1、河南省中原名校2022-2023学年高二上第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1直线的倾斜角为（ ）A B C D2如图，在空间四边形中，（ ）A B C D3若空间向量不共线，且，则（ ）A6 B12 C18 D244若直线与直线平行，则（ ）A B C或 D不存在5若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）A1 B C1或 D0或6如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）A B C D7已知，则点C到直线的距离为（ ）A2 B C D8如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是线段的中点，N是线段的中点，则直线与直线所成的角是（ ）A B C D9已知
2、向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）A B C D10已知两点，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）A B C D11某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）A B C或 D或12如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13经过两点的直线的一个方向向量为，则_14已知，点，若平面，则点P的坐标为_15从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，
3、则反射光线所在直线的一般式方程为_16正方体棱长为2，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知空间向量（1）若，求（2）若，求实数k的值18（本小题满分12分）在平行四边形中，点E是线段的中点（1）求直线的方程；（2）求过点A且与直线垂直的直线19（本小题满分12分）如图，在平行六面体中，且的两两夹角都是（1）若，求线段的长度；（2）求直线与所成角的余弦值20（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，E为线段的中点（1）证明：平面；（2）若，
4、求二面角的平面角的正弦值21（本小题满分12分）已知直线经过定点P（1）证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程22（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F（1）当时，证明：平面；（2）当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积中原名校2022-2023学年上期第一次联考高二数学参考答案一、选择题1D 【解析】将原式化为：，斜率为，即，倾斜角2A 【解析】根据向量的加法、减法法则得3C 【解析】空间向量不共线，要使，则4B 【解析】由直线与直线平行，可得：
5、，解得5B 【解析】由题知，解得6C 【解析】连接，7B 【解析】因为，所以设点C到直线的距离为d，则8D 【解析】以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则，直线与直线所成的角是9A 【解析】设在基底下的坐标为，则，所以，解得，故在基底下的坐标为10C 【解析】直线恒过定点，斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为结合图像可知，当直线l与线段没有交点时，直线l的斜率，即11D 【解析】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，所以所求直线的方程为，即
6、，综上所述，该直线的斜率是或12B 【解析】由圆锥的性质可知平面，以点O为坐标原点，平面过点O且垂直于的直线为x轴，直线分别为y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设，则根据题意可得，因为，所以，所以，因此，异面直线与所成角的余弦值为二、填空题135 14 15 1613【解析】由条件可知，解得14【解析】因为，所以，因为平面，所以，所以点P的坐标为15【解析】设关于直线的对称点为，则，解得，依题意知D在反射光线上又也在反射光线上，故所求方程为，整理得：16【解析】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，设与平面所成的角为，令当且仅当时，即时，最
7、大，与平面所成的角最大三棱锥的体积为三、解答题17【解析】（1），解得：，故，故（2）因为由得即，解得18【解析】（1）由中点坐标公式，得，又因为，所以，所以直线的方程为，即（2）设点，因为平行四边形的对角线互相平分，所以，解得，所以，过点A且与直线垂直的直线为：即（写成也得分）19【解析】（1）以为空间一组基底，所以（2），所以，所以设直线与直线所成角为，则20【解析】（1）证明：连接交于点O，连接，在直三棱柱中，为矩形，所以O为中点，又因为E为中点，所以，又由平面平面，所以平面（2）以B点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，
8、则，所以平面的一个法向量为，因为平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，所以二面角的平面角的正弦值为21【解析】（1）由可得：，由可得，所以l经过定点；即直线l过定点且定点在第二象限，所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限（2）设直线l的倾斜角为，则，可得，所以，令，因为，可得，将两边平方可得：，所以，所以，因为在上单调递增，所以，所以，此时，可得，所以，所以直线的方程为22【解析】（1）延长交于N，连接，因为G为的重心，所以点N为的中点，且，因为，故，所以，故，故，因为平面，所以，因为底面为矩形，所以，又因为，所以平面，故，因为，所以，又因为，所以平面，所以平面（2）以C为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设点G到平面的距离为，则，故，设平面的法向量为，则，即，取，则，即，设平面的法向量为，则，即，取，则，则，所以，解得，又，故点G到平面的距离为，因为，所以，所以