1、 福建省宁德市古田县福建省宁德市古田县 2021-2022 学年学年九年级九年级上上第一次诊断数学试卷第一次诊断数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax2y3 Bax2+bx+c0 Cx2+3x1x2+1 Dx29x 2下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（ ） A对角线相等且互相平分的四边形 B对角线互相垂直且平分的四边形 C有一组邻边相等的平行四边形 D有一个角是直角的菱形 3已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APBP记以 AP 为一边的正方形面积为 S1，以 BP、AB 为
2、邻边矩形的面积为 S2，则（ ） AS1S2 BS1S2 CS1S2 DS1、S2大小不能确定 4已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 5如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转） ，两个转盘均被平分成三等份则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ） A B C D 6如图所示，长为 8cm，宽为 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分） ，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ） A28cm2 B27
3、cm2 C21cm2 D20cm2 7关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa且 a0 Ba Ca且 a0 Da 8在一个不透明的盒子里装有若干个白球和 15 个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.6 左右，则袋中白球约有（ ） A5 个 B10 个 C15 个 D25 个 9如图，点 P 是等腰ABC 的腰 AB 上的一点，过点 P 作直线（不与直线 AB 重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似满足这样条件的直线最多有（ ） A2 条
4、 B3 条 C4 条 D5 条 10如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别从 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CD 向终点 C、D 运动，连接 AM、BN，交于点 P，连接 PC，则 PC 长的最小值为（ ） A22 B2 C31 D2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11如图，在ABC 中，若 DEBC，且 AD：DB2：3，则 12关于 x 的一元二次方程 kx24x+30 有实数根，则 k 应满足的条件是 13如图，已知，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，则 AF：FC 14疫情期间，学校利用一段已有的围墙
5、（可利用的围墙长度仅有 5 米）搭建一个矩形临时隔离点 ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是 10 米，矩形隔离点的面积为 12 平方米，则 AB 的长度是 米 15如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为斜边作 RtADC，使ADC90，CADCAB28，E、F 分别是 BC、AC 的中点，则EDF 16如图，已知矩形 ABCD 中，AB5，动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以每秒 1 个单位的速度运动，连接BP， 作点 A 关于直线 BP 的对称点 E， 设点 P 的运动时间为 t （s） ， 在动点 P 在射线 AD 上运动的过程中，则使点 E 到直线 BC 的距离等于
6、3 时对应的 t 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （8 分）用适当的方法解下列方程： （1）x2+6x+10 （2） （2x+3）25（2x+3）0 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 为矩形 （1）以 AB 为一边，在矩形 ABCD 中用直尺和圆规作正方形 ABEF （保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）连接 CF，如果 AB4，BC7，求 CF 的长 19 （8 分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有
7、两个种类的奶制品：A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C纯牛奶，D酸奶，E核桃奶 （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率 20 （8 分）在ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线，CEAB，求证：ABDEADAC 21 （8 分）已知k，求 k23k4 的值 22 （11 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m+4）x+2m+40 （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若
