1、相遇问题相遇问题 基础题 1、龟、兔赛跑，龟每分钟爬 25 米，兔每分钟跑 325 米，全程 1500 米。兔自以为能得第一，在途中睡了一觉，结果鬼到终点时，兔还差 200 米，兔子睡了几分钟？ 2、两辆汽车从相距 276 千米的两地同时相对开出，一辆汽车每小时行 57 千米，另一辆汽车比它每小时快 1 千米。（1） 经过几小时两车相遇？ （2） 两车从开始到还相距 46 千米用了几小时？（3）两车从开始到相遇后又相距 69 千米共用了几小时？ 3、两地之间的路程长 300 千米，两辆汽车同时从两地相对开出，2.5 小时后两车还相距 50 千米，已知一辆汽车每小时行 45 千米，另一辆汽车每小
2、时行多少千米？ 4、甲、乙二人在一个长 400 米的环形跑道上行走，甲每分钟走 45 米，乙每分钟走 35 米。 （1）如果两人从同一地点同时反向而行，多少分钟后两人第一次相遇？（2）如果两人从同一地点同时同向而行，多少分钟后两人第一次相遇？ 5、甲、乙两人同时从 A、B 两地相对而行，甲车每小时行 63 千米，乙车每小时行 57 千米，相遇时甲车比乙车多行了 24 千米，A、B 两地相距多少千米？ 6、甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相向而行，甲每分钟行 200 米，乙每分钟行 160 米，两人在距中点 80 米处相遇，求 A、B 两地相距多少千米？ 提高题 1、甲、乙两人同时从两地出发，
3、相向而行，距离 100 千米，甲每小时行 6 千米，乙每小时行4 千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时行 10 千米。这只狗同甲一起出发，先向前走，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？ 2、一辆轿车和一辆巴士都从 A 地到 B 地，巴士速度是轿车速度的45，巴士要在两地的中点停9 分钟，轿车中途不停车。轿车比巴士在 A 地晚出发 11 分钟，早 6 分钟到达 B 地。如果巴士是 10 点出发的，轿车超过巴士车时是 10 点多少分？ 3、甲、乙两车同时从相距 591 千米的两地出发，相向而行。甲车每小时行 53 千米，乙车每小时行 44 千
4、米，途中因汽车故障，乙车停了 2 小时，然后继续行进，与甲相遇。甲车从出发到相遇经过几个小时? 4、甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，甲每小时行 75 千米，乙车每小时行 65 千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达 B、A 两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了 6 小时，求 A、B 两地相距多少千米？ 5、A、B 两辆汽车从甲、乙两地同时出发，相向而行在距甲地 80 千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进（保持原速）各自到达乙、甲两地后，立即沿原路返回。在距甲地60 千米处两车第二次迎面相遇。求甲、乙两地相距多少千米？ 6、A、B 两辆汽车分别从甲、乙两地
5、同时出发，并在两地间不断往返行驶。两车在距离甲地 40千米处第 1 次迎面相遇， 在距离乙地 10 千米处第 2 次迎面相遇。 求甲、 乙两地相距多少千米？ 7、在 500 米长的环形跑道上，甲、乙两人同时同地反向而行。若从出发到第 7 次相遇，乙共跑了 1500 米。那么此时甲共跑多少米？ 8、甲、乙、丙三人中，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时出发相向而行，丙遇到乙后 2 分钟遇到甲，求东、西两镇相距多少千米？ 竞赛题 1、甲、乙两车分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时出发，在 A、B 之间不断往返。甲车的速度是每小时
