是 （ ） A2，5，0 B2，5，0 C2，5，1 D2，3，0 4对于抛物线 y（x1）22，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是直线 x1 C顶点坐标（1，2） D与 x 轴有交点 5抛物线 y2x2经过平移后得到 y2（x+3）24，其平移方法是（ ） A向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 B向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 C向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 D向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 6方程（x+0.5） （x2）0 的根为
3、（ ） Ax12，x20.5 Bx12，x20.5 Cx12，x20.5 Dx12，x20.5 7如图，AB 是O 的直径，点 C，D 为O 上的点若CAB20，则D 的度数为（ ） A70 B100 C110 D140 8如图，在ABC 中，CAB75，在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB（ ） A30 B35 C40 D50 9x是下列哪个一元二次方程的根（ ） A2x2+3x+10 B2x23x+10 C2x2+3x10 D2x23x10 10如图，在 RtABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 是半径为 2 的A 上一动点，点 M 是 C
4、D的中点，则 BM 的最大值是（ ） A3 B3.5 C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11二次函数 yx2+2 的图象的顶点坐标是 12从、1、1、2 中任取两个数求和作为 a，使抛物线 yax2+bx+c 的开口向上的概率为 13下面是我国南宋数学家杨辉在 1275 年提出的一个问题： “直田积八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步，问阔及长各几步 ”意思是“一个矩形面积 864 平方步，只知道宽比长少 12 步，问宽与长各几步”若设宽为 x 步，依题意可列方程为 14两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八
5、边形，且其各边长都为，每个内角均为 135，则正方形的边长为 15飞机着陆后滑行的距离 s（单位：m）与滑行的时间 t（单位：s）的函数解析式是 s60t1.5t2，那么飞机 着陆后滑行 s 时间才能停下来 16若二次函数 y（x3）2+2m，在自变量满足 mxm+2 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为5，则 m 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 大题，共大题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x24x40 18 （8 分）已知关于 x 的方程x2（m2）x+m20 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 19 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB
6、90 （1）作O，使它过点 A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）所作的圆中，若 AC2，AB4，求劣弧 BC 的长 20 （8 分）一个不透明的袋子中装有分别标注着汉字“博” 、 “雅” 、 “楼”的三个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球 （1）若从中任取一球，球上的汉字恰好是“楼”的概率是 （2）若从袋中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从中任取一球，再次记下球上的汉字，求两次的汉字恰好组成“博雅”这个词的概率 21 （8 分）下表给出了代数式 x2+bx+c 与 x 的一些对应值： x 0 1 2 3 4 x2+bx+c 3
7、m 1 n 3 （1）求出表格中 m、n 的值； （2）设 yx2+bx+c，请直接写出当 x 取何值时，y0 22 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D以 AB 上一点 O 为圆心作O，使O 经过点 A 和点 D （1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC3，B30，且O 与 AB 边的另一个交点为 E，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴影部分的图形面积 （结果保留根号和 ） 23 （10 分）我区“联华”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30 元/千克销售，那么每天可售出400 千克由销
8、售经验知，每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元） （x30）存在如图所示的一次函数关系 （1）试求出 y 与 x 的函数关系式； （2）设超市销售该绿色食品每天获得利润 p 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 24 （12 分）已知等边ABC，点 D 为 BC 上一点，连接 AD （1）若点 E 是 AC 上一点，且 CEBD，连接 BE，BE 与 AD 的交点为点 P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出APE 的大小； （2）将 AD 绕点 A 逆时针旋转 120，得到 AF，连接 BF 交 AC 于点 Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段 AQ
