1、 四川省成都市金牛区二校联考四川省成都市金牛区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试卷学年九年级上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） A50 Bx+2y5 Cx25 D3x2+xy5 2若反比例函数 y（k0）的图象经过点（2，1） ，则该反比例函数的图象在（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 4下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ） Ac3，b6，c2，d4 Ba1，b，c
2、，d2 Ca4，b6，c5，d10 Da2，b，c2，d 5若一元二次方程 x2+2x+a0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba4 Ca1 Da1 6如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F，若，则的值为（ ） A B C D 7若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AB8cm，ACBC，则 AC 等于（ ） Acm B2（1）cm C4（1）cm D6（1）cm 8如图，12，则下列各式不能说明ABCADE 的是（ ） ADB BEC C D 9扬帆中学有一块长 30m，宽 20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小
3、禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为 xm，则可列方程为（ ） A （30 x） （20 x）2030 B （302x） （20 x）2030 C30 x+220 x2030 D （302x） （20 x）2030 10已知函数 y（k0）经过点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，如果 x10 x2，那么（ ） Ay10y2 By20y1 Cy2y10 D0y2y1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分） 。分） 。 11 （4 分）已知，则 12 （4 分）已知 x2 是关于 x 一元二次方程 x2+kx6
4、0 的一个根，则另一根是 13 （4 分）如图，已知反比例函数 y（k 为常数、k0）的图象经过点 A，过 A 点作 ABx 轴，垂足为B若AOB 的面积为 2，则 k 14 （4 分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE40cm，EF20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD8m，则树高 AB m 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15 （10 分）用适当的方法解下列方程： （1）x22x30 （
5、2） （x+1）22x（x+1） 16 （8 分）如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，BADC （1）求证：ABDCBA； （2）若 AB8，BD4，求 CD 的长 17 （8 分）已知 O 是坐标原点，A、B 的坐标分别为（3，1） 、 （2，1） （1）画出OAB 绕点 O 顺时针旋转 90后得到的OA1B1； （2）在 y 轴的左侧以 O 为位似中心作OAB 的位似图形OA2B2，使新图与原图相似比为 2：1； （3）求出OA2B2的面积 18 （8 分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动，小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法
6、社团、科技社团，分别用字母 A，B，C，D 依次表示这四个社团，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上 （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率是 ； （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D的概率 19 （10 分） 如图， 一次函数 yx+5 的图象与反比例函数 y （k 为常数且 k0） 的图象交于 A （2， a） ，B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达
7、式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC，求点 P 的坐标 （3）直接写出 x+50 的解集 20 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点（不与 C，D 两点重合） ，连接 BE，过点 C 作CHBE 于点 F，交对角线 BD 于点 G，交 AD 边于点 H，连接 GE， （1）求证：CHBE； （2）如图 2，若点 E 是 CD 的中点，当 BE8 时，求线段 GH 的长； （3）设正方形 ABCD 的面积为 S1，四边形 DEGH 的面积为 S2，当的值为时，求的值 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4
8、分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）若 x1，x2是一元二次方程 x25x+60 的两个实数根，则 x1x2x1x2的值为 22 （4 分） 从数3， 0， 2 中任取一个数记为 a， 再从余下的三个数中， 任取一个数记为 b 若 ka+b，反比例函数 y的图象经过第一、三象限的概率是 23 （4 分）如图，OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，点 D（2，2）在对角线 OB 上，反比例函数 y （k0，x0）的图象经过 C、D 两点已知OABC 的面积是 5，则点 B 的坐标为 24 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（，1） ， （3，1） ，