6、 25 千米， 乙车的速度是每小时 35 千米。 第 2010 次迎面相遇后再经过多少小时第 2014次迎面相遇？ 2、在 600 米长的环形跑道上，甲、乙两人同时同地反向而行。出发后，甲走了 230 米，第 1次跟乙相遇。请问第 11 次相遇地点距离第 1 次相遇地点多少米？ 3、甲、乙两人分别从 A、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是 3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了 20%，乙的速度提高了 30%，这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 14千米。求 A、B 两地之间的距离是多少千米？ 4、一辆汽车从甲地到乙地，如果把车速提高 20%，可以比原定时间提前 1 小时到达
7、；如果按原速度行驶 120 千米后，再将车速提高 25%，则可以提前 40 分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？ 5、一天，小张开拖拉机从甲镇到乙镇，同时小李驾驶小轿车沿同一条路从乙镇去甲镇，在超过两镇之间公路中间 15 千米的地方，小李遇见了小张，之后，小张按原来的速度继续前进，小李则把车速提高15，小李到达甲镇后立即沿原路返回，在离乙镇 30 千米的地方追上小张。甲、乙两镇之间的路程是多少千米？ 6、 甲、 乙两人分别从 A、 B 两地同时出发， 4 小时后在某处相遇； 如果甲每小时多走 1.5 千米，而乙比甲提前 24 分钟出发，则相遇时仍在此处；如果甲比乙晚出发 48 分钟出发，乙每
8、小时少走 2.5 千米，也能在此处相遇，那么 A、B 两地之间相距多少千米？ 答案答案解析解析 基础题 1、答案：56 分。 解析：这是一道基本的行程问题，其数量关系是“速度时间路程”。要求三者中的一个条件，就必须去寻找另外两个条件。已知龟的路程是 1500 米，速度是每分钟 25 米，那么龟的时间是 15002560（分） ，在这段时间内，兔跑了 15002001300（米） ，又睡了一会，求出兔跑的时间就可求出它睡的时间。 解：15002560（分） 60（1500200）32556（分） 答：兔子睡了 56 分钟。 2、答案： （1）2.4 小时； （2）2 小时； （3）3 小时。 解
9、析：这是一道典型的相遇问题，由“速度和相遇时间路程和”可知，要求时间，关键是要能推导出其同时行的路程和。 （1）两车同时行的路程和是 276 千米； （2）两车同时行的路程和是 27646230（千米） ； （3）两车同时行的路程和是 27669345（千米） ，所以在解决这类相遇问题时，一定要注意的是同时行的路程和不一定就是两地之间的距离。 解： （1）276（57571）2.4（小时） （2） （27646）（57571）2（小时） （3） （27669）（57571）3（小时） 答： （1）经过 2.4 小时两车相遇； （2）两车从开始到还相距 46 千米用了 2 小时； （3）两车从开
10、始到相遇后又相距 69 千米共用了 3 小时。 3、答案：55 千米/小时。 解析： 2.5 小时后两车还相距 50 千米， 所以两车同时行的路程是 30050250 （千米） ， 由“速度和相遇时间路程和”可求出两人的速度和，再减去一辆车的速度，就可以求出另一辆车的速度。 解：速度和： （30050）2.5100（千米/小时） 1004555（千米/小时） 答：另一辆汽车每小时行驶 55 千米。 4、答案： （1）5 分钟； （2）40 分钟。 解析：这是一道环形相遇问题， （1）两人同一地点同时反向而行时，当两人第一次相遇时，两人所走的路程和就是跑道的长 400 米； （2）两人从同一地点
