1、 河南省许昌市魏都区二校联考九年级上期中数学试卷河南省许昌市魏都区二校联考九年级上期中数学试卷 一、单选题（每题一、单选题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B5x2x2+70 C2y2x30 Dmx22xx2+1 3 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x25x+m0 有一个根为 x2，则 m 的值为（ ） A6 B3 C6 D3 4 （3 分）关于方程 x23x10 的根的情况，下列说法正确的是（ ） A有两
2、个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 5 （3 分）把抛物线 y3x2向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） Ay3（x2）2+1 By3（x2）21 Cy3（x+2）2+1 Dy3（x+2）21 6 （3 分）抛物线 y（x+1）2+3 的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 7 （3 分）如图，点 A、B、C 是O 上的三个点，若AOB76，则C 的度数为（ ） A76 B38 C24 D33 8 （3 分）二次函数 yx22x，若点 A（1，y1） ，B（2，y2）是它图象上的两点
3、，则 y1与 y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D不能确定 9 （3 分）关于 x 一元二次方程（a1）x2+x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A0 B或1 C1 D1 10 （3 分）已知：抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，其部分图象如图所示，下列结论： 4acb2； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； ab+c0； 当 y0 时，x 的取值范围是1x3； 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题
4、（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（2，1）关于原点对称的点是 12 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（x8）2c 有实数根，则 c 的值可以为 （写出一个即可） 13 （3 分）如图，在半径为 10cm 的O 中，AB16cm，OCAB 于点 C，则 OC 等于 cm 14 （3 分）二次函数 yx22x+1 在5x3 范围内的最大值为 15 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 30，得到ACD，延长 AD 交BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 8
5、大题，大题，75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1） （2x1）29； （2）x24x10 17 （8 分）如图所示的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将ABC 沿 x 轴翻折得到AB1C1，在图中画出AB1C1； （2）作ABC 关于坐标原点成中心对称的A2B2C2； （3）求 B1的坐标，C2的坐标 18 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+m10 （1）求证：对于任意的实数 m，方程总有实数根； （2）若方程的一个根为 2，求出方程的另一个根 19 （9 分）在宽为 20 米，长为 32 米的长方形地面上铺
6、 540 平方米的草坪，并留出如图所示的宽度相同的通道，通道的宽度为多少？ 20 （10 分） 某市场销售一批名牌衬衫， 平均每天可销售 20 件， 每件蠃利 40 元， 为了扩大销售， 增加嬴利，尽快减少库存，而场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件求： （1）若商场平均每天要暴利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）商场如何设计方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 21 （10 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+3 的图象经过点（3，0）和点 B（4，3） （1）求二次函数的表达式： （2）直接画出函数的图象（不
7、列表） ； （3）结合图象直接写出 y0 时，自变量 x 的取值范围是 （4）当 0 x3 时吋，y 的取值范围是 22 （10 分）问题发现： （1）如图 1，已知 C 为线段 AB 上一点，分别以线段 AC、BC 为直角边作等腰直角三角形，ACD90，CACD，CBCE，连接 AE、BD，则 AE、BD 之间的数量关系为 ，位置关系为 ； 拓展探究： （2）如图 2，把 RtACD 绕点 C 逆时针旋转，线段 AE、BD 交于点 F，则 AE 与 BD 之间的关系是否仍然成立？请说明理由 拓展延伸： （3）如图 3，已知 ACCD，BCCE，ACDBCE90，连接 AB、AE、AD，把线段
8、AB 绕点 A 旋转，若 AB5，AC3，请直接写出旋转过程中线段 AE 的最大值 23 （11 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+4a+3（a0） （1）抛物线的对称轴； （2）当 a0 时，若在抛物线上有两点（4，y1） ， （m，y2） ，且 y2y1，则 m 的取值范围是 ； （3） 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M， 点 M 与点 A 关于 y 轴对称， 将点 M 向左平移 2 个单位得到点 B，若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合图象，求 a 的取值范围 河南省许昌市魏都区二校联考河南省许昌市魏都区二校联考 2021-2022 学年九年级上期中数学试卷学年九年级
