1、 河南省驻马店市确山县河南省驻马店市确山县 2021-2022 学年学年九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2方程 x240 的根是（ ） Ax2 Bx12，x22 Cx10，x22 Dx2 3函数 yx2+2 与 yx21 的图象的不同之处是（ ） A开口方向 B对称轴 C顶点 D形状 4若方程 x22x+m0 没有实数根，则 m 的值可以是（ ） A1 B0 C1 D 5如图，四边形 ABCD 内接于O，点 P 为边 AD 上任
2、意一点（点 P 不与点 A，D 重合）连接 CP若B120，则APC 的度数可能为（ ） A30 B45 C50 D65 6如图，点 A，B，C，D，E 在O 上，ABCD，AOB42，则CED（ ） A48 B24 C22 D21 7如图，在 66 的正方形网格中，ABC 绕某点旋转一定的角度，得到ABC，则旋转中心是点（ ） AO BP CQ DM 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ，直线 ykx+12 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 长的最小值（ ） A24 B10 C8 D25 9定义：若两个函数图象与 x 轴有一个共同的交点，我们
3、就称这两个函数为“共根函数” 如 yx24 与y（x+1） （x2）的图象与 x 轴的共同交点为（2，0） ，那么这两个函数就是“共根函数” 若 y2x24x 与 yx23x+m1 为“共根函数” ，则 m 的值为（ ） A1 B1 或 3 C1 或 2 D2 或 3 10如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上，OAOB2，AD4，将矩形 ABCD 绕点 O顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2022 次旋转结束时，点 C 的坐标为（ ） A （6，4） B （6，4） C （4，6） D （4，6） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分）
4、 11若点 M（2x，3）与点 N（x2+1，3）关于原点对称，则 x 12一个二次函数的对称轴为直线 x2，该函数的图象与 y 轴的交点到原点的距离为 1，则该函数的解析式为 （写出一个符合题意要求的答案即可） 13对于两个不相等的实数 a，b，我们规定符号 Maxa，b表示 a，b 中的较大值，如：Max2，44，按照这个规定，方程 Maxx，xx22 的解为 14 田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何” 意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意
5、得，长比宽多 步 15如图（1） ，点 P 是直径为 AB 的半圆 O 上一动点（可以与点 A，B 重合） ，过点 P 作 PDAB 于点 D， 连接 PA设 PAx，PDy，图（2）是点 P 运动过程中 y 与 x 之间的函数关系的图象，其中 M 为曲线的最高点，则 mn 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （6 分）小敏与小霞两位同学解方程 3（x3）（x3）2的过程如下框： 小敏： 两边同除以（x3） ，得 3x3， 则 x6 小霞： 移项，得 3（x3）（x3）20， 提取公因式，得（x3） （3x3）0 则 x30 或 3
6、x30， 解得 x13，x20 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打 “” ； 若错误请在框内打 “” ， 并写出你的解答过程 17 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 18 （9 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： x 3 2 1 0 1 yax2+bx+c 4 4 m 根据以上列表，回答下列问题： （1）直接写出 c，m 的值； （2）求此二次函数的解析式 19 （10 分）如图，在ABC
7、 中，BAC90 （1）尺规作图：作出经过 A，B，C 三点的O （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 AO 并延长，交O 于点 D，连接 DB，DC 求证：BDCCAB； 将CAD 沿 AD 折叠，点 C 的对应点为 C，当ABC 时，四边形 ABCO 为菱形 20 （10 分）某水果店将标价为 10 元/斤的某种水果经过两次降价后，价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同 （1）求该水果每次降价的百分率； （2） 从第二次降价的第 1 天算起， 第 x 天 （x 为整数） 的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间（天） x 销量（斤） 120 x 储藏和损耗费用（元）
8、3x264x+400 已知该水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元） ，求 y 与 x（1x10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 21 （10 分）小爱同学学习二次函数后，对函数 y（|x|1）2进行了探究在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： 写出该函数的一条性质： ； 方程（|x|1）21 的解为： ； 若方程（|x|1）2a 有四个实数根，则 a 的取值范围是 （2）延伸思考： 将函数 y（|x|1）2的图象经过怎样的平移可得到函数 y1（|x2|1）2+3 的图象？
