1、第二章 一元二次方程 新课导入 讲授新课 随堂练习 课堂小结 2.2.1 用配方法解简单的一元二次方程 1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n0)的方程. 2.理解配方法的基本思路. 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 4.经历用配方法解一元二次方程的过程，使学生在学习中体会转化等数学思想，感受数学学习的价值. 学习目标 3.如果x2=9，则x是 _. 答案一个正数有两个平方根，且互为相反数 31.如果 x2=a,则x叫做a的 . 2.如果 x2=a(a 0),则x= . 平方根 a4.一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 新课导入 在上一节的问题中，梯子的底端滑动
2、的距离x(m)满足方程x2 +12 x - 15 = 0.你还记得x的近似值吗？ x2 +12 x - 15 = 0 近似值：1.1x1.2 你知道如何求x的精确值吗？ 讲授新课直接开平方法 问题1：说一说你会解哪些特殊的一元二次方程？ (1) x2=1 (2) x2=0 解:(1) =1， 根据平方根的意义，得x1=1，x2=-1. 解:0 =0， 根据平方根的意义，得x1=x2=0. 问题2：那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？ (1) x2=5 (2) 2x2+3=5 1= 5x 解：2x2 + 3 = 5 移项，得 2x2 = 2 x2 = 1 根据平方根的意义，得 x1=1， x2
3、=-1. 解:( ) =5， 根据平方根的意义，得 512. = 5 =5xx，-问题2：那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？ (3) x2+2x+1=5 (4) (x+6)2+72=102 解： x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1)2 = 5 +1=5x解： (x+6)2 + 72 = 102 化简，得(x+6)2 = 51 +6=51x 类比 x2=5可得： 12. = 15 = 15xx，- -用(3)类似方法： 12. = 651 = 651xx，- -一般的，对于可化为方程 x2 = a (1)当a0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等 的实数根 ， ； ax ax(
4、2)当a=0 时，方程有两个相等的实数根 120 xx(3)当a0 时，方程无解 利用平方根意义求解方程的根的方法叫做直接开平方法 归纳小结 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=5； (2)(x+3)2=4. 解： 直接开平方，得 5x5-521xx，解： 直接开平方，得 32x 121-5xx ，总结 用直接开平方法求一元二次方程的解，需要满足条件： 变形后需满足为x2 = a（a0）或（x+b）2=a（a0） 你还记得学过的完全平方公式吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 讲授新课用配方法
5、解系数为1一元二次方程 填上适当的数，使下列等式成立 1. x2+12 x+ =(x+6)2 2. x2-6 x+ =(x-3)2 3. x2-4 x+ =(x - )2 4. x2+8 x+ =(x+ )2 62 32 22 2 42 4 常数项等于一次项系数一半的平方 问题：在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？ 2222()xaxaxa 问题3：你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流. x2 + 12x-15 = 0 移项，得x2 + 12x=15 左边既不是单独的平方式，也不能直接化成平方式 两
6、边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62 即 ( x + 6 )2 = 51 两边开平方，得 12. = 651 = 651xx，- -+6=51x 1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 4.拆成两个一次方程乘积的形式 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解. 用配方法解一元二次方程的步骤 针对二次项系数为针对二次项系数为1 1的一元二次方程的一元二次方程 一元二次 方程 配方 （x+m）2=n 开平方 n0 一元一次 方程 降次 解一元二次方程的思想：针对二次项系数为1
7、怎样解方程: x2+6x+4=0? 解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 转化 (x+3)2=5 左边化为x2+ax的形式 左边配成完全平方式 转化为 (x+m)2 = n 的形式 随堂练习 1.解下列方程 (1) x2 -10 x + 25 = 7 ； (2)x2 -14x = 8； 解: (1) 移项，得 x2 -10 x = -18 两边都加52，得 x2-10 x+52 = -18+52 即 (x-5)2 = 7 两边开平方，得 5=7x-12. =57 =57xx，-(2)两边都加72，得 x2-14x + 72 = 8+72 即
8、(x-7)2 = 57 两边开平方，得 7=57x-12. =757 =757xx，-1.解下列方程 31322 = x 1233.22221313 = =xx，- 3=11x-12. =311 =311xx，-(3)x2 + 3x = 1； (4)x2+2x+2 = 8x + 4. 解：(3)两边都加( )2，得 x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 即 (x + )2 = 两边开平方，得 (4)解: 移项，得 x2 -6x = 2 即 (x-3)2 = 11 32323232134解下列方程: 1. 解：（1）移项，得x +12x=-25. 配方，得x +12x+6 =-25+36
9、 即(x+6) =11. 两边开平方， 得x+6= ，或x+6= . x1= - 6 ，x2= - 6 . 11111111（1）x +12x+25=0； （2）x +4x=10； （2）配方，得x +4x+2 =10+2 即(x+2) =14. 两边开平方， 得x+2= ，或x+2= . x1= ，x2= . 1414142 142（3）x -6x=11； （4）x -9x+19=0. （3）配方，得x -6x+(-3) =11+(-3) ， 即(x-3) =20. 两边开平方， 得x-3= ，或x-3= . x1= ，x2= . 2 52 5 2 53 2 53（4）移项，得）移项，得x
10、-9x=-19. 配方，得配方，得x -9x+( )2=-19+( )2， 即即(x- )2= . 两边开平方，两边开平方， 得得x- = ，或，或x- = . x1= ，x2= . 92 92 92 5492 5292 52 952 952 2.如图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 m2，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽为x m， 根据题意，得(35-x)(26-x)=850， 即x2-61x=-60. 配方，得(x- )2= . 开平方，得x- = . 解得x1=1，x
11、2=60（不合题意，舍去）. 答：道路的宽应为1 m. 592 612348146123.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？ 解：设增加69人后，增加的行数，列数都是x，则(x+8)(x+12)=69+(812)，即x +20 x=69. 配方，得x +20 x+10 =69+10 ，即(x+10) =169. 开平方，得x+10=13. 解得x1=3，x2=-23（不合题意，舍去） 答：增加了3行，3列. 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为1的一元二次方程步骤 形如（x + m）2 = n (n0) 将方程转化为（x + m）2 = n (n0) 的形式，再用直接开平方法，直接求根. 1.移项 3.判断 2.配方 4.直接开平方求解 右边0 右边0 4.无解 课堂小结