9、 （3，0） ，点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 ABAC 交 y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动设点 B 的坐标为（0，b） ，则 b 的最小值为 25 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是线段 CD 上一点，连接 AE，将ADE 沿 AE 翻折至AEF，连接 BF 并延长 BF 交 AE 延长线于点 P，当 PFBF 时， 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为 70 元，销售价为 100 元时，每天可售出 20件，今年
10、受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，那么平均可多售出 2 件 （1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利 750 元？ （2）要想平均每天盈利 1000 元，可能吗？请说明理由 27 （10 分）在ABC 中，P 为边 AB 上一点 （1）如图 1，若ACPB，求证：AC2APAB； （2）若 M 为 CP 的中点，AC4 如图 2，若PBMACP，AB7，求 BP 的长； 如图 3，若ABC45，ABMP60，求 BP 的长 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与 ykx+4 分别交 x 轴于点
11、 A、B，两直线交于y 轴上同一点 C，点 D 的坐标为（，0） ，点 E 是 AC 的中点，连接 OE 交 CD 于点 F （1）求点 F 的坐标； （2）若OCBACD，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，过点 F 作 x 轴的垂线 1，点 M 是直线 BC 上的动点，点 N 是 x 轴上的动点，点P 是直线 l 上的动点，使得以 B，P，M、N 为顶点的四边形是菱形，求点 P 的坐标 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） A50 Bx+2y5 Cx25
12、 D3x2+xy5 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程求解即可 【解答】解：A是分式方程，故本选项不合题意； B是二元一次方程，故本选项不合题意； C是一元二次方程，故本选项符合题意； D是二元二次方程，故本选项不合题意； 故选：C 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 2若反比例函数 y（k0）的图象经过点（2，1） ，则该反比例函数的图象在（ ） A第一、二象
13、限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 【分析】先把点（2，1）代入反比例函数求出 k 的值，再由反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y（k0）的图象经过点（2，1） ， k2（1）20， 该反比例函数的图象的两个分支分别位于二四象限 故选：D 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案 【解答】解：从左边看一个正方形被分成两部分，正方形中间有一条横向的虚线 故选：D 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是
14、从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示 4下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ） Ac3，b6，c2，d4 Ba1，b，c，d2 Ca4，b6，c5，d10 Da2，b，c2，d 【分析】只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断 【解答】解：A、6234，是成比例线段，故本选项不符合题意； B、12，是成比例线段，故本选项不符合题意； C、65410，不是成比例线段，故本选项符合题意； D、22，是成比例线段，故本选项不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键
15、 5若一元二次方程 x2+2x+a0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba4 Ca1 Da1 【分析】首先得出根的判别式b24ac44a0，进一步求得不等式的解集得出答案即可 【解答】解：一元二次方程 x2+2x+a0 有实数根， 0，即44a0， a1 故选：A 【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 6如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F，若，则的值为（ ） A B C D 【分析】直接利用平行线分线段
16、成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可 【解答】解：l1l2l3， ， ， ； 故选：A 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键 7若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AB8cm，ACBC，则 AC 等于（ ） Acm B2（1）cm C4（1）cm D6（1）cm 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比 【解答】解：根据黄金分割点的概念得：ACAB4（1）cm 故选：C 【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值 8如图，12，则下列各式不能说明ABCADE 的是（