8、1 是方程的一个根，求 m 的值； （3）若 x1，x2为方程的两个根，且 nx12+x224，判断动点 P（m，n）所形成的数图象是否经过点 A（5，9） ，并说明理由 23 （11 分）某租赁公司拥有汽车 100 辆据统计，每辆车的月租金为 4000 元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加 100 元，未租出的车将增加 1 辆，租出的车每辆每月的维护费为 500 元，未租出的车辆每月只需维护费 100 元 （1）当每辆车的月租金为 4800 元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过 7200 元，当每辆车的月租金定为多
9、少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 40.4 万元？ 24 （11 分） 【探究】如图，在等边ABC 中，AB4，点 D、E 分别为边 BC、AB 上的点，连接 AD、DE，若ADE60，BD3，求 BE 的长 【拓展】如图，在ABD 中，AB4，点 E 为边 AB 上的点，连接 DE，若ADEABD45，若DB3， 25 （13 分）如图所示，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（4，8） ，过点 B 分别作 BAy 轴，BCx 轴，得到一个长方形 OABC， D 为 y 轴上的一点， 将长方形 OABC 沿着直线 DM 折叠， 使得点 A 与点 C 重合，点 B 落在点
10、F 处，直线 DM 交 BC 于点 E （1）直接写出点 D 的坐标 ； （2）若点 P 为 x 轴上一点，是否存在点 P 使PDE 的周长最小？若存在，请求出PDE 的最小周长；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，若 Q 点是线段 DE 上一点（不含端点） ，连接 PQ有一动点 H 从 P 点出发，沿线段 PQ 以每秒 1 个单位的速度运动到点 Q， 再沿着线段 QE 以每秒个单位长度的速度运动到点 E 后停止请直接写出点 H 在整个运动过程中所用的最少时间 t，以及此时点 Q 的坐标 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，
11、共分，共 40 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax2y3 Bax2+bx+c0 Cx2+3x1x2+1 Dx29x 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可 【解答】解：Ax2y3 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B当 a0 时，ax2+bx+c0 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C由原方程得到 3x20，是一元一次方程，故本选项不符合题意； Dx29x 符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方面： “化简后” ； “一个未知数” ； “未知数
12、的最高次数是 2” ； “二次项的系数不等于 0” ； “整式方程” 2下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（ ） A对角线相等且互相平分的四边形 B对角线互相垂直且平分的四边形 C有一组邻边相等的平行四边形 D有一个角是直角的菱形 【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案 【解答】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了正方形的判定熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键
13、3已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APBP记以 AP 为一边的正方形面积为 S1，以 BP、AB 为邻边矩形的面积为 S2，则（ ） AS1S2 BS1S2 CS1S2 DS1、S2大小不能确定 【分析】根据黄金分割的概念知 AP：ABPB：AP，变形后求解即可得出答案 【解答】解：根据黄金分割的概念得：AP：ABPB：AP，即 AP2PBAB， 则 S1：S2AP2： （PBAB）1，即 S1S2 故选：B 【点评】此题主要考查了线段黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算 4已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根，并且这个方程的两个
14、根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 【分析】先将 x2 代入 x22mx+3m0，求出 m4，则方程即为 x28x+120，利用因式分解法求出方程的根 x12，x26，分两种情况：当 6 是腰时，2 是底边；当 6 是底边时，2 是腰进行讨论注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 【解答】解：2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根， 224m+3m0，m4， x28x+120， 解得 x12，x26 当 6 是腰时，2 是底边，此时周长6+6+214； 当 6 是底边时，2 是腰，2+2
15、6，不能构成三角形 所以它的周长是 14 故选：B 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验 5如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转） ，两个转盘均被平分成三等份则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ） A B C D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：根据题意列表如下： 1 2 5 3 3 6 15 4 4 8 20 6 6 12 30 共有 9 种等可