11、同向而行时，两人第一次相遇时，甲车要比乙车多行一个跑道的长 400 米。 解： （1）400（4535）5（分钟） （2）400（4535）40（分钟） 答： （1）两人从同一地点同时反向而行，经过 5 分钟两人第一次相遇； （2）两人从同一地点同时反向而行，经过 40 分钟两人第一次相遇。 5、答案：480 千米。 解析：本题要求的是 A、B 两地相多少千米，即要求的是两人同时行的路程和，由“速度和相遇时间路程和”可知，要求路程和就要求出两人的相遇时间和速度和，因为甲车的速度是每小时 63 千米， 乙车的速度是每小时 57 千米， 每小时甲车就要比乙车多行 63576 （千米） ，当两车相遇
12、时， 甲车比乙车多行了 24 千米， 所以就可以求出两车的相遇时间 2464 （小时） ，两人所行的路程和也可以求出来了。 24（6357）4（小时） 4（6357）480（千米） 答：A、B 两地相距 480 千米。 6、答案：1.44 千米。 解析：由题意知甲、乙两人的速度，所以解题的关键是求两人的相遇时间。本题中的难点是对“在距中间 80 米处相遇”的理解。突破点一：“在距中点 80 米处相遇”，说明较快的甲车所行的路程是全程的一半多 80 米， 较慢的乙车所行的路程是全程的一半少 80 米， 这样就可知相遇时，甲比乙多行了 802160（米） 。突破点二：每分钟甲车要比乙车多行 200
13、16040（米） ，当相遇时，甲车比乙车多行了 160 米，所以就可以求出相遇时间。 解：相遇时间：802（200160）4（分） （200160）41440（米）1.44 千米 答：A、B 两地相距 1.44 千米。 提高题 1、答案：100 千米。 解析： 此题重要考查学生运用行程问题的有关知识灵活解决生活中的实际问题的能力。对行程问题的基本数量关系的深刻理解是解题的关键。行程问题的主要数量关系是：路程速度时间。若分段求出狗走的路程，再求出这些路程的和，是非常困难的。因此，一定要从整体上考虑。狗总共走的时间正好是甲、乙两人的相遇时间，再乘狗的速度即可求出狗走的路程。 解：100（64）10
14、100（千米） 答：这只狗一共跑了 100 千米。 2、答案：10 点 27 分。 解析：设巴士途中不休息 10 分钟。巴士比轿车行完全程要多用：117108（分钟） 轿车行完全程的时间：8（1451）32（分钟） 则巴士车行完全程的时间： 32840 （分钟） ， 两车从 A 地行到两地中点所需要的时间分别是： 巴士车 40220（分钟） 轿车 32216（分钟） 巴士 10 点从 A 地出发， 10 点 20 到达两地的中点， 并要在此休息 10 分钟即到 10 点 30 分出发； 轿车 10 点 11 分从 A 地出发，10 点 27 到达两地的中点，追上在此休息的巴士。 答：轿车超过巴
15、士时是 10 点 27 分。 3、答案：7 小时。 解析：因为乙车在途中停了 2 小时，在这 2 小时内甲车一直在走，所以相当于甲车先出发 2小时，乙车再出发，这时两车同时行的路程和是：591532485（千米） ，由“速度和相遇时间路程和”可求出两车的相遇时间。 （591532）（5344）27（小时） 答：甲车从出发到相遇进过了 7 小时。 4、答案：280 千米。 解析：两辆汽车所行的路程之间的关系如下图所示： 第一次相遇，很显然两辆车所走的路车和就是两地之间的距离，即一个全程。 第二次相遇时，两车一共走了 3 个全程（每辆车走了一个全程多了一部分） ，再根据两辆车的速度即可求出三个全程
16、的路程，所以 A、B 两地之间的距离也可以求出来了。另外也可以求出两人第一次相遇的时间，因为第二次相遇时，两车走了 3 个全程用了 6 小时，所以 1 个全程所用的时间是 632（小时） 解： （7565）63280（千米） 或（7565）（63）280（千米） 答：A、B 两地相距 280 千米。 5、答案：150 千米。 解析：A、B 两辆汽车行驶的路程如下图所示： 第一次相遇，很显然两辆车所走的路车和就是两地之间的距离，即一个全程，这时 A 车走了80 千米，第二次相遇时，两车一共走了三个全程，所以第二次相遇时所用的时间是第一次的 3倍，所以 A 车走的路程是 3 个 80 千米，从图上