9、写出平移过程，并直接写出当 2y13 时，自变量 x 的取值范围 22 （11 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+2ax4a+1 与平行于 x 轴的一条直线交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）当点 A 的坐标为（3，1）时 点 B 的坐标为 ； 若抛物线上有两点（2，y1） （m，y2） ，且 y2y1，则 m 的取值范围是 ； （2） 抛物线的对称轴交直线 AB 于点 C， 如果直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标为 2，且抛物线顶点 D 到点 C的距离大于 4，求 a 的取值范围 23 （11 分）综合与实践探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习
10、小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 和 AFE 按如图 1 所示位置放置，且 RtABC 的较短直角边 AB 为 2，现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （090） ，如图 2，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P （1）初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角 时，AMC 是等腰三角形； （2）深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中如果连接 AP，CE，那么 AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线，请帮他们证明； （3）再探究： 在旋转过程中，当旋转角 30时，求ABC 与AFE 重叠的面积；
11、 （4）拓展延伸： 在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角 的度数；若不能，说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对
12、称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意 故选：A 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 2方程 x240 的根是（ ） Ax2 Bx12，x22 Cx10，x22 Dx2 【分
13、析】利用直接开平方法求解即可 【解答】解：x240， x24， x12，x22， 故选：B 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 3函数 yx2+2 与 yx21 的图象的不同之处是（ ） A开口方向 B对称轴 C顶点 D形状 【分析】根据二次函数的性质，可以写出两个函数的相同之处和不同之处，即可解答本题 【解答】解：函数 yx2+2 与 yx21 的图象的对称轴都是 y 轴，开口都向下，形状一样，而函数 yx2+2 的顶点坐标为（0，2） ，函数 yx21 的顶
14、点坐标为（0，1） ， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 4若方程 x22x+m0 没有实数根，则 m 的值可以是（ ） A1 B0 C1 D 【分析】根据根的判别式和已知条件得出（2）241m44m0，求出不等式的解集，再得出答案即可 【解答】解：关于 x 的方程 x22x+m0 没有实数根， （2）241m44m0， 解得：m1， m 只能为， 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程 ax2+bx+c0（a、b、c为常数，a0） ，当b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根
15、，当b24ac0 时，方程有两个相等的实数根，当b24ac0 时，方程没有实数根 5如图，四边形 ABCD 内接于O，点 P 为边 AD 上任意一点（点 P 不与点 A，D 重合）连接 CP若B120，则APC 的度数可能为（ ） A30 B45 C50 D65 【分析】由圆内接四边形的性质得D 度数为 60，再由APC 为PCD 的外角求解 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， B+D180， B120， D180B60， APC 为PCD 的外角， APCD，只有 D 满足题意 故选：D 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补 6如图，点 A，B，C
16、，D，E 在O 上，ABCD，AOB42，则CED（ ） A48 B24 C22 D21 【分析】连接 OC、OD，可得AOBCOD42，由圆周角定理即可得CEDCOD21 【解答】解：连接 OC、OD， ABCD，AOB42， AOBCOD42， CEDCOD21 故选：D 【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 7如图，在 66 的正方形网格中，ABC 绕某点旋转一定的角度，得到ABC，则旋转中心是点（ ） AO BP CQ DM 【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转