17、） ADB BEC C D 【分析】根据12，可知DAEBAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可 【解答】解：A 和 B 符合有两组角对应相等的两个三角形相似； C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似 故选：D 【点评】此题考查了相似三角形的判定： 有两个对应角相等的三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等，则两个三角形相似 9扬帆中学有一块长 30m，宽 20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度
18、设花带的宽度为 xm，则可列方程为（ ） A （30 x） （20 x）2030 B （302x） （20 x）2030 C30 x+220 x2030 D （302x） （20 x）2030 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得 【解答】解：设花带的宽度为 xm，则可列方程为（302x） （20 x）2030， 故选：D 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系 10已知函数 y（k0）经过点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，如果 x10 x2，那么（ ） Ay10y2 By20y1 Cy2y10 D0y2y1 【分析】先根
19、据 k0 判断出函数图象所在的象限，再根据 x10 x2即可解答 【解答】解：k0， 函数 y（k0）的图象在二、四象限， x10 x2， 点 P1（x1，y1）在第二象限，P2（x2，y2）在第四象限， y10，y20， 故选：A 【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分） 。分） 。 11 （4 分）已知，则 【分析】根据，得出，再把化成 1+，即可得出答案 【解答】解：， ， 1+1+ 故答案为： 【点评】此题考查了比例的性质，解
20、题的关键是根据已知条件得出 12 （4 分）已知 x2 是关于 x 一元二次方程 x2+kx60 的一个根，则另一根是 3 【分析】设方程的另一个根为 x2，根据两根之积列出关于 x2的方程，解之可得答案 【解答】解：设方程的另一个根为 x2， 则 2x26， 解得 x23， 故答案为：3 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 x1，x2是方程 x2+px+q0 的两根时，x1+x2p，x1x2q 13 （4 分）如图，已知反比例函数 y（k 为常数、k0）的图象经过点 A，过 A 点作 ABx 轴，垂足为B若AOB 的面积为 2，则 k 4 【分析】根据反比例函数的性质可以得
21、到AOB 的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系 【解答】解：依据比例系数 k 的几何意义可得AOB 的面积等于|k|2， 解得 k4， 反比例函数 y（k 为常数，k0）的图象在第二和第四象限， k4 故答案为：4 【点评】 本题考查反比例系数 k 的几何意义， 熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键 14 （4 分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE40cm，EF20cm，测得边 DF
22、 离地面的高度 AC1.5m，CD8m，则树高 AB 5.5 m 【分析】利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB 【解答】解：DEFBCD90，DD DEFDCB DE40cm0.4m，EF20cm0.2m，AC1.5m，CD8m， BC4 米， ABAC+BC1.5+45.5 米， 故答案为：5.5 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15 （10 分）用适当的方法解下列方程： （1）x22x30 （
23、2） （x+1）22x（x+1） 【分析】 （1）利用因式分解法解方程； （2）先移项得到 x（x+4）+3（x+4）0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）x22x30 （x3） （x+1）0， x30 或 x+10， 所以 x13，x21 （2） （x+1）22x（x+1） （x+1）22x（x+1）0， （x+1） （x+1）0， x+10 或x+10， 所以 x11，x21 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0， 这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程
24、进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 16 （8 分）如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，BADC （1）求证：ABDCBA； （2）若 AB8，BD4，求 CD 的长 【分析】 （1）根据两角对应相等证明ABDCBA； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可 【解答】 （1）证明：BADC，BB， ABDCBA； （2）解：设 DCx， ABDCBA， ， ， 解得，x12； 即 CD12 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键 17 （8 分）已知 O 是坐标原点，A、