9、 和 CD 的数量关系，并证明 25 （14 分）已知抛物线 yax2a（a0） （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）设 C 为抛物线上的一定点，抛物线和 x 轴交点为 E、F，直线 l：ykx+2k+3 与抛物线交于点 A、B（点 B 与点 C 不重合） ，与 y 轴交于点 P，直线 BD 垂直于直线 ya，垂足为 D，且CEF 为等腰直角三角形 求点 C 的坐标和抛物线的解析式； 证明：对于每一个给定的实数 k，都有 DPAC 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1围棋起源于中国，古代
10、称之为“弈” ，至今已有 4000 多年的历史2017 年 5 月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 2已知 OA4，以 O 为圆心，
11、r 为半径作O若使点 A 在O 内，则 r 的值可以是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据点 A 与O 的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可 【解答】解：已知 OA4，以 O 为圆心，r 为半径作O若使点 A 在O 内， 点 A 到圆心的距离应该小于圆的半径， 圆的半径应该大于 4 故选：D 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大 3 把方程 2x （x1） 3x 化成一元二次方程的一般形式， 则二次项系数、 一次项系数、 常数项分别是 （ ） A2，5，0 B2，5，0 C2，5，1 D2，3，0 【分析】
12、方程整理为一般形式，找出所求即可 【解答】解：方程 2x（x1）3x， 整理得：2x25x0， 则二次项系数为 2，一次项系数为5，常数项为 0 故选：B 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为 ax2+bx+c0（a0） ，其中 ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项一次项系数 b 和常数项 c 可取任意实数，二次项系数 a 是不等于 0 的实数 4对于抛物线 y（x1）22，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是直线 x1 C顶点坐标（1，2） D与 x 轴有交点 【分析】根据二次函数的性质对 A 进行判断；由抛物线顶点式可对 B，C
13、 进行判断；令 y0，则（x1）220，可求出方程的根，对 D 进行判断 【解答】解：由 y（x1）22，可知，a10，则抛物线的开口向上， A 选项不正确， 抛物线的对称轴为 x1， B 选项不正确， 抛物线的顶点坐标为（1，2） ， C 选项不正确， 令 y0，则（x1）220， x1， x11+， 抛物线与 x 轴的交点为：， D 选项正确，符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与 x 轴的交点坐标的求法是解决问题的关键 5抛物线 y2x2经过平移后得到 y2（x+3）24，其平移方法是（ ） A向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个
14、单位 B向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 C向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 D向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0） ，平移后抛物线顶点坐标为（3，4） ，由此确定平移规律 【解答】解：y2（x+3）24， 该抛物线的顶点坐标是（3，4） ， 抛物线 y2x2的顶点坐标是（0，0） ， 平移的方法可以是：将抛物线 y2x2向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法 6方程（x+0.5） （x2）0 的根为（ ） Ax1
15、2，x20.5 Bx12，x20.5 Cx12，x20.5 Dx12，x20.5 【分析】根据一元二次方程得出两个一元方程，再求出方程的解即可 【解答】解： （x+0.5） （x2）0， x20，或 x+0.50， 解得：x12，x20.5， 故选：A 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键 7如图，AB 是O 的直径，点 C，D 为O 上的点若CAB20，则D 的度数为（ ） A70 B100 C110 D140 【分析】求出B70，再根据圆内接四边形的性质求出ADC 即可 【解答】解：AB 是直径， ACB90， CAB20， ABC902070
16、， ADC+ABC180， ADC110， 故选：C 【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 8如图，在ABC 中，CAB75，在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB（ ） A30 B35 C40 D50 【分析】旋转中心为点 A，B 与 B，C 与 C分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角BABCAC，ACAC，再利用平行线的性质得CCACAB，把问题转化到等腰ACC中，根据内角和定理求CAC，即可求出BAB的度数 【解答】解：CCAB，CAB75， CCACAB75， 又C、C为对应点，点
