1、中考压轴题训练二次函数（4）1如图1，抛物线yax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y0时，1x3（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由2如图，抛物线yx2+5x4与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（1）在抛物线的对称轴上找一点D，使DA+DC最短，求出D点坐标；（2）P是y轴正半轴上一点，且PAB是以A
2、B为腰的等腰三角形，试求P点坐标3如图，抛物线yx2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， （2）连接AP，交线段BC于点D，当CP与x轴平行时，求的值；当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得BCO+2PCB90，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由4在平面直角坐标系中，直线ymx2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线yx2+2mxm2+2与y轴交于点C（1）如图，当m2时，点P是抛物线CD段上的一个动点求A，B，C，D四点的坐标；当PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）
3、在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，求m的取值范围；求线段BC长度的最大值5已知二次函数yx2+（m+1）x+4m+9（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N若点P是x轴上的动点，求PNPM的最大值及对应的点P的坐标；设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由6如图，抛物线yx2+bx+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（4，0）、C两点，点D为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点D
4、作DMx轴，交AB于点M，交抛物线于点N（1）求抛物线的解析式；（2）连接AN和BN，当ABN的面积最大时，求出点D的坐标及ABN的最大面积；（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以AM为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是第三象限抛物线上的一个动点，连接DB与AC交于点E（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，连接BC，点D在运动过程中能否使得SABESCBE，若能，请求出点D的坐标，若不能，请说明理由；（3）如图2，连接AD，过点D作x轴的垂线，垂足为点G，
5、交AC于点H，设点D的横坐标为m，用含有m的式子表示DH的长；ADE和ABE的面积分别为记为S1和S2，求S1：S2的最大值8如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x1，点A（1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得BDP的面积最大，求出点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标9如图，已知二次函数yx2+bx+c经过A，B两点，BCx轴于点C，且点A（1，0），C（2，0），ACBC（1）求抛物线的解析式；（2）点E是抛物线AB之间的一
6、个动点（不与A，B重合），求SABE的最大值以及此时E点的坐标；（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由10在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PDAB，垂足为D，作PEx轴，垂足为E，交AB于点F，设PDF的面积为S1，BEF的面积为S2，当时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若
7、不存在，请说明理由11如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边）其中，点B的坐标为（4，0），对称轴为直线x2（1）求二次函数的解析式（2）当2x2+m时，5y8，直接写出m的取值范围 （3）若点C的坐标为（0，4），点D是此函数在第一象限图象上的一个动点，连接AC、AD，并以AC、AD为邻边作平行四边形ADEC，设点D的横坐标为t设点E的纵坐标为n，求出n与t的函数关系式和n的最大值若线段DE与抛物线只有一个交点，直接写出t的取值范围12如图，抛物线yx2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M
8、作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当ABP2BAC时，求点P的坐标13抛物线L：yx22bx+c与直线a：ykx+2交于A、B两点，且A（2，0）（1）求k和c的值（用含b的代数式表示c）；（2）当b0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C求ABC的面积；当1x5时，则y的取值范围是 （3）抛物线L：yx22bx+c的顶点M（b，n），求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高（4）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点
9、称为“美点”，当b20时，直接写出“美点”的个数 ；若这些美点平均分布在直线ykx的两侧，k的取值范围： 14如图，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点E，与抛物线交于点F已知AO3OB3（1）求抛物线的解析式；（2）当FE2DE时，求点D的坐标；（3）点G在x轴上，点H在抛物线上，当以点B，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点H的坐标15抛物线yax22ax3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于
10、C点，ABC的面积为6（1）直接写出点A、B的坐标为 ；抛物线的解析式为 （2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQy轴时，PQ恰好平分MPN，求P点坐标16新定义：我们把抛物线yax2+bx+c（其中ab0）与抛物线ybx2+ax+c称为“关联抛物线”例如：抛物线y2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y3x2+2x+1已知抛物线C1：y4ax2+ax+4a3（a0）的“关联抛物线”为C2（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a0，过x轴上一
11、点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N当MN6a时，求点P的坐标；当a4xa2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值17如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作ABy轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点
12、的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由18在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+b经过点A（，），点B（，），与y轴交于点C（1）求a，b的值；（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为2过点D向y轴作垂线，垂足为点E点P为y轴负半轴上的一个动点，连接DP，设点P的纵坐标为t，DEP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，点F在OA上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接DF交y轴于点G，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接CN，PB
13、，延长PB交AN于点M，点R在PM上，连接RN，若3CP5GE，PMN+PDE2CNR，求直线RN的解析式19如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由20在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线ya