9、上期中数学试卷 一、单选题（每题一、单选题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误 故选：B 2 （3 分）下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B5x2x2+70 C2y2x30 Dmx22xx2+1 【分析
10、】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、当 a0 时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、是二元二次方程，故本选项错误； D、当 m1 时，是一元一次方程，故本选项错误 故选：B 3 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x25x+m0 有一个根为 x2，则 m 的值为（ ） A6 B3 C6 D3 【分析】把 x2 代入求值即可 【解答】解：把 x2 代入可得 2252+m0， 解得 m6， 故选：C 4 （3 分）关于方程 x23x10 的根的情况，下列说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根
11、C没有实数根 D无法判断 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况 【解答】解：x23x10， （3）241（1）130， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 5 （3 分）把抛物线 y3x2向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） Ay3（x2）2+1 By3（x2）21 Cy3（x+2）2+1 Dy3（x+2）21 【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可 【解答】解：抛物线 y3x2向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 y3（x+2）2+1 故选：C 6 （3 分）抛物线 y（x+1）2+3 的顶点坐
12、标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】解：抛物线 y2（x+1）2+3 的顶点坐标是（1，3） 故选：C 7 （3 分）如图，点 A、B、C 是O 上的三个点，若AOB76，则C 的度数为（ ） A76 B38 C24 D33 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论 【解答】解：= ，AOB76， C=12AOB38， 故选：B 8 （3 分）二次函数 yx22x，若点 A（1，y1） ，B（2，y2）是它图象上的两点，则 y1与 y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D不能确定
13、【分析】分别计算自变量为1、2 时的函数值，然后比较函数值的大小即可 【解答】解：当 x1 时，y1x22x3； 当 x2 时，y2x22x0； 30， y1y2， 故选：C 9 （3 分）关于 x 一元二次方程（a1）x2+x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A0 B或1 C1 D1 【分析】根据一元二次方程解的定义得到1+a20，再解关于 a 的方程，然后根据一元二次方程定义确定 a 的值 【解答】解：把 x0 代入一元二次方程（a1）x2+x+a2100 得 a210， 解得 a11，a21， 而 a10， 所以 a 的值为1 故选：D 10 （3 分）已知：抛物线 ya
14、x2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，其部分图象如图所示，下列结论： 4acb2； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； ab+c0； 当 y0 时，x 的取值范围是1x3； 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，则可对进行判断；根据抛物线过点（1，0） ，则可对进行判断；根据抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质对
15、进行判断 【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，即 4acb2，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 而点（1，0）关于直线 x1 的对称点的坐标为（3，0） ， 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23，所以正确； 抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点（1，0） ， ab+c0，所以错误； 抛物线与 x 轴的两点坐标为（1，0） ， （3，0） ， 当1x3 时，y0，所以错误； 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 增大而增大，所以正确 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）