17、可以知道 A 车走了一个全程又多了一部分，所以 38060300（千米）就是 2 个全程，所以就可以求出甲、乙两地之间的距离。 （38060）2150（千米） 答：甲、乙两地相距 150 千米。 6、答案：110 千米。 解析：A、B 两辆汽车行驶的路程如下图所示： 第一次相遇，很显然两辆车所走的路车和就是两地之间的距离，即一个全程，这时 A 车走了40 千米，第二次相遇时，两车一共走了三个全程，所以第二次相遇时所用的时间是第一次的 3倍，所以 A 车走的路程是 3 个 40 千米，从图上可以知道 A 车走了一个全程又多了 10 千米，所以 340120（千米）就是 1 个全程多 10 千米，
18、所以就可以求出甲、乙两地之间的距离。 34010110（千米） 答：甲、乙两地相距 110 千米。 7、答案：2000 米。 解析：在环形相遇问题中，甲、乙两人每相遇一次，两人所走的路程和就是一个环形跑道的长500 米，所以当两人第 7 次相遇时，两人所走的路程和是 50073500（米） ，再减去乙跑的路程，就是甲跑的路程。 500715002000（米） 答：此时甲跑了 2000 米。 8、答案：3.38 千米。 解析：甲、乙、丙三人所行的路程如下图所示： 假设当乙和丙在 B 地相遇时，甲才走到 A 地，则 A、B 两地之间的距离就是甲和乙在 2 分钟的时间内做走的路程和，是（5070）2
19、260（米） ，同时 A、B 两地之间的距离也是乙比甲多走的路程， 乙每分钟比甲多走 605010 （米） ， 当乙和丙相遇的时候， 乙比甲多走了 260 米，所以可以求出乙和丙的相遇时间：2601026（分） ，再根据总路程相遇时间速度和，就可以求出东、西两镇之间的距离。 （5070）2（6050）26（分） 26（7060）3380（米）3.38 千米 答：东、西两镇相距 3.38 千米。 竞赛题 1、答案：4 小时。 解析：这是一道多次相遇问题，首先当两车第一次相遇时，两车一共走了一个全程，所用的时间是 30（2535）0.5（小时） ，从第一次相遇到第二次相遇，两车要走 2 个全程，所
20、用的时间也应该是 2 个 0.5 小时；同样从第 2010 次相遇到第 2011 次相遇，两车所走的路程和也是 2 个全程，从第 2011 次相遇到第 2012 次相遇，两车所走的路程和也是 2 个全程，所以从第 2010 次相遇到第 2014 次相遇，两车所走的路程和是 8 个全程，所用的时间是 8 个 0.5小时，即可本题的答案。 30（2535）（20142010）24（小时） 答：第 2010 次迎面相遇后再经过 4 小时第 2014 次迎面相遇。 2、答案：100 米。 解析：这是一道环形相遇问题，在环形相遇问题中，每相遇一次，两人所走的路程和都是一个环形跑道的长 600 米，所以当
21、两人第 11 次相遇时，两人所走的路程和是 11 个 600 米；因为两人第 1 次相遇时，甲走了 230 米，即第 1 次相遇的地点离出发点的距离也是 230 米，所以当两人第 11 次相遇时， 甲走了 11 个 230 米， 这样就可以求出第 11 次相遇的地点离出发点的距离；二者相减，即可求出两次相遇地点之间的距离。 112302530（米） 25306004（圈）130（米） 所以第 11 次相遇地点离出发点的距离是 130 米， 则第 11 次相遇地点与第 1 次相遇地点之间的距离是：230130100（米） 答：第 11 次相遇地点距离第 1 次相遇地点 100 米。 3、答案：4
22、5 千米。 解析：因为刚开始两人的速度比是 3：2，所以把 A、B 两地之间的路程平均分成 5 份，如下图所 示 ， 第 一 次 相 遇 时 ， 甲 走 了3份 的 路 程 ， 乙 走 了2份 的 路 程 。 但是第一次相遇后，甲、乙两人的速度比变成了3（120%）：2（130%）18：13。 甲到达 B 点还需要再走 2 份的路程，在这段时间内乙走了 21813419（份）路程，从上图中可以看出 14 千米对应的是 3419519（份） ，根据对应数量对应分率单位“1”所对应的总量，即可求出 A、B 两地之间的距离，解答过程如下： 解：3（120%）：2（130%）18：13 2181341