17、中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心 【解答】解：如图，连接 BB，AA可得其垂直平分线相交于点 P， 故旋转中心是 P 点 故选：B 【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ，直线 ykx+12 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 长的最小值（ ） A24 B10 C8 D25 【分析】易知直线 ykx+12 过定点 D（0，12） ，得 OD12，由条件可求出半径 OB，由于过圆内定点 D的所有弦中，与 OD 垂
18、直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题 【解答】解：对于直线 ykx+12，当 x0 时，y12， 故直线 ykx+12 恒经过点（0，12） ，记为点 D 由于过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短， 如图 BCOD，连接 OB， OB13，OD12， 由勾股定理得：BD5， BC2BD10， 故选：B 【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过定点 D（0，12）以及运用“过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键 9定义：若两个函数图象与 x 轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数” 如 y
19、x24 与y（x+1） （x2）的图象与 x 轴的共同交点为（2，0） ，那么这两个函数就是“共根函数” 若 y2x24x 与 yx23x+m1 为“共根函数” ，则 m 的值为（ ） A1 B1 或 3 C1 或 2 D2 或 3 【分析】先求出 y2x24x 与 x 轴的交点坐标，分别代入函数 yx23x+m1 中，求出 m 的值即可 【解答】解：令 y2x24x0，则 x0 或 x2， 函数 y2x24x 与 x 轴的交点为（0，0） ， （2，0） ， 当两个函数同时过点（0，0）时，有 000+m1，解得 m1， 当两个函数同时过点（2，0）时，有 046+m1，解得 m3， 故选：
20、B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题属于新定义类问题，解题关键是理解给出的定义，并对结果进行分类讨论 10如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上，OAOB2，AD4，将矩形 ABCD 绕点 O顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2022 次旋转结束时，点 C 的坐标为（ ） A （6，4） B （6，4） C （4，6） D （4，6） 【分析】过点 C 作 CEy 轴于点 E，连接 OC，根据已知条件求出点 C 的坐标，再根据旋转的性质求出前 4 次旋转后点 C 的坐标，发现规律，进而求出第 2022 次旋转结束时，点 C 的坐
21、标 【解答】解：如图，过点 C 作 CEy 轴于点 E，连接 OC， OAOB2， ABOBAO45， ABC90， CBE45， BCAD4， CEBE4， OEOB+BE6， C（4，6） ， 矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90， 则第 1 次旋转结束时，点 C 的坐标为（6，4） ； 则第 2 次旋转结束时，点 C 的坐标为（4，6） ； 则第 3 次旋转结束时，点 C 的坐标为（6，4） ； 则第 4 次旋转结束时，点 C 的坐标为（4，6） ； 发现规律：旋转 4 次一个循环， 20224505 2， 则第 2022 次旋转结束时，点 C 的坐标为（4，6） 故选：
22、C 【点评】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第 2022 次旋转后矩形的位置是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若点 M（2x，3）与点 N（x2+1，3）关于原点对称，则 x 1 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得出关于 x 的方程，解出即可 【解答】解：点 M（2x，3）与点 N（x2+1，3）关于原点对称， 2x+（x2+1）0， 解得：x1 故答案为：1 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反 12一个二次函数的对称轴为直线 x2
23、，该函数的图象与 y 轴的交点到原点的距离为 1，则该函数的解析式为 y（x2）2 （写出一个符合题意要求的答案即可） 【分析】设二次函数为 ya（xk）2，由对称轴是直线 x2，可得 k2，与 y 轴的交点到原点的距离为 1，可得与 y 轴的交点的坐标为（0，2） ，利用待定系数法求出解析式 【解答】解：设二次函数为 ya（xk）2， 对称轴为直线 x2， k2， 二次函数 ya（xk）2的解析式为 ya（x2）2， 与 y 轴的交点到原点的距离为 1， 与 y 轴交于点（0，1）或（0，1） ， 把（0，1）代入得，14a， a， 函数的解析式可以为：y（x2）2 故答案为：y（x2）2