16、在平面直角坐标系中，点 A（2，1）关于原点对称的点是 （2，1） 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可 【解答】解：点 A（2，1）关于原点对称的点是（2，1） 故答案是： （2，1） 12 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（x8）2c 有实数根，则 c 的值可以为 5（答案不唯一，只要 c0 即可） （写出一个即可） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式0，由此可以得到关于 c 的不等式，解不等式就可以求出 c 的取值范围 【解答】解：一元二次方程化为 x216x+64c0， 2564（64c）4c0， 解上式得 c0 故答案为：5（答案不唯一，只要 c0 即可） 13
17、（3 分）如图，在半径为 10cm 的O 中，AB16cm，OCAB 于点 C，则 OC 等于 6 cm 【分析】连接 OA，如图，先利用垂径定理得到 ACBC=12AB8，然后根据勾股定理计算 OC 的长 【解答】解：连接 OA，如图， OCAB， ACBC=12AB8， 在 RtOAC 中，OC= 2 2= 102 82=6（cm） 故答案为 6 14 （3 分）二次函数 yx22x+1 在5x3 范围内的最大值为 36 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答 【解答】解：yx22x+1（x1）2， 抛物线开口向上，对称轴为直线 x1， 在5x3 的取
18、值范围内，当 x5 时，有最大值为：y36， 故答案为 36 15 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 30，得到ACD，延长 AD 交BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为 23 2 【分析】根据旋转性质及旋转过程可知根据旋转过程可知：CAD30CAB，ACAD4从而得到BCD150，DCE30，E45过点 C 作 CHAE 于 H 点， 在 RtACH 中，CH 和 AH 长，在 RtCHE 中可求 EH 长，利用 DEEHHD 即可求解 【解答】解：根据旋转过程可知：CAD30CAB，ACAD4 BCAACDADC75 ECD18027530 E7
19、53045 过点 C 作 CHAE 于 H 点， 在 RtACH 中，CH=12AC2，AH23 HDADAH423 在 RtCHE 中，E45， EHCH2 DEEHHD2（423）23 2 故答案为 23 2 三、解答题（共三、解答题（共 8 大题，大题，75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1） （2x1）29； （2）x24x10 【分析】 （1）把方程两边开方得到 2x13，然后解两个一次方程即可； （2）利用配方法得到（x2）25，然后利用直接开平方法解方程 【解答】解： （1） （2x1）29， 2x13， 所以 x12，x21； （2）x24x10， x24x1， x24
20、x+45， （x2）25， x25， 所以 x12+5，x225 17 （8 分）如图所示的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将ABC 沿 x 轴翻折得到AB1C1，在图中画出AB1C1； （2）作ABC 关于坐标原点成中心对称的A2B2C2； （3）求 B1的坐标，C2的坐标 【分析】 （1）根据轴对称的性质作图即可 （2）根据中心对称的性质作图即可 （3）由图可得出答案 【解答】解： （1）如图，AB1C1即为所求 （2）如图，A2B2C2即为所求 （3）由图可得，点 B1的坐标为（2，2） ，C2的坐标为（4，1） 18 （9
21、分）已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+m10 （1）求证：对于任意的实数 m，方程总有实数根； （2）若方程的一个根为 2，求出方程的另一个根 【分析】 （1）根据根的判别式与根的关系，可证对于任意的实数 m，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系，可列方程组，即可得方程的另一个根 【解答】证明： （1）（m）24（m1）m24m+4（m2）20 对于任意的实数 m，方程总有实数根； （2）设另一个根为 a 根据题意可得：a+2m，2am1 a+22a+1 a1 另一个根为 1 19 （9 分）在宽为 20 米，长为 32 米的长方形地面上铺 540 平方米的草坪，并留出如图所示的宽
22、度相同的通道，通道的宽度为多少？ 【分析】设通道的宽度为 x 米，则种植草坪的部分可合成长为（32x）米，宽为（20 x）米的长方形，根据草坪的面积为 540 平方米， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 解之取其符合题意的值即可得出结论 【解答】解：设通道的宽度为 x 米，则种植草坪的部分可合成长为（32x）米，宽为（20 x）米的长方形， 依题意得： （32x） （20 x）540， 整理得：x252x+1000， 解得：x12，x250， 当 x2 时，20 x202180，符合题意； 当 x50 时，20 x2050300不符合题意，舍去 答：通道的宽度为 2 米 20 （10 分）
23、某市场销售一批名牌衬衫， 平均每天可销售 20 件， 每件蠃利 40 元， 为了扩大销售， 增加嬴利，尽快减少库存，而场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件求： （1）若商场平均每天要暴利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）商场如何设计方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】 （1）总利润每件利润销售量设每天利润为 w 元，每件衬衫应降价 x 元，据题意可得利润表达式，再求当 w1200 时 x 的值； （2）根据函数关系式，运用函数的性质求最值 【解答】解： （1）设每天利润为 w 元，每件衬衫降价 x 元， 根据题意得：
