1、浙教版八年级上册数学知识梳理汇编浙教版八年级上册数学知识梳理汇编 第第1 1单元单元三角形的初步知识三角形的初步知识 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 一、三角形的内角和一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形的内角和为180 三角形外角性质：三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 要点：要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； 已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； 求一个三角形中各角之间的关系 二、三角形的分类二、三角形的分类 1.按角分类：按角分类： 直
2、角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形 要点：要点： 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 三、三角形的三边关系三、三角形的三边关系 1.定理：定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点：要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围 （3）证明线段之间的不等关系 2.三角形的重要线段：三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心
3、一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 四、命题、定理与证明四、命题、定理与证明 1.命题：命题：判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题. 要点：要点：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题； （2）每一个命题都可以写成“如果,那么”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分； 2.定理：定理：如
4、果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理. 3.证明证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明 五、全等三角形的性质与判定五、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理全等三角形的判定定理 全等三角形判定1“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “ 全等三角形判定2“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 全等三角形判定3“角边角”：两角和它们
5、的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定4 “角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：要点：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 六、用尺规作三角形六、用尺规作三角形 1.基本作图基本作图 利用尺规
6、作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等； 要点：要点：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达. 第第2 2单元单元特殊三角形特殊三角形 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 一、一、图形的轴对称图形的轴对称 1.图形轴对称的定义及其性质图形轴对称的定义及其性质 特 殊 三 角 形 图 形 的 轴 对 称 性质 利用轴对称求两点之间最短距离 等腰三角形 逆命题和逆定理 定义 性质定理，等边三角形的性质定理 判定定理，等边三角形的判定定理 尺规作图：求作等腰三角形 直角三角直角三角形的性质与判
7、定 勾股定理及其逆定理及其应用 全等判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,HL 线段垂直平分线定理的逆定理 角平分线定理的第二性质定理（逆定理） 定义 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴. 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形. 2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离利用轴对称的性质求两点之间的最短距离 已知点A,B（A,B）在直线的同
8、侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小. 作法：1.作点A关于直线a的对称点A； 2.连接AB,交直线a与点C; 3.连接AC.点C就是所求作的点. 下面给出证明： 设P是直线a上任意一点，连结AP，AP 由作图知，直线a垂直平分AA， 则AC=AC，AP=AP（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） AP+BP=AP+BPAB， AB=A C+BC=AC+BC， 即AP十BPAC+BC， 所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短 要点：要点： 1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（比如一个等腰三角
9、形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形. 2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的. 3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定 1.等腰三角形的定义及其对称性等腰三角形的定义及其对称性 有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形 是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形. 2.等腰三角
10、形的性质与判定定理等腰三角形的性质与判定定理 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”） 推论：等边三角形的各个内角都等于60 ； 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三 线合一”）. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角 （简称“在同一三角形中，等角对等边”）. 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60 的等 腰三角形是等边三角形. 要点：要点：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的
11、相等得出边的相等.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 三、三、尺规作图，尺规作图，命题、定理与命题、定理与逆命题、逆命题、逆定理逆定理 1.尺规作图的定义尺规作图的定义 利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图. 要点：要点：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.命题与逆命题命题与逆命题 判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件
12、，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 要点：要点： （1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题； （2）每一个命题都可以写成“如果,那么”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分； （3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的. 3.定理与逆定理定理与逆定理 如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理. 要点：要点：一个命题是真命题，但是它的逆
13、命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理. 4.角平分线性质的第二个定理角平分线性质的第二个定理 角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上. 要点：要点： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 5.线段垂直平分线（也称中垂线）性质定理的逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）性质定理的逆定理 逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 要点：要点：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者
14、的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了. 四、直角三角形性质及判定四、直角三角形性质及判定 直角三角形的性质直角三角形的性质 性质定理1：直角三角形的两个锐角互余. 性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 要点：要点： 这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 五、
15、勾股定理及其逆定理五、勾股定理及其逆定理 1.勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 要点：要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系； （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：， . 2.勾股定理逆定理勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 要点：要点： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是
16、否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法斜边，直角边定理斜边，直角边定理 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点：要点： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”
17、对应相等，由于其中含有直角这个特殊 条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 第第3 3单元单元一元一次不等式一元一次不等式 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 一、不等式一、不等式 1.不等式：不等式：用符号“”(或“”)，“”（或“”），连接的式子叫做不等式. 要点：要点： （1）不等式的
18、解：）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 2. 不等式的性质：不等式的性质： 不等式的基本性质不等式的基本性质1：ab,bc则ac.这个性质也叫做不等式的传递性. 不等式的基本性质不等式的基本性质2：不等式两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立 如果ab，那么a cb c 如果ab，那么a cb c 不等式的基本
19、性质不等式的基本性质3：不等式两边都乘(或都除以)同一个正数，所得到的不等式仍成立； 不等式两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得到的不等式成立. xaxa如果ab，c0，那么acbc,; 如果ab，c0，那么acbc, 二、一元一次不等式二、一元一次不等式 1. 定义：定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点：要点：ax+b0或ax+b0(a0)叫做一元一次不等式的标准形式 2.解法：解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：要点：不等式解集的表示
20、：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：要点： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示
21、不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 三、三、一元一次不等式组一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点：要点： （1）不等式组的解集不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用： 根据题意构建不等式组，解这个不
22、等式组；由不等式组的解集及abccabcc实际意义确定问题的答案 第第4 4单元单元 图形与坐标图形与坐标 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 一、有序数对一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 二、平面
23、直角坐标系二、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 要点：要点： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将形与数联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点
24、横坐标相等，纵坐标不相等 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 注：反之亦成立 （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x| x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2| 平行于x轴的直线上两点A(x1，y
25、)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2| （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补 三、坐标方法的简单应用三、坐标方法的简单应用 1用坐标表示地理位置用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称 要点：要点： (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置 (2)确定
26、比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度 2用坐标表示平移用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b) 要点：要点： 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换 (2)图形的平移图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个
27、点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度 要点：要点： 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变” 第第5 5单元单元一次函数一次函数 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 一、函数的相关概念一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当时，那么叫做当自变
28、量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 二、一次函数的相关概念二、一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为，其中、是常数，0.特别地，当0时，一次函数即（0），是正比例函数. 三、一次函数的图象及性质三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象、函数的图象 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点：要点： 直线可以看作由直线平移|个单位长度而得到（当0时，向上平移；当0时，xyxyxyxyxxaybbaykxbkbkbykxbykxkykxbykxbbb变化的世界 函 数 建立数学模型 应 用 概
29、 念 选择方案 概 念 再认识 表示方法 图 象 性 质 一次函数 （正比例函数） 一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程与数学问题的综合 与实际问题的综合 列表法 解析法 图象法 向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） 要点：要点： 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限 （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （
30、3）直线与一次函数图象的联系与区别 ykxbykxkbykxbkykxbbykbykxb1l11yk xb2l22yk xb12kk1l2l12kk12bb1l2l12kk12bb1l2l一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 四、用函数的观点看方程、方程组、不等式四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程0（0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式0（0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线0）上方部分的所有点的横坐标的范围 xaybxyaxbaxyaxbyaxbxyxy1122，ya xbya xbx11ya xb22ya xb11ya xb22ya xbxaxbaxyaxbyaxbxy