24、【点评】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意还要注意利用待定系数法求函数解析式 13对于两个不相等的实数 a，b，我们规定符号 Maxa，b表示 a，b 中的较大值，如：Max2，44，按照这个规定，方程 Maxx，xx22 的解为 +2 或2 【分析】分为两种情况：当 xx 时，得出方程 x22x，当xx 时，得出方程 x22x，求出方程的解即可 【解答】解：分为两种情况： 当 xx，即 x0 时，x22x， 解得：x12，x21， x1 舍去； 当xx，即 x0 时，x22x， 解得：x12，x21， x1 舍去； 所以方程 Maxx，xx22 的解
25、为 2 或2， 故答案为：2 或2 【点评】本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键 14 田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题： “直田积八百六十四步， 只云长阔共六十步，问长多阔几何” 意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 12 步 【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题 【解答】解：设长为 x 步，宽为（60 x）步， x（60 x）864， 解得，x136，x224（舍去） ， 当 x36 时，60 x24， 长比宽多：362412（步）
26、 ， 故答案为：12 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长 15如图（1） ，点 P 是直径为 AB 的半圆 O 上一动点（可以与点 A，B 重合） ，过点 P 作 PDAB 于点 D，连接 PA设 PAx，PDy，图（2）是点 P 运动过程中 y 与 x 之间的函数关系的图象，其中 M 为曲线的最高点，则 mn 的值为 4 【分析】先根据图象得出 AB 的长度，然后求出圆的半径，当点 P 到点 O 的正上方时，PD 最大，求出此时的 x 和 y 的值，即可确定点 m、n 的值，从而得到答案 【解答】解：由图象得 AB
27、4， 圆 O 的半径为 2， 当点 D 和点 O 重合时，PD 最大， 此时 PD 为圆 O 的半径， y2， 当 y2 时，x2， 点 M 的坐标为（2，2） ，即 m2，n2， mn4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据图象确定圆的半径，能确定 PD 最大时点D 的位置 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （6 分）小敏与小霞两位同学解方程 3（x3）（x3）2的过程如下框： 小敏： 两边同除以（x3） ，得 3x3， 则 x6 小霞： 移项，得 3（x3）（x3）20， 提取公因式，得（x3） （3
28、x3）0 则 x30 或 3x30， 解得 x13，x20 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打 “” ； 若错误请在框内打 “” ， 并写出你的解答过程 【分析】小敏：没有考虑 x30 的情况； 小霞：提取公因式时出现了错误 利用因式分解法解方程即可 【解答】解：小敏：； 小霞： 正确的解答方法：移项，得 3（x3）（x3）20， 提取公因式，得（x3） （3x+3）0 则 x30 或 3x+30， 解得 x13，x26 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择 17 （8
29、 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 【分析】 （1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出4m2，利用偶次方的非负性可得出 4m20，即0，再利用“当0 时，方程有两个实数根”即可证出结论； （2）方法一：利用因式分解法求出 x1m，x23m由题意得出 m 的方程，解方程则可得出答案 方法二：利用根与系数的关系可求出答案 【解答】 （1）证明：a1，b4m，c3m2， b24ac（4m）2413m24m2 无论 m 取何值时，4m20，即0， 原方程总有两个实数根 （2）解：方
30、法一：x24mx+3m20，即（xm） （x3m）0， x1m，x23m m0，且该方程的两个实数根的差为 2， 3mm2， m1 方法二： 设方程的两根为 x1，x2，则 x1+x24m，x1x23m2， x1x22， （x1x2）24， （x1+x2）24x1x24， （4m）243m24， m1， 又 m0， m1 【点评】 本题考查了根的判别式、 偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程， 解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有实数根” ； （2）利用因式分解法求出方程的解 18 （9 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部
31、分对应值如下表： x 3 2 1 0 1 yax2+bx+c 4 4 m 根据以上列表，回答下列问题： （1）直接写出 c，m 的值； （2）求此二次函数的解析式 【分析】 （1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与 y 轴的交点，即可求得 c 的值，根据抛物线的对称性即可求得 m 的值； （2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可 【解答】解： （1）根据图表可知： 二次函数 yax2+bx+c 的图象过点（0，4） ， （2，4） ， 对称轴为直线 x1，c4， （3，）的对称点为（1，） ， m； （2）对称轴是直线 x1， 顶点为（1，） ， 设 ya（x+1）2+， 将（0，