17、 A 为旋转中心， ACAC，即ACC为等腰三角形， BABCAC1802CCA30 故选：A 【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角同时考查了平行线的性质 9x是下列哪个一元二次方程的根（ ） A2x2+3x+10 B2x23x+10 C2x2+3x10 D2x23x10 【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案 【解答】解：A此方程的解为 x，不符合题意； B此方程的解为 x，不符合题意； C此方程的解为 x，符合题意； D此方程的解为 x，不符合题意； 故选：C 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握
18、解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 10如图，在 RtABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 是半径为 2 的A 上一动点，点 M 是 CD的中点，则 BM 的最大值是（ ） A3 B3.5 C D 【分析】如图，取 AC 的中点 N，连接 MN，BN利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出 BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题 【解答】解：如图，取 AC 的中点 N，连接 MN，BN ABC90，AB4，BC3， AC5， ANNC， BNAC， ANNC，DMMC， MNAD
19、1， BMBN+NM， BM1+， BM， BM 的最大值为 故选：B 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11二次函数 yx2+2 的图象的顶点坐标是 （0，2） 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】解：二次函数 yx2+2 的图象的顶点坐标是（0，2） 故答案为： （0，2） 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键 12从、1、1、2 中任取两
20、个数求和作为 a，使抛物线 yax2+bx+c 的开口向上的概率为 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出使抛物线 yax2+bx+c 的开口向上的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种等可能的情况数，其中使抛物线 yax2+bx+c 的开口向上的有 8 种， 则抛物线 yax2+bx+c 的开口向上的概率为 故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数及二次函数的图象与性质 13下面是我国南宋数学家杨辉在 1275 年提出的一个问题： “直田
21、积八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步，问阔及长各几步 ”意思是“一个矩形面积 864 平方步，只知道宽比长少 12 步，问宽与长各几步”若设宽为 x 步，依题意可列方程为 x（x+12）864 【分析】若设宽为 x 步，则长为（x+12）步，根据直田的面积为 864 平方步，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：若设宽为 x 步，则长为（x+12）步， 依题意得：x（x+12）864 故答案为：x（x+12）864 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 14两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八边形
22、，且其各边长都为，每个内角均为 135，则正方形的边长为 2+ 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到 ABACBC，求得 AB1，于是得到 DE2+，即可得到结论 【解答】解：如图，由题意得，ABC 是等腰直角三角形， ABACBC， BC， AB1， BDABACCE1， DE2+， 正方形的边长为 2+， 故答案为：2+ 【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，求得 BDABACCE1 15飞机着陆后滑行的距离 s（单位：m）与滑行的时间 t（单位：s）的函数解析式是 s60t1.5t2，那么飞机 着陆后滑行 20 s 时间才能停下来 【分析】根据飞机从滑行到停
23、止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时 t，进而得出答案 【解答】解：a1.50， 函数有最大值， 当 t（秒） ， 即飞机着陆后滑行 20 秒能停下来 故答案为：20 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键 16若二次函数 y（x3）2+2m，在自变量满足 mxm+2 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为5，则 m 的值为 或2 【分析】分三种情况讨论列出关于 m 的方程，解方程即可 【解答】解：二次函数 y（x3）2+2m， 图象开口向上，对称轴为直线 x3， 当 3m 时， 在自变量 x 的值满足 mxm+2 的情况
