1、浙教版九年级上册数学知识梳理汇编浙教版九年级上册数学知识梳理汇编 第第 1 单元单元二次函数二次函数 1. 二次函数二次函数定义：定义：如果 yax2bxc(a，b，c 为常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数 2. 二次函数的图象：二次函数的图象：二次函数 yax2bxc 的图象是对称轴平行于 y 轴的一条抛物线 抛物线的三要素抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向： 当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作hx .特别地，y轴记作直线0 x. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二
2、次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 求抛物线的顶点、对称轴：求抛物线的顶点、对称轴： abacabxacbxaxy442222顶点坐标），（abacab4422对称轴是直线abx2 3. 二次函数的性质二次函数的性质 二次函数二次函数 yax2bxc 的性质对应在它的图象上，有如下性质：的性质对应在它的图象上，有如下性质： 二次函数的图象及性质 抛物线 2axy caxy2 2mxay ccxay2 cbxaxy2 abacabxay44222 开口方向 当a0 时开口向上，并向上无限延伸； 当a0 时开口向下，并无限向下延伸。 顶点坐标 （0，0）
3、（0，c） （-m，0） （-m，k） （ab-2，aac-b442） 对称轴 y 轴 y 轴 直线 x=-m 直线 x=-m 直线ab-X2 最值 a0 X=0 时 0minY X=0 时 cYmin X=-m 时 0minY X=-m 时 cYmin ab-X2时，abac-Y442min a0 X=0 时 0minY X=0 时 cYmin X=-m 时 0minY X=-m 时 cYmin ab-X2时，abac-Y442min 增减性 a0 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大 a0 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大 在对称轴右侧，y
4、随 x 的增大而增大 4. 二次函数二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的系数）的系数a，b，c， 与抛物线的关系与抛物线的关系 a a决定开口方向：当a0 时开口向上，a0 时开口向下。 a，b a、 b 同时决定对称轴位置：a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧 a、b 异号时对称轴在 y 轴右侧 b=0 时 对称轴是 y 轴 c c 决定抛物线与 y 轴的交点：c0 时抛物线交 y 轴的正半轴 c=0 时抛物线过原点 c0 时抛物线交 y 轴的负半轴 x y O 决定抛物线与 x 轴的交点： 0 时抛物线与 x 轴有两个交点 =0 时抛物线与 x 轴有一个交点 0 时抛物线与 x 轴没有交
5、点 5. 用待定系数法求二次函数的解析式：用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 6. 直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0) (2)与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). (3)抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二
6、次方程 02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切； 没有交点0抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根. (5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只
7、有一个交点； 方程组无解时l与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA， 由于1x，2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,， aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121 第第 2 2 单单元元简单事件的概率简单事件的概率 一、事件的可能性一、事件的可能性 必然事件：必然事件： 把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件 不可能事件：不可能事件： 把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件; 随机事件：随机事件： 把在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件
8、。 二、简单事件的概率二、简单事件的概率 把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率,一般用 P 表示。事件 A 发生的概率记为 P（A） 必然事件发生的概率为 100%,即 P(必然事件)=1: 不可能事件发生的概率为 0,即 P(不可能事件)=0: 随机事件的概率介于 0 与 1 之间,即 0P(随机事件)1. 三、概率的计算三、概率的计算 （1） 、） 、古典概型古典概型 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1）一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率
9、. 特别说明：特别说明：如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件 A 包含其中的 m种结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）=mn. （2） 、用列举法求概率） 、用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 方法一：列表法：方法一：列表法： 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 特别说明：特别说明： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （
10、2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 方法二：树形图：方法二：树形图：当一次试验要涉及 3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 特别说明：特别说明：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. （3） 、利用频率估计概率） 、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的
11、方法来估计概率. 特别说明：特别说明：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 第第 3 单元单元圆的基本性质圆的基本性质 一、圆的定义、性质及与圆有关的角一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1圆的定义圆的定义 （1）线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. （3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 要点：要点： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线. 2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系
12、 判定一个点 P 是否在O 上 设O 的半径为，OP=，则有 点 P 在O 外； 点 P 在O 上；点 P 在O 内. 要点：要点： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 3. 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 4与圆有关的角与圆有关的角 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两
13、个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 90 的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 5. 圆内接四边形圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补. 二、图形的旋转二、图形的旋转 在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角. 图形经过旋转所得的图形和原图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 三三、正多
14、边形正多边形 各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形 要点：要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆 四、弧长及扇形的面积四、弧长及扇形的面积 圆心角为、半径为 R 的弧长. 圆心角为，半径为 R，弧长为 的扇形的面积. 要点：要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆
15、心角是 1 的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 第第 4 单元单元相似相似 一、相似图形及比例线段一、相似图形及比例线段 1相似图形：相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”
16、且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形 要点：要点： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质 （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段 要点：要点： （1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc； （d 也叫第四比例项） （2）若 a:b=b:c ，则 =ac（b 称为 a、c 的比例中项） 二、相似三角形二、相似三角形 1. 相似三角
17、形的判定相似三角形的判定: 判定方法（一） ：判定方法（一） ：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二） ：判定方法（二） ：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三） ：判定方法（三） ：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四） ：判定方法（四） ：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点
18、：要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质：相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等 2b（2）相似多边
19、形的周长比等于相似比 （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方 三、位似三、位似 1.位似图形定义位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2.位似图形的性质位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点：要点： (1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.