32、4）代入 ya（x+1）2+得， a+4， 解得 a， 这个二次函数的解析式为 y（x+1）2+ 【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键 19 （10 分）如图，在ABC 中，BAC90 （1）尺规作图：作出经过 A，B，C 三点的O （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 AO 并延长，交O 于点 D，连接 DB，DC 求证：BDCCAB； 将CAD 沿 AD 折叠，点 C 的对应点为 C，当ABC 60 时，四边形 ABCO 为菱形 【分析】 （1）作 BC 的垂直平分线交 BC 于点 O，以 O 为圆
33、心，以 OB 为半径作O，即可得到结果； （2）利用 OAOD，OBOC，得出四边形 ABDC 为平行四边形，得到 ABCD，BDAC，再利用“SSS”即可证明BDCCAB； 利用四边形 ABCO 为菱形，证明OAB 为等边三角形，即可求出ABC 的度数 【解答】 （1）解：如图，作 BC 的垂直平分线交 BC 于点 O，以 O 为圆心，以 OB 为半径作O，O 就是所求作的圆； （2）证明：如图， OAOD，OBOC， 四边形 ABDC 为平行四边形， ABCD，BDAC， 在BDC 和CAB 中， ， BDCCAB（SSS） ； 解：如图， 当四边形 ABCO 为菱形时，ABAO， OAO
34、B， OAOBAB， OAB 为等边三角形， ABO60，即ABC60， 故答案为：60 【点评】本题考查了圆的综合知识，掌握圆的有关性质是解决问题的关键 20 （10 分）某水果店将标价为 10 元/斤的某种水果经过两次降价后，价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同 （1）求该水果每次降价的百分率； （2） 从第二次降价的第 1 天算起， 第 x 天 （x 为整数） 的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间（天） x 销量（斤） 120 x 储藏和损耗费用（元） 3x264x+400 已知该水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元） ，求 y
35、 与 x（1x10）之间的 函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率； （2）根据题意和表格中的数据，可以求得 y 与 x（1x10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少 【解答】解： （1）设该水果每次降价的百分率为 x， 10（1x）28.1， 解得，x10.1，x21.9（舍去） ， 答：该水果每次降价的百分率是 10%； （2）由题意可得， y（8.14.1）（120 x）（3x264x+400）3x2+60 x+803（x10）2+380， 1x10
36、，且 x 为整数， 当 x9 时，y 取得最大值，此时 y377， 由上可得，y 与 x（1x10）之间的函数解析式是 y3x2+60 x+80，第 9 天时销售利润最大，最大利润是 377 元 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答 21 （10 分）小爱同学学习二次函数后，对函数 y（|x|1）2进行了探究在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： 写出该函数的一条性质： 函数图象关于 y 轴对称 ； 方程（|x|1）21 的解为： x2 或 x0 或 x2 ；
37、若方程（|x|1）2a 有四个实数根，则 a 的取值范围是 1a0 （2）延伸思考： 将函数 y（|x|1）2的图象经过怎样的平移可得到函数 y1（|x2|1）2+3 的图象？写出平移过程，并直接写出当 2y13 时，自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）根据图象即可求得； （2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数 y1（|x2|1）2+3 的图象，根据图象即可得到结论 【解答】解： （1）观察探究： 该函数的一条性质为：函数图象关于 y 轴对称； 方程（|x|1）21 的解为：x2 或 x0 或 x2； 若方程（|x|1）2a 有四个实数根，则 a 的取值范围是1a0 故答案为函数图象关
38、于 y 轴对称；x2 或 x0 或 x2；1a0 （2）将函数 y（|x|1）2的图象向右平移 2 个单位，向上平移 3 个单位可得到函数 y1（|x2|1）2+3 的图象， 当 2y13 时，自变量 x 的取值范围是 0 x4 且 x2 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键 22 （11 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+2ax4a+1 与平行于 x 轴的一条直线交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）当点 A 的坐标为（3，1）时 点 B 的坐标为 （1，1） ； 若抛物线上有两点（2，y1） （m，y2）