25、B 的坐标分别为（3，1） 、 （2，1） （1）画出OAB 绕点 O 顺时针旋转 90后得到的OA1B1； （2）在 y 轴的左侧以 O 为位似中心作OAB 的位似图形OA2B2，使新图与原图相似比为 2：1； （3）求出OA2B2的面积 【分析】 （1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）以 x 轴为分割线，将OA2B2分成两部分，即可求得OA2B2的面积 【解答】解： （1）如图所示：OA1B1即为所求； （2）如图所示：OA2B2即为所求； （3）OA2B2的面积5（2+2）10 【点评】此题主要考查了位似
26、变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键 18 （8 分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动，小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团，分别用字母 A，B，C，D 依次表示这四个社团，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上 （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率是 ； （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D的
27、概率 【分析】 （1）共有 4 种可能出现的结果，其中是“足球社团 B”的有 1 种，因此从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率； （2） 用列表法列举出所有可能出现的结果， 从中找出 “有一张为科技社团 D” 的结果数， 进而求出概率 【解答】解： （1）共有 4 种可能出现的结果，其中是“足球社团 B”的有 1 种，因此从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率是； 故答案为：； （2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 12 种可能出现的结果数，其中“有一张为 D”的有 6 种， 因此，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D 的概率 【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件
28、发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件 19 （10 分） 如图， 一次函数 yx+5 的图象与反比例函数 y （k 为常数且 k0） 的图象交于 A （2， a） ，B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC，求点 P 的坐标 （3）直接写出 x+50 的解集 【分析】 （1）由一次函数解析式可求出点 A 的坐标，再将点 A 代入反比例解析式即可； （2）首先求出一次函数与反比例函数的交点 B 的坐标，设 P（x，0） ，再根据 SACPSBOC，即可列出方程解决问题； （3）直接根
29、据图象可得不等式的解集 【解答】解： （1）将点 A（2，a）代入 yx+5，得 a3， A（2，3） ， 将 A（2，3）代入 y，得 k6， 反比例函数的表达式为 y； （2）联立两个函数的表达式得， 得或， B（3，2） ， 当 x+50 时，得 x5， C（5，0） ， 设 P（x，0） ， SACPSBOC， ， 解得 x或， P（）或（） ； （3）由图象可知：当 x3 或2x0 时，x+50， x+50 的解集为：x3 或2x0 【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，函数与不等式、方程的关系，待定系数法求函数解析式，三角形面积等知识，求出点 B 的坐标是解题的关键 20
30、（10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点（不与 C，D 两点重合） ，连接 BE，过点 C 作CHBE 于点 F，交对角线 BD 于点 G，交 AD 边于点 H，连接 GE， （1）求证：CHBE； （2）如图 2，若点 E 是 CD 的中点，当 BE8 时，求线段 GH 的长； （3）设正方形 ABCD 的面积为 S1，四边形 DEGH 的面积为 S2，当的值为时，求的值 【分析】 （1）可得CHDBEC，根据 AAS 可证明DHCCEB，即可求解； （2）由三角形全等，可得则 GC2GH，可求出 GH 的长； （3）设 SDGH9a，则 SBCG49a，SDC
31、G21a，求出 S1和 S2即可得出答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， CDBC，HDCBCE90， DHC+DCH90， CHBE， EFC90， ECF+BEC90， CHDBEC， DHCCEB（AAS） ， CHBE； （2）DHCCEB， CHBE，DHCE， CEDECD，CDCB， DHBC， DHBC， ， GC2GH， 设 GHx，则，则 CG2x， 3x8， x 即 GH； （3）当的值为时，则， DHCE，DCBC， ， DHBC， ， ， 设 SDGH9a，则 SBCG49a，SDCG21a， SBCD49a+21a70a， S12SBCD140a，
32、 SDEG：SCEG4：3， SDEG12a， S212a+9a21a 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）若 x1，x2是一元二次方程 x25x+60 的两个实数根，则 x1x2x1x2的值为 1 【分析】根据根与系数的关系求解 【解答】解：根据题意得 x1+x25，x1x26， 所以，x1x2x1x2x1x2（x1+x2）651， 故答案为