23、9（份） 14（3419）545（千米） 答：A、B 两地之间的距离是 45 千米。 4、答案：270 千米。 解析：此题是将行程、比例和百分数三种应用题综合在一起，解题时，我们可以先求出该车按原定速度到达乙地所需要的时间，即可求出甲、乙两地的路程。 首先在路程一定的情况下，所需的时间和速度是成反比的。由车速提高 20%可知，现在速度与原来速度的比是（120%） ：16：5，则所需时间的比是 6：5，这样就可以求出原计划的时间是 6 小时；按原速度行驶 120 千米后，速度提高 25%，可知现在的速度与原来速度的比是（125%） ：15：4，则所需时间的比是 4：5，可以算出行驶 120 千米
24、所需要的时间，即可算出原计划的速度，用原计划的时间 6 小时原计划的速度即可求出甲、乙两地的距离。解答过程如下： 解：40 分23时 现速：原速（120%） ：16：5 现时间：原时间5：6 原计划的时间是：1（65）66（小时） 行驶 120 千米后，加快的速度：原速（125%） ：15：4 则行驶 120 千米所需要的时间是：623（54）583（时） 原计划是速度是：1208345（千米/时） 甲、乙两地相距：456270（千米） 答：甲、乙两地相距 270 千米。 5、答案：70 千米。 解析：小张和小李两人行驶的路程如下图所示。 因为两人是在两镇中间 15 千米处第一次相遇，此时小张
25、走了全程路程的一半少 15 千米， 小李走了全程路程的一半多 15 千米，把甲、乙两镇之间的距离设为 x 千米，则小张走的路程就是 （12x15）千米，小李走的路程是（12x15）千米；第一次相遇后小李的速度提高了15，达到甲镇后立即沿原路返回，小张的速度没有变化继续向前行驶，在距离乙镇 30 千米处两人第二次相遇，如上图所示，在这段时间内，小张走的路程就是 A、B 两地之间的距离，从图上我们可以求出 A、B 两地之间的距离是12x153012x15，所以对于小张来说，从开始到第一次相遇和从第一次相遇到第二次相遇所走的路程是相等的，因为小张的速度没有变化， 所以从开始到第一次相遇和从第一次相遇
26、到第二次相遇所用的时间也是相等的。 在时间一定是情况下， 小李从开始到第一次相遇和从第一次相遇到第二次相遇所的路程的比就是小李的速度提高前和提高后的速度的比。解答过程如下： 解：设甲、乙两镇之间的距离设为 x 千米。 第一次相遇小李走的路程是：12x15 从第一相遇到第二次相遇小李走的路程是：12x15x3032x45 （12x15） ： （12x15x30）1： （115） （12x15） ： （32x45）5：6 3x90152x225 92x315 x70 答：甲、乙两镇之间的路程是 70 千米。 6、答案：114 千米。 解析：本题是一道相遇问题，相遇时间是 4 小时，要想求出 A、B
27、 两地之间相距多少千米，只要再求出甲、 乙两人的速度即可。 由如果甲每小时多走 1.5 千米， 而乙比甲提前 24 分钟出发，则相遇时仍在此地，可知现在的相遇时间是 424603.6（时） ，因为两次相遇的地点没有变化，所以甲两次走的路程也没有变化，在路程一定的情况下，速度和时间是成反比的，所以甲现在的速度：原来的速度4：3.610：9，则甲原来的速度是 1.5（109）913.5（千米/时） ；同样道理可以求出乙现在的速度：原来的速度4： （44860）5：6，则乙原来的速度是 2.5（65）615（千米/时） ，再根据相遇时间速度和总路程即可求出 A、B 两地之间的路程，解答过程如下： 解：甲现在的速度：原来的速度4： （42460）4：3.610：9 甲原来的速度是：1.5（109）913.5（千米/时） 乙现在的速度：原来的速度4： （44860）5：6 乙原来的速度是 2.5（65）615（千米/时） A、B 两地之间的距离是： （13.515）4114（千米） 答：A、B 两地之间相距 114 千米。