16、能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有 7 种情况， 转得的两个数之积为偶数的概率为； 故选：C 【点评】此题考查的是用列表法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 6如图所示，长为 8cm，宽为 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分） ，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ） A28cm2 B27cm2 C21cm2 D20cm2 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得 【解答】解：依题意，在矩形 ABDC 中截取矩形 ABFE， 则矩形 ABDC矩形 FDCE
17、， 则 设 DFxcm，得到： 解得：x4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5627cm2 本题选 B 【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键 7关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa且 a0 Ba Ca且 a0 Da 【分析】由关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根，即可得判别式0，继而可求得 a 的范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+5x+30 有两个不相等的实数根， b24ac524a32512a0， 解得：a， 方程 ax2+5x+30 是一
18、元二次方程， a0， a 的范围是：a且 a0 故选：A 【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得0 8在一个不透明的盒子里装有若干个白球和 15 个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.6 左右，则袋中白球约有（ ） A5 个 B10 个 C15 个 D25 个 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】解：设袋中白球有 x 个，根据题意得： 0.6， 解得：x10， 经检验：x
19、10 是分式方程的解， 答：袋中白球约有 10 个 故选：B 【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）是解题关键 9如图，点 P 是等腰ABC 的腰 AB 上的一点，过点 P 作直线（不与直线 AB 重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似满足这样条件的直线最多有（ ） A2 条 B3 条 C4 条 D5 条 【分析】根据相似三角形的判定，过点 P 分别 BC，AC 的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点 P 作以点 P 为顶点的角与A 相等的角也可以得到原三
20、角形相似的三角形 【解答】解：BABC， AC， 作 PEBC，可得APEABC 作 PFAC，可得BPFBAC 作APGA，可得AGPABC， 故选：B 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 10如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别从 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CD 向终点 C、D 运动，连接 AM、BN，交于点 P，连接 PC，则 PC 长的最小值为（ ） A22 B2 C31 D2 【分析】先证明ABMBCN，得出BAMCBN，证出APB90，得出点 P 在以 AB
21、为直径的圆上运动，运动路径一条弧 BG，连接 OC 交圆 O 于 P，此时 PC 最小，OPOB2，即可求解 【解答】解：由题意得：BMCN， 四边形 ABCD 是正方形， ABMBCN90，ABBC4， 在ABM 和BCN 中，ABBC，ABMBCN，MBCN， ABMBCN（SAS） ， BAMCBN， ABP+CBN90， ABP+BAM90， APB90， 点 p 是以 AP 为半径的圆上远动，设圆心为 O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接 OC 交圆 O 于 P，此时 PC 最小， AB4， OPOB2， 由勾股定理得：OC2， PCOCOP22； 故选：A 【点评】本题
22、考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点 P 在以 AB 为直径的圆上运动是解题关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11如图，在ABC 中，若 DEBC，且 AD：DB2：3，则 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 【解答】解：DEBC， ADEABC， SADE：SABC（）2， AD：DB2：3， SADE：SABC（）2， 故答案为： 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，并能灵活运用、解题 12关于
23、 x 的一元二次方程 kx24x+30 有实数根，则 k 应满足的条件是 k且 k0 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出 k0 且（4）24k30，求出解集即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx24x+30 有实数根 k0 且（4）24k31612k0， 解得：k且 k0， 故答案为：k且 k0 【点评】本题考查了一元二次方程的定义、解一元一次不等式和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键 13如图，已知，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，则 AF：FC 1：2 【分析】过点 D 作 DMAC，根据中位线定理及BDMBCF 可知，FC2DM，再根据DE