24、w（40 x） （20+2x）2x2+60 x+8002（x15）2+1250， 当 w1200 时，2x2+60 x+8001200， 解之得：x110，x220， 根据题意要尽快减少库存，所以应降价 20 元； 答：每件衬衫应降价 20 元 （2）由（1）w（40 x） （20+2x）2（x15）2+1250， 20， 当 x15 时，w 最大，最大值1250， 答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天盈利最多 21 （10 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+3 的图象经过点（3，0）和点 B（4，3） （1）求二次函数的表达式： （2）直接画出函数的图象（不列表） ；
25、（3）结合图象直接写出 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 x3 （4）当 0 x3 时吋，y 的取值范围是 y0 【分析】 （1）把点（3，0）与（4，3）代入求解即可； （2）利用描点法画出图象即可； （3）由二次函数的图象即可看出当 y0 时，x 的取值范围是 x1 或 x3； （4）由二次函数的图象即可看出 0 x3 时吋，y 的取值范围是 y0 【解答】解： （1）把点（3，0）与（4，3）代入 yax2+bx+3， 0 = 9 + 3 + 33 = 16 + 4 + 3， 解得：a1，b4， 二次函数的解析式为 yx24x+3 （2）如下图所示， （3）当 y0 时，x
26、的取值范围是 x1 或 x3 （4）则图象可知，当 0 x3 时吋，y 的取值范围是 y0 22 （10 分）问题发现： （1）如图 1，已知 C 为线段 AB 上一点，分别以线段 AC、BC 为直角边作等腰直角 三角形， ACD90， CACD， CBCE， 连接 AE、 BD， 则 AE、 BD 之间的数量关系为 AEBD ，位置关系为 AEBD ； 拓展探究： （2）如图 2，把 RtACD 绕点 C 逆时针旋转，线段 AE、BD 交于点 F，则 AE 与 BD 之间的关系是否仍然成立？请说明理由 拓展延伸： （3）如图 3，已知 ACCD，BCCE，ACDBCE90，连接 AB、AE、
27、AD，把线段AB 绕点 A 旋转，若 AB5，AC3，请直接写出旋转过程中线段 AE 的最大值 【分析】 （1）延长 BD 交 AE 于 H，证明ACEDCB，根据全等三角形的性质得到 AEBD，AECDBC，根据三角形内角和定理得到EHD90，证明结论； （2）证明ACEDCB，根据全等三角形的性质证明； （3） 连接 BD， 根据全等三角形的性质得到 AEBD， 根据勾股定理求出 AD， 结合图形计算， 得到答案 【解答】解： （1）如图 1，延长 BD 交 AE 于 H， 在ACE 和DCB 中， = = = 90 = ， ACEDCB（SAS） ， AEBD，AECDBC， CDBHD
28、E， EHDDCB90，即 AEBD， 故答案为：AEBD；AEBD； （2）AE 与 BD 之间的关系仍然成立， 理由如下：如图 2，设 BD，CE 交于 P， ACDBCE90， ACD+DCEBCE+DCE，即ACEDCB， 在ACE 和DCB 中， = = = ， ACEDCB（SAS） ， AEBD，AECDBC， FPECPB， EFPPCB90，即 AEBD； （3）如图 3，连接 BD， 由（2）的方法可得：ACEDCB， AEBD， 在 RtACD 中，ACCD3， 由勾股定理得：AD= 2+ 2=32， 当点 A 在 BD 上时，BD 最大，最大值为 5+32， 线段 AE
29、 的最大值为 5+32 23 （11 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+4a+3（a0） （1）抛物线的对称轴； （2）当 a0 时，若在抛物线上有两点（4，y1） ， （m，y2） ，且 y2y1，则 m 的取值范围是 m4或 m0 ； （3） 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M， 点 M 与点 A 关于 y 轴对称， 将点 M 向左平移 2 个单位得到点 B，若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合图象，求 a 的取值范围 【分析】 （1）利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴； （2）根据二次函数的图象和性质，抛物线上有两点（4，y1） ， （m，y2） ，且 y2y1进而可
30、得 m 的取值范围； （3）根据题意先求出点 M、A、B 的坐标，再结合图象，即可求 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数的对称轴为：x= 42= 2； （2）a0， 抛物线开口向上， 对称轴为直线 x2， 点（4，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1） ， 抛物线上有两点（4，y1） ， （m，y2） ，y2y1， m4 或 m0； 故答案为：m4 或 m0； （3）抛物线 yax2+4ax+3（a0）的对称轴为 x2，且对称轴与 x 轴交于点 M， 点 M 的坐标为（2，0） ， 点 M 与点 A 关于 y 轴对称， 点 A 的坐标为（2，0） ， 点 M 向左平移 2 个单位得到点 B， 点 B 的坐标为（4，0） ， 当 a0 时，只有顶点在线段 AB 上时，抛物线与线段 AB 恰有一个公共点， 把点 M（2，0）代入 yax2+4ax+3，可得 a=34； a0 时， 把点 A（2，0）代入 yax2+4ax+3，可得 a= 14； 抛物线与线段 AB 恰有一个交点， 根据所画图象可得：a 14 综上：a=34或 a 14