33、1 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x2，则x1+x2，x1x2 22 （4 分） 从数3， 0， 2 中任取一个数记为 a， 再从余下的三个数中， 任取一个数记为 b 若 ka+b，反比例函数 y的图象经过第一、三象限的概率是 【分析】 反比例函数 y的图象经过第一、 三象限， 则 k0， 当 a3 时， b， 0， 2， 则 ka+b，均小于 0， （2）a时，k0 数值的个数为 1 个； （3）a0 时，同理可得：即 k0 数值的个数为 1个； （4）a2 时，同理可得：即 k0 数值的个数为 2 个；即可求解 【解答】解：
34、反比例函数 y的图象经过第一、三象限，则 k0， （1）当 a3 时，b，0，2，则 ka+b，均小于 0， （2）a时，b3，0，2，k，即 k0 数值的个数为 1 个； （3）a0 时，同理可得：即 k0 数值的个数为 1 个； （4）a2 时，同理可得：即 k0 数值的个数为 2 个； 故在 k 的 12 个数值中有 4 个大于 0 的，即概率为， 故答案为： 【点评】 本题主要考查反比例函数的性质， 通过讨论的方法， 逐次求出各种情况下 k 的符号， 即可求解 23 （4 分）如图，OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，点 D（2，2）在对角线 OB 上，反比例函数 y （k0，
35、x0）的图象经过 C、D 两点已知OABC 的面积是 5，则点 B 的坐标为 （3，3） 【分析】由点 D（2，2）在反比例函数 y的图象上，可求出 k 的值，再利用反比例函数系数 k 的几何意义求出 SCON2， 再根据平行四边形的性质看得出 SCON2SBAM， 根据对角线 BO 过点 D （2， 2） ，可得点 B 的纵横坐标相等，设未知数表示正方形的面积，即可求出点 B 坐标 【解答】解：过点 B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M、N，则 BN 过点 C， 点 D（2，2）在反比例函数 y的图象上， k224， SCON|k|2， 四边形 OABC 是平行四边形， OCAB
36、，BCOA， BMON， 在 RtONC 与 RtBMA 中， OCBA，BMON， RtONCRtBMA（HL） ， SCON2SBAM， 由于 BD 是对角线，且 D（2，2） ，于是可设 B（b，b） ， 矩形 OMBN 的面积为 b2SCON+SBAM+SOABC， 即 b22+2+5， 解得 b3， 点 B 的坐标为（3，3） ， 故答案为： （3，3） 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数 k 的几何意义以及平行四边形的性质，理解反比例函数系数 k 的几何意义以及平行四边形的性质是解决问题的关键 24 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐
37、标分别为（，1） ， （3，1） ， （3，0） ，点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 ABAC 交 y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动设点 B 的坐标为（0，b） ，则 b 的最小值为 【分析】延长 NM 交 y 轴于 P 点，则 MNy 轴连接 CN证明PABNCA，得出，设 PAx，则 NAPNPA3x，设 PBy，代入整理得到 y3xx2（x）2+，根据二次函数的性质以及x3，求出 y 的最大与最小值，进而求出 b 的取值范围 【解答】解：如图，延长 NM 交 y 轴于 P 点，则 MNy 轴连接 CN 在PAB 与NCA 中，
38、APBCNA90，PABNCA90CAN， PABNCA， ， 设 PAx，则 NAPNPA3x，设 PBy， ， y3xx2（x）2+（x3） ， 10，x3， x时，y 有最大值，此时 b1， x3 时，y 有最小值 0，此时 b1， b 的取值范围是b1 b 的最小值是 故答案是： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出 y 与 x 之间的函数解析式是解题的关键 25 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是线段 CD 上一点，连接 AE，将ADE 沿 AE 翻折至AEF，连接 BF 并延长 BF 交 AE 延长线于点 P，当 PFBF 时， 1 【分析】如
39、图，过点 A 作 AMBP 于 M，过点 E 作 ENBP 于 N首先证明AMP 是等腰直角三角形，设 BF2a，则 PFBFa，BMMFa，利用相似三角形的性质求出 FN：EN1+，再想办法求出 EN（用 a 表示） ，即可解决问题 【解答】解：如图，过点 A 作 AMBP 于 M，过点 E 作 ENBP 于 N 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，BAD90， 由翻折的性质可知，ADAF，DAEEAF， ABAF， AMBF， BMFM，BAMFAM， PAMPAF+FAMBAD45， AMP90， PPAM45， AMMP， 设 BF2a，则 PFBFa，BMMFa， AMPMFM+
40、PFa+a， AMFAFEENF90， AFM+EFN90，EFN+FEN90， AFMFEN， AMFFNE， 1+， 1， CDADAF，DEEF， 1 故答案为：1 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为 70 元，销售价为 100 元时，每天可售出 20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现