24、MAEF 即可解答 【解答】解：过点 D 作 DMAC，交 BF 于 M，则BDMBCF，DEMAEF， 由BDMBCF，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点可知， 则 FC2DM 根据DEMAEF 得到 AFDM，因而 AF：FCDM：2DM1：2 【点评】本题主要考查了相似性的性质，利用作平行线从而作出相似的三角形，把两个线段的比进行转化 14疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有 5 米）搭建一个矩形临时隔离点 ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是 10 米，矩形隔离点的面积为 12 平方米，则 AB 的长度是 3 米 【分析】根据临时隔离点 ABCD 总
25、长度是 10 米，ABx 米，则 BC（102x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可 【解答】解：设 ABx 米，则 BC（102x）米， 根据题意可得，x（102x）12， 解得 x13，x22（舍去） ， AB 的长为 3 米 故答案为：3 【点评】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 15如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为斜边作 RtADC，使ADC90，CADCAB28，E、F 分别是 BC、AC 的中点，则EDF 48 【分析】根据直角三角形的性质得到 DFACAF，根据三角形的外角性质
26、得到DFCFDA+CAD56，根据三角形中位线定理得到 EFAB，EFAB，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可 【解答】解：ADC90，F 是 AC 的中点， DFACAF， FDACAD28， DFCFDA+CAD56， E、F 分别是 BC、AC 的中点， EFAB，EFAB， EFCCAB28， EFD56+2884， ABAC， FEFD， EDFDEF（18084）48， 故答案为：48 【点评】 本题考查的是直角三角形的性质、 等腰三角形的性质、 三角形内角和定理、 三角形中位线定理， 掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键 16如图，已知矩形 ABCD
27、 中，AB5，动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以每秒 1 个单位的速度运动，连接BP， 作点 A 关于直线 BP 的对称点 E， 设点 P 的运动时间为 t （s） ， 在动点 P 在射线 AD 上运动的过程中，则使点 E 到直线 BC 的距离等于 3 时对应的 t 的值为 或 10 【分析】当点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3，作 EMBC 于 M，延长 ME 交 AD 于 N，连接PE、BE，则 EM3，EN1，BEAB4，四边形 ABMN 是矩形，ANBM4，证出BMEENP，得出，求出 NP，即可得出结果； 当点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的
28、距离为 3，作 EHAB 的延长线于 H，则 BH3，BEAB4，AHAB+BH7，HE4，证得AHEPAB，得出即可得出结果 【解答】解：根据题意分两种情况： 当点 E 在 BC 的上方， 点 E 到 BC 的距离为 3， 作 EMBC 于 M， 延长 ME 交 AD 于 N， 连接 PE、 BE，如图 1 所示： 则 EM3，EN1，BEAB5，四边形 ABMN 是矩形， 在 RtEBM 中，ANBM4， 点 A、E 关于直线 BP 对称， PEBPAB90， ENPEMBPEB90， PENEBM， BMEENP ，即， NP， tAPANNP4； 当点 E 在 BC 的下方，点 E 到
29、 BC 的距离为 3，作 EHAB 的延长线于 H，如图 2 所示： 则 BH3，BEAB5，AHAB+BH8， 在 RtBHE 中，HE4， PABBHE90，AEBP， APB+EAPHAE+EAP90， HAEAPB， AHEPAB， ，即， 解得：tAP10， 综上所述，t或 10 故答案为：或 10 【点评】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答题应写出必
30、要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （8 分）用适当的方法解下列方程： （1）x2+6x+10 （2） （2x+3）25（2x+3）0 【分析】 （1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2） 利用提公因式法将方程的左边因式分解， 继而得出两个关于 x 的一元一次方程， 再进一步求解即可 【解答】解： （1）x2+6x+10， x2+6x1， x2+6x+91+9，即（x+3）28， x+32， x13+2，x232； （2）（2x+3）25（2x+3）0， （2x+3） （2x2）0， 则 2x+30 或 2x20， 解得 x1，x