24、下，y 随 x 的增大而增大， 当 xm 时，y（m3）2+2mm24m+9 为最小值， m24m+95， 解得 m2，不合题意； 当 m3m+2 时， x3，y（x3）2+2m2m 为最小值， 2m5，解得，m； 当 3m+2，即 m1， 在自变量 x 的值满足 mxm+2 的情况下，y 随 x 的增大而减小， 故当 xm+2 时，y（m+23）2+2mm2+1 为最小值， m2+15解得，m12（舍去） ，m22； 综上，m 的值为或2 故答案为或2 【点评】本题考查了二次函数的性质，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自
25、变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 大题，共大题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x24x40 【分析】求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可 【解答】解：a1，b4，c4， b24ac（4）241（4）320， x， x12+2，x222 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力 18 （8 分）已知关于 x 的方程x2（m2）x+m20 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 【分析】由根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取
26、值范围 【解答】解：关于 x 的方程x2（m2）x+m20 有两个不相等的实数根， （m2）24m20， 解得：m1 故 m 的取值范围为 m1 【点评】 本题考查了根的判别式， 根据根的判别式0， 找出关于 m 的一元一次不等式是解题的关键 19 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90 （1）作O，使它过点 A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）所作的圆中，若 AC2，AB4，求劣弧 BC 的长 【分析】 （1）利用尺规作 AB 的垂直平分线，即可作O，使它过点 A、B、C； （2）根据 AC2，AB4，利用弧长公式即可求劣弧 BC 的长 【解答】解： （
27、1）如图，O 即为所求； （2）由（1）可知： OAOCAC2， OAC 是等边三角形， COA60， COB120， 答：劣弧 BC 的长为 【点评】本题考查了作图复杂作图，勾股定理，弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长公式 20 （8 分）一个不透明的袋子中装有分别标注着汉字“博” 、 “雅” 、 “楼”的三个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球 （1）若从中任取一球，球上的汉字恰好是“楼”的概率是 （2）若从袋中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从中任取一球，再次记下球上的汉字，求两次的汉字恰好组成“博雅”这个词的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即
28、可； （2）画树状图，共有 9 种等可能的结果，两次的汉字恰好组成“博雅”这个词的结果有 2 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）若从中任取一球，球上的汉字恰好是“楼”的概率是， 故答案为：； （2）画蛇添足如下： 共有 9 种等可能的结果，两次的汉字恰好组成“博雅”这个词的结果有 2 种， 两次的汉字恰好组成“博雅”这个词的概率为 【点评】本题考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键 21 （8 分）下表给出了代数式 x2+bx+c 与 x 的一些对应值： x 0 1 2 3 4 x2+bx+c 3 m 1 n 3 （1）求出表格中 m、n 的值； （2）设 yx2+
29、bx+c，请直接写出当 x 取何值时，y0 【分析】 （1）从表格中取 x0，求出 c3，取 x2，求出 b4，从而确定 yx24x+3，即可求 m、n 的值； （2）观察表格，结合函数解析式即可求解 【解答】解： （1）当 x0 时，c3， 当 x2 时，4+2b+31， b4， yx24x+3， 当 x1 时，m0， 当 x3 时，n0； （2）yx24x+30， x3 或 x1 【点评】本题考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键 22 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D以 AB 上一点 O 为圆心作O
30、，使O 经过点 A 和点 D （1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC3，B30，且O 与 AB 边的另一个交点为 E，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴影部分的图形面积 （结果保留根号和 ） 【分析】 （1）连接 OD，根据平行线判定推出 ODAC，推出 ODBC，根据切线的判定推出即可； （2）根据含有 30角的直角三角形的性质得出 OB2OD2r，AB2AC3r，从而求得半径 r 的值，根据 S阴影SBODS扇形DOE求得即可 【解答】解： （1）直线 BC 与O 相切； 连接 OD， OAOD， OADODA， BAC 的角平分线 AD 交 BC
31、边于 D， CADOAD， CADODA， ODAC， ODBC90，即 ODBC 又直线 BC 过半径 OD 的外端， 直线 BC 与O 相切 （2）设 OAODr，在 RtBDO 中，B30， OB2r， 在 RtACB 中，B30， AB2AC6， 3r6，解得 r2 在 RtACB 中，B30， BOD60 B30，ODBC， OB2OD， AB3OD， AB2AC6， OD2，BD2， SBODODBD2， 所求图形面积为 【点评】本题考查了切线的判定，含有 30角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力 23 （10 分）我区“联华”超市购进一批 20