41、，如果每件衬衫降价 1 元，那么平均可多售出 2 件 （1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利 750 元？ （2）要想平均每天盈利 1000 元，可能吗？请说明理由 【分析】 （1）设每件衬衫降价 x 元，则平均每天可售出（20+2x）件，根据总利润每件的利润日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）不可能，同（1）可得出关于 x 的一元二次方程，由方程的系数结合根的判别式可得出400 0，进而可得出此方程无实数根，即不可能盈利 1000 元 【解答】解： （1）设每件衬衫降价 x 元，则平均每天可售出（20+2x）件， 依题意，得： （10070 x）
42、 （20+2x）750， 整理，得：x220 x+750， 解得：x15，x215 尽快减少库存， x15 答：每件衬衫降价 15 元时，平均每天赢利 750 元 （2）不可能，理由如下： 依题意，得： （10070 x） （20+2x）1000， 整理，得：x220 x+2000 （20）2412004000， 此方程无实数根， 不可能盈利 1000 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （2）牢记“当0 时，方程无实数根” 27 （10 分）在ABC 中，P 为边 AB 上一点 （1）如图 1，若ACPB，求证：
43、AC2APAB； （2）若 M 为 CP 的中点，AC4 如图 2，若PBMACP，AB7，求 BP 的长； 如图 3，若ABC45，ABMP60，求 BP 的长 【分析】 （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）取 AP 在中点 G，连接 MG，设 AGx，则 PGx，BG7x，根据三角形的中位线的性质得到MGAC， 由平行线的性质得到BGMA， 根据相似三角形的性质得到即， 即可得到结论； 过 C 作 CHAB 于 H，延长 AB 到 E，使 BEBP，解直角三角形得到 CH2，HE2+x，根据勾股定理得出 CE2（2）2+（2+x）2，相似三角形的性质得到 CE2EPEA 列
44、方程即可得到结论 【解答】解： （1）ACPB，AA， ACPABC， ， AC2APAB； （2）如图 2，取 AP 在中点 G，连接 MG，设 AGx，则 PGx，BG7x， M 是 PC 的中点， MGAC， BGMA， ACPPBM， APCGMB， ， 即， x， AB7， AP7， PB； 如图 3，过 C 作 CHAB 于 H，延长 AB 到 E，使 BEBP， 设 BPx ABC45，A60， CH2，HE2+x， CE2（2）2+（2+x）2， PBBE，PMCM， BMCE， PMBPCE60A， EE， ECPEAC， ， CE2EPEA， 12+12+x2+4x2x（x
45、+2+2） ， x22， PB22 【点评】本题属于三角形综合题，需要掌握相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与 ykx+4 分别交 x 轴于点 A、B，两直线交于y 轴上同一点 C，点 D 的坐标为（，0） ，点 E 是 AC 的中点，连接 OE 交 CD 于点 F （1）求点 F 的坐标； （2）若OCBACD，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，过点 F 作 x 轴的垂线 1，点 M 是直线 BC 上的动点，点 N 是 x 轴上的动点，点P 是直线 l
46、上的动点，使得以 B，P，M、N 为顶点的四边形是菱形，求点 P 的坐标 【分析】 （1）求出直线 OE，直线 CD 的解析式，构建方程组即可解决问题 （2）如图 2 中，将线段 DC 绕点 D 顺时针旋转 90得到 DT，作直线 CT 交 x 轴于 B，过点 T 作 THx轴于点 H，证明ACODCB45，即可推出ACDOCB，求出点 T 的坐标，利用待定系数法即可解决问题 （3） 如图3中， 分三种情形： 当四边形BN1P1M1是菱形时， 当四边形BN2P2M2是菱形时， 当四边形BP3N3M3是菱形时，分别求解即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中， 直线 yx+4 交 x 轴于
47、 A，交 y 轴于 C， A（4，0） ，C（0，4） ， AEEC， E（2，2） ， 直线 OE 的解析式为 yx， D（，0） ， 直线 CD 的解析式为 y3x+4， 由，解得， F（1，1） （2）如图 2 中，将线段 DC 绕点 D 顺时针旋转 90得到 DT，作直线 CT 交 x 轴于 B，过点 T 作 THx轴于点 H， OAOB，故ACO45， OCBACD， DCBBCO+OCDACD+DCO45， 故CDT 为等腰直角三角形，则 CDTD， CDO+HDT90，HDT+DTH90， CDODTH， CODDHT90，CDTD， DHTCOD（AAS） ， HTOD，DHC
48、O4 则 OH4， T（，） ， 把 T（，）代入 ykx+4，得到 k2 （3）如图 3 中， 当四边形 BN1P1M1是菱形时，连接 BP1交 OC 于 K，作 KHBC 于 H KBOKBH，KOOB，KHBC， KOKH， BKBK，KOBKHB90， RtKBORtKBH（HL） ， BOBH2，设 OKKHx， BC2， CH22， 在 RtCHK 中，CK2KH2+CH2， （4x）2x2+（22）2， x1， 直线 BK 的解析式为 yx+1， 当 x1 时，y， P1（1，） 当四边形 BN2P2M2是菱形时，可得直线 BP2的解析式为 yx1， 当 x1 时，y， P2（1，） 当四边形 BP3N3M3是菱形时，M3在直线 x1 时， M3（1，6） ， P3与 M3关于 x 轴对称， P3（1，6） ， 当点 N 在 B 的右侧，BPMN 为菱形时，此时 P（1，4） 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（1，）或（1，）或（1，6）或（1，4） 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题