39、，且 y2y1，则 m 的取值范围是 m2 或 m4 ； （2） 抛物线的对称轴交直线 AB 于点 C， 如果直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标为 2，且抛物线顶点 D 到点 C的距离大于 4，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先求得对称轴，然后根据轴对称的特点求得即可； 把点 A 的坐标为 （3， 1） 代入 yax2+2ax4a+1 求得 a2，然后根据二次函数的性质得到|m+1|2+1，解得即可； （2）求得顶点坐标，根据题意求得 C 的坐标，分两种情况表示出顶点 D 到点 C 的距离，列出不等式，解不等式即可求得 【解答】解： （1）抛物线 yax2+2ax4a+1a（x+1）25a
40、+1， 对称轴为 x1； 抛物线 yax2+2ax4a+1 与平行于 x 轴的一条直线交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 点 A 点 B 关于 x1 轴对称， A（3，1） ， B（1，1） 故答案为： （1，1） 抛物线 yax2+2ax4a+1 经过点 A（3，1） ， 19a6a4a+1， 解得 a2， 抛物线开口向上， 抛物线上有两点（2，y1） （m，y2） ，且 y2y1，对称轴为直线 x1， |m+1|2+1， m2 或 m4； 故答案为：m2 或 m4； （2）抛物线 yax2+2ax4a+1a（x+1）25a+1， 顶点 D（1，5a+1） 直线 AB 与 y
41、 轴交点的纵坐标为 2， C（1，2） 顶点 D 到点 C 的距离大于 4， 5a+124 或 2+5a14， a1 或 a 【点评】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系， 二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质解题的关键 23 （11 分）综合与实践探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 和 AFE 按如图 1 所示位置放置，且 RtABC 的较短直角边 AB 为 2，现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （090） ，如图 2，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF
42、交于点 N，BC 与 EF 交于点 P （1）初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角 60或 15 时，AMC 是等腰三角形； （2）深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中如果连接 AP，CE，那么 AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线，请帮他们证明； （3）再探究： 在旋转过程中，当旋转角 30时，求ABC 与AFE 重叠的面积； （4）拓展延伸： 在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角 的度数；若不能，说明理由 【分析】 （1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由题意可知，ABAF，BF，EC，AEAC，根据折叠的性质得到BAMFAN，根据
43、全等三角形的性质得到 AMAN，PEPC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）根据已知条件得到ABM 是直角三角形，求得 EM，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论； （4）当CNP90时，依据对顶角相等可求得ANF90，然后依据F60可求得FAN 的度数，由旋转的定义可求得 的度数；当CPN90时由C30，CPN90，可求得CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到ANF 的度数，然后由F60，依据三角形的内角和定理可求得FAN 的度数，于是可得到 的度数 【解答】解： （1）当 AMCM，即CAMC30时，AMC 是等腰三角形； BAC90， 903060， 当 AMCM
44、，即CAMCMA 时，AMC 是等腰三角形， C30， CAMAMC75， BAC90， 15， 综上所述，当旋转角 60或 15时，AMC 是等腰三角形， 故答案为：60或 15； （2）由题意可知，ABAF，BF，EC，AEAC， 现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （090） ， BAMFAN， 在ABM 与AFN 中， ， ABMAFN（ASA） ， AMAN， AEAC， EMCN， EC，MPENPC， MPENPC（AAS） ， PEPC， 点 P 在 CE 的垂直平分线上， AEAC， 点 A 在 CE 的垂直平分线上， AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线；
45、（3）30，B60， AMB90， ABM 是直角三角形， AB2， BMABsin301，AMABcos30， SABMAMMB1， AEACABtan602，AM， EM， BAEE30，EMP90， AMBEPM（ASA） ， 由（2）可知ABMAFN， SAFNSEFMSABM， SAEFAFAE222， ABC 与AFE 重叠的面积SAEFSAFNSEPM22； （4）如答题图 1 所示：当CNP90时 CNP90， ANF90 又AFN60， FAN180609030 30 如答题图 2 所示：当CPN90时 C30，CPN90， CNP60 ANF60 又F60， FAN60 60 综上所述，30或 60 【点评】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键