32、元/千克的绿色食品，如果以 30 元/千克销售，那么每天可售出400 千克由销售经验知，每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元） （x30）存在如图所示的一次函数关系 （1）试求出 y 与 x 的函数关系式； （2）设超市销售该绿色食品每天获得利润 p 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】 （1）由一次函数的图象可知过（30，400）和（40，200） ，利用待定系数法可求得 y 与 x 的关系式； （2）利用 x 可表示出 p，再利用二次函数的性质可求得 p 的最大值 【解答】解： （1）设一次函数解析式为 ykx+b（k0） ， 由图象可知一次函数的过（
33、30，400）和（40，200） ， 代入解析式可得，解得， y 与 x 的函数关系式为 y20 x+1000（30 x50） ； （2）由（1）可知每天的销售量为 y 千克， py（x20）（20 x+1000） （x20）20 x2+1400 x+2000020（x35）2+4500， 200， p20（x35）2+4500 是开口向下的抛物线， 当 x35 时，p 有最大值，最大值为 4500 元， 即销售单价为 35 元时，每天可获得最大利润，最大利润为 4500 元 【点评】本题主要考查二次函数的应用，求得每天的销售量 y 与 x 的函数关系式是解题的关键，注意二次函数最值的求法 2
34、4 （12 分）已知等边ABC，点 D 为 BC 上一点，连接 AD （1）若点 E 是 AC 上一点，且 CEBD，连接 BE，BE 与 AD 的交点为点 P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出APE 的大小； （2）将 AD 绕点 A 逆时针旋转 120，得到 AF，连接 BF 交 AC 于点 Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段 AQ 和 CD 的数量关系，并证明 【分析】 （1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BADCBE， 根据三角形的外角的性质得到APEBAD+ABPCBE+ABPABC60根据旋转的性质得到 AFA
35、D，DAF120根据全等三角形的性质得到 AQQE，于是得到结论 【解答】 （1）补全图形图 1， 证明：在ABD 和BEC 中， ABDBEC（SAS） BADCBE APE 是ABP 的一个外角， APEBAD+ABPCBE+ABPABC60； （2）补全图形图 2， 证明：在ABD 和BEC 中， ABDBEC（SAS） BADCBE， APE 是ABP 的一个外角， APEBAD+ABPCBE+ABPABC60 AF 是由 AD 绕点 A 逆时针旋转 120得到， AFAD，DAF120 APE60， APE+DAF180 AFBE， 1F， ABDBEC， ADBE AFBE 在AQ
36、F 和EQB 中， AQFEQB（AAS） ， AQQE， ， AEACCE，CDBCBD， 且 ACBC，CEBD AECD， 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 25 （14 分）已知抛物线 yax2a（a0） （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）设 C 为抛物线上的一定点，抛物线和 x 轴交点为 E、F，直线 l：ykx+2k+3 与抛物线交于点 A、B（点 B 与点 C 不重合） ，与 y 轴交于点 P，直线 BD 垂直于直线 ya，垂足为 D，且CEF 为等腰直角三角形 求点 C 的坐标和抛物线的解析式； 证明
37、：对于每一个给定的实数 k，都有 DPAC 【分析】 （1）令 y0，得 ax2a0，解得：x1 或 x1，即可得出抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）由 E（1，0） ，F（1，0） ，CEF 为等腰直角三角形，可得 C（0，1） ，将 C（0，1）代入yax2a 中，即可求得答案； 通过解方程组可求得直线 ykx+2k+3 与抛物线交点 A、B 的坐标，正确的 D、P 的坐标，利用待定系数法求出直线 AC、DP 的解析式，即可利用两条直线一次项系数的关系判断两条直线是否平行 【解答】解： （1）在 yax2a 中，令 y0，得 ax2a0， a0， x210， 解得：x1 或 x1， 抛物
38、线与 x 轴的交点坐标为（1，0）和（1，0） ； （2）yax2a， E（1，0） ，F（1，0） ， CEF 为等腰直角三角形， CECF，ECF90，CEFCFE45， EOCFOC90，OEOF1， OCOE1， C（0，1） ， 将 C（0，1）代入 yax2a 中，则a1， a1， 抛物线的解析式为 yx21； 由题意得：， 解得：或， A（2，3） ，B（k+2，k2+4k+3） ，且 k+20， 直线 BD 垂直于直线 y1，垂足为 D， D（k+2，1） ， 在 ykx+2k+3 中，令 x0，得 y2k+3， P（0，2k+3） ， 设直线 AC 解析式为 ymx+n， 则， 解得：， 直线 AC 解析式为 y2x1， 设直线 DP 的解析式为 ymx+n， 则， 解得：， 直线 DP 的解析式为 y2x+2k+3， ACDP 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，等腰直角三角形性质等，解题关键是利用两条直线解析式中一次项系数相等判断两条直线平行