31、21 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 为矩形 （1）以 AB 为一边，在矩形 ABCD 中用直尺和圆规作正方形 ABEF （保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）连接 CF，如果 AB4，BC7，求 CF 的长 【分析】 （1）分别以 A，B 为圆心，AB 为半径作圆，交 AD，BC 于点 E，F，连接 EF，四边形 ABEF 即为所求； （2）求出 DF，利用勾股定理求解 【解答】解： （1）如图，四边形 ABEF 即为所求； （2）四边
32、形 ABCD 是矩形， ABCD4，BCAD7，D90， 四边形 ABEF 是正方形， AFAB4， DFADAF743， CF5 【点评】本题考查作图复杂作图，正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 19 （8 分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C纯牛奶，D酸奶，E核桃奶 （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购
33、一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率 【分析】 （1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案； （2） 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C纯牛奶，D酸奶，E核桃奶， 甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 共有 6 种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有 2 种， 则两人选购到同一种类奶制品的概率是 【点评】
34、此题考查的是树状图法求概率树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 20 （8 分）在ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线，CEAB，求证：ABDEADAC 【分析】根据 CEAB 可得ABD 和ECD 相似，根据相似三角形对应边成比例可得，根据角平分线的定义可得EAFCAE，根据两直线平行，内错角相等可得EAFAEC，然后求出AECCAE，根据等角对等边可得 ACEC，整理即可得证 【解答】证明：CEAB， ABDECD， ， AD 是BAC 的外角平分线， EAFCAE， CEAB， EAFAEC， AECCAE， ACEC， ， ABDEADA
35、C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记三角形相似的判定与性质是解题的关键 21 （8 分）已知k，求 k23k4 的值 【分析】根据等比性质得出k，再分两种情况进行讨论，当 a+b+c+d0 时和 a+b+c+d0 时，分别求出 k 的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案 【解答】解：k， 由等比性质可得：k， 当 a+b+c+d0 时，k， 当 a+b+c+d0 时，b+c+da， k2， k23k4（）234或 k23k4（2）23（2）46 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键 22 （11 分）已知关于 x 的一元
36、二次方程 x2（m+4）x+2m+40 （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若1 是方程的一个根，求 m 的值； （3）若 x1，x2为方程的两个根，且 nx12+x224，判断动点 P（m，n）所形成的数图象是否经过点 A（5，9） ，并说明理由 【分析】 （1）根据判别式公式得m20，即可得到答案， （2）把 x1 代入方程 x2（m+4）x+2m+40 得到关于 m 的一元一次方程，解之即可， （3）根据一元二次方程根与系数得关系，得到 x1+x2和 x1x2关于 m 的表达式，整理 nx12+x224，得 n（m+2）2，即可得到答案 【解答】 （1）证明：（m+4）24
37、（2m+4）m20， 该一元二次方程总有两个实数根， （2）解：把 x1 代入方程 x2（m+4）x+2m+40 得： 1+（m+4）+2m+40， 解得：m3， （3）解：根据题意得： x1+x2m+4，x1x22m+4， n+4 2x1x24， （m+4）22（2m+4）4 m2+4m+4 （m+2）2 即 n（m+2）2，经过（5，9） 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键： （1）正确掌握根的判别式， （2）正确掌握代入法和解一元一次方程的方法， （3）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质 23 （11 分）某租赁公司拥有汽车 100
38、辆据统计，每辆车的月租金为 4000 元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加 100 元，未租出的车将增加 1 辆，租出的车每辆每月的维护费为 500 元，未租出的车辆每月只需维护费 100 元 （1）当每辆车的月租金为 4800 元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过 7200 元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 40.4 万元？ 【分析】 （1）由月租金比全部租出多 48004000800 元，得出未租出车的数量，从而根据每辆车的租金减去 500 元，乘以租出的车的数量，减
39、去 100 乘以未租出的车的数量，等于租金收益即可； （2）设上涨 x 个 100 元，根据租赁公司的月收益可达到 40.4 万元，列方程并求解即可 【解答】解： （1）10092（辆） ， （4800500）92100（10092）394800（元） ， 394800 元39.48 万元 答：当每辆车的月租金为 4800 元时，能租出 92 辆，此时租赁公司的月收益是 39.48 万元 （2）40.4 万元404000 元 设上涨 x 个 100 元，由题意得： （4000+100 x500） （100 x）100 x404000 整理得：x264x+5400 解得：x154，x210 规定
40、每辆车月租金不能超过 7200 元， 取 x10，则 4000+101005000（元） 答：每辆车的月租金定为 5000 元时，租赁公司的月收益可达到 40.4 万元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 24 （11 分） 【探究】如图，在等边ABC 中，AB4，点 D、E 分别为边 BC、AB 上的点，连接 AD、DE，若ADE60，BD3，求 BE 的长 【拓展】如图，在ABD 中，AB4，点 E 为边 AB 上的点，连接 DE，若ADEABD45，若DB3， 【分析】 【探究】过点 A 作 AFBC 于 F，由等边三角形的性质得出 BF
41、CFBC2，由勾股定理求出 AF2，则 DFBDBF1，由勾股定理求出 AD，证得ABDADE，得出，解得 AE，即可得出结果； 【拓展】过点 A 作 AFBC 于 F，易证ABF 是等腰直角三角形，则 AFBFAB2，DFDBBF，由勾股定理求出 AD，证得ADEABD，得出，求出 AE，BEABAE，则即可得出结果 【解答】 【探究】解：ABC 是等边三角形， BC60，ABBC4， 过点 A 作 AFBC 于 F，如图所示： 则 BFCFBC2，AF2， DFBDBF321， AD， 根据三角形的内角和定理得，ADB+BAD120， ADE60， BAD+AED120， ADBAED，
42、BADE60， ABDADE， ， 即：， 解得：AE， BEABAE4； 【拓展】解：过点 A 作 AFBC 于 F，如图所示： ABD45， ABF 是等腰直角三角形， AFBFAB2， DFDBBF32， AD， ADEABD45，AA， ADEABD， ， AE， BEABAE4， ； 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键 25 （13 分）如图所示，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（4，8） ，过点 B 分别作 BAy 轴，BCx 轴，得到一个长方
43、形 OABC， D 为 y 轴上的一点， 将长方形 OABC 沿着直线 DM 折叠， 使得点 A 与点 C 重合，点 B 落在点 F 处，直线 DM 交 BC 于点 E （1）直接写出点 D 的坐标 （0，3） ； （2）若点 P 为 x 轴上一点，是否存在点 P 使PDE 的周长最小？若存在，请求出PDE 的最小周长；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，若 Q 点是线段 DE 上一点（不含端点） ，连接 PQ有一动点 H 从 P 点出发，沿线段 PQ 以每秒 1 个单位的速度运动到点 Q， 再沿着线段 QE 以每秒个单位长度的速度运动到点 E 后停止请直接写出点 H 在整个运动过程
44、中所用的最少时间 t，以及此时点 Q 的坐标 【分析】 （1）设 D（0，m） ，且 m0，运用矩形性质和折叠性质可得：ODm，OA8，CD8m，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）如图 1，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 DE，交 x 轴于点 P，则点 P 即为所求，此时PDE的周长最小，运用勾股定理可得 CE5，BE3，作 EGOA，在 RtDEG 中，可得 DE2，在 RtDEG 中，可得 DE4，即可求出答案； （3）运用待定系数法求得直线 DE 的解析式为 y2x3，进而求得 P（，0） ，过点 E 作 EGy 轴于点 G，过点 Q、P 分别作 y 轴的平行线，分别交
45、EG 于点 H、H，HP 交 DE 于点 Q，利用待定系数法可得直线 DE 的解析式为 yx+3，设 Q（t，t+3） ，则 H（t，5） ，再运用勾股定理即可求出答案 【解答】解： （1）设 D（0，m） ，且 m0， ODm， 四边形 OABC 是矩形， OABC8，ABOC4，AOC90， 将长方形 OABC 沿着直线 DM 折叠，使得点 A 与点 C 重合， CDADOAOD8m， 在 RtCDO 中，OD2+OC2CD2， m2+42（8m）2， 解得：m3， 点 D 的坐标为（0，3） ； （2）存在 如图 1，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 DE，交 x 轴于点 P，则
46、点 P 即为所求， 此时PDE 的周长最小， 在 RtCEF 中，BEEFBCCE，EF2+CF2CE2，BC8，CF4， CE5，BE3， 作 EGOA， ODAGBE3，OA8， DG2， 在 RtDEG 中，EG2+DG2DE2，EG4， DE2， 在 RtDEG 中，EG2+DG2DE2，EG4，DG8， DE4， PDE 周长的最小值为 DE+DE6； （3）由（2）得，E（4，5） ，D（0，3） ， 设直线 DE 的解析式为 ykx+b， 则， 解得：， 直线 DE 的解析式为 y2x3， 令 y0，得 2x30， 解得：x， P（，0） ， 过点 E 作 EGy 轴于点 G，过
47、点 Q、P 分别作 y 轴的平行线，分别交 EG 于点 H、H，HP 交 DE 于点 Q， 设直线 DE 的解析式为 ykx+b， 则， 解得：， 直线 DE 的解析式为 yx+3， 设 Q（t，t+3） ，则 H（t，5） ， QH5（t+3）2t，EH4t， 由勾股定理得：DE（2t）QH， 点 H 在整个运动过程中所用时间+PQ+QH， 当 P、Q、H 在一条直线上时，PQ+QH 最小，即为 PH5，点 Q 坐标（，） ， 故：点 H 在整个运动过程中所用最少时间为 5 秒，此时点 Q 的坐标（，） 【点评】此题是四边形与一次函数综合题，考查了一次函数的解析式，两点之间线段最短轴对称性质的应用，勾股定理等知识，灵活运用一次函数图象的点坐标的特征是解决此类问题的关键