14、x2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点P是抛物线上一点，且在直线AB的上方（1）求抛物线的解析式；（2）若OAB面积是PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，PDBO交AB于点D记CDP，CPB，CBO的面积分别为S1，S2，S3判断+是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析1如图1，抛物线yax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y0时，1x3（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D当点P的横坐标为2时，求四边形ACF
15、D的面积；如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）由当y0时，1x3，可知x11，x23是ax2+2x+c0的两根，代入方程可得a，c，从而得解；（2）把x2代入抛物线解析式可得D点坐标，再将x0代入抛物线解析式可得C点坐标，从而得知线段CDx轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；设D（m，m2+2m+3）（1m3），用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令x1得yM，yN，从而得出ME，NE的长，从而得到NE+ME是定值8【解答】解：（1）当y0时，1x3，x11，x23是ax2
16、+2x+c0的两根，A（1，0），B（3，0），解得：，抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）把x2代入yx2+2x+3得：y3，D（2，3）又当x0，y3，C（0，3），线段CDx轴yx2+2x+3（x1）2+4，F（1，4），；设D（m，m2+2m+3）（1m3），直线AD：yk1x+b1，BD：yk2x+b2，因此可得：或，解得：或，直线AD：y（3m）x+（3m），BD：y（m+1）x+3（m+1）令x1得yM62m，yN2m+2，ME62m，NE2m+2，NE+ME82如图，抛物线yx2+5x4与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（1）在抛物线的对称轴上找一点D，使DA+DC最短
17、，求出D点坐标；（2）P是y轴正半轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标【分析】（1）连接BC，与抛物线的对称轴交于点D，点D即为所求，求出B，C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，即可得出结论；（2）分两种情况进行讨论：PBAB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标；PAAB，此时P与B关于x轴对称，由此可求出P点的坐标【解答】解：（1）抛物线的解析式为yx2+5x4，令x0，则y4，C点坐标（0，4），令y0，则x4或x1，A（1，0），B（4，0），抛物线的对称轴为直线x连接BC，与抛
18、物线的对称轴交于点D，点D即为所求，B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为：yx4，当x时，y，当D（，）时，DA+DC最短（2）由（1）知A（1，0），B（4，0），AB3，当PAAB时，PAAB3，OP2P（0，2）当PBAB3时，OB4，PB0B，不合题意P点的坐标为（0，2）3如图，抛物线yx2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m（1）A，B，C三点的坐标为 （2，0），（3，0），（0，4）（2）连接AP，交线段BC于点D，当CP与x轴平行时，求的值；当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得BCO+2PC
19、B90，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由【分析】（1）令x0，则y4，令y0，则x2+x+40，所以x2或x3，由此可得结论；（2）由题意可知，P（1，4），所以CP1，AB5，由平行线分线段成比例可知，过点P作PQAB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：yx+4设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+4），Q（m2m，m2+m+4）所以PQm（m2m）m2+m，因为PQAB，所以（m）2+，由二次函数的性质可得结论；（3）假设存在点P使得BCO+2BCP90，即0m3过点C作CFx轴交抛物线于点F，由BCO+2PCB90，可知CP平分BCF，延长CP交x轴于点M，易证CBM为等腰三角
20、形，所以M（8，0），所以直线CM的解析式为：yx+4，令x2+x+4x+4，可得结论【解答】解：（1）令x0，则y4，C（0，4）；令y0，则x2+x+40，x2或x3，A（2，0），B（3，0）故答案为：（2，0）；（3，0）；（0，4）（2）CPx轴，C（0，4），P（1，4），CP1，AB5，CPx轴，如图，过点P作PQAB交BC于点Q，直线BC的解析式为：yx+4设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+4），Q（m2m，m2+m+4）PQm（m2m）m2+m，PQAB，（m）2+，当m时，的最大值为另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解（3）假设存
21、在点P使得BCO+2BCP90，即0m3过点C作CFx轴交抛物线于点F，BCO+2PCB90，BCO+BCF+MCF90，MCFBCP，延长CP交x轴于点M，CFx轴，PCFBMC，BCPBMC，CBM为等腰三角形，BC5，BM5，OM8，M（8，0），直线CM的解析式为：yx+4，令x2+x+4x+4，解得x或x0（舍），存在点P满足题意，此时m4在平面直角坐标系中，直线ymx2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线yx2+2mxm2+2与y轴交于点C（1）如图，当m2时，点P是抛物线CD段上的一个动点求A，B，C，D四点的坐标；当PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有
22、一点M（0，m），当点C在线段MB上时，求m的取值范围；求线段BC长度的最大值【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；当m2时，代入上述坐标即可得出结论；过点P作PEy轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，t2+4t2），E（t，2t4）根据三角形的面积公式可得PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；根据中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度
23、，利用二次函数的性质可得出结论【解答】解：（1）直线ymx2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，A（2，0），B（0，2m）；y（xm）2+2，抛物线的顶点为D（m，2），令x0，则ym2+2，C（0，m2+2）当m2时，2m4，m2+22，B（0，4），C（0，2），D（2，2）由上可知，直线AB的解析式为：y2x4，抛物线的解析式为：yx2+4x2如图，过点P作PEy轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，P（t，t2+4t2），E（t，2t4）PEt2+4t2（2t4）t2+2t+2，PAB的面积为：（20）（t2+2t+2）（t1）2+3，10，当t1时，PAB的面积的最大值为3此时P（
24、1，1）（2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当mm2+22m时，可得m1+，当mm2+22m时，可得3m1，m的取值范围为：m1+或3m1当m1+时，BCm2+2（2m）m2+2m+2（m1）2+3，当m1时，BC的最大值为3；当mm2+22m时，即3m1，BC2m（m2+2）m22m2（m1）23，当m3时，点M与点C重合，BC的最大值为13当m3时，BC的最大值为135已知二次函数yx2+（m+1）x+4m+9（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m3时，如图，二次函数与y轴的交点
25、为M，顶点为N若点P是x轴上的动点，求PNPM的最大值及对应的点P的坐标；设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据二次函数解析式化为yx2+x+m（x+4）+9，当x4时，y与m无关，将x4代入取出y的值即可（2）当m3时，二次函数的解析式为yx22x3；当点P，M，N三点在一条直线上时，|PMPN|取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解【解答】解：（1）yx
26、2+（m+1）x+4m+9x2+x+m（x+4）+9，当x4时，m（x+4）0，y（4）2+（4）+0+921，对于任意m，二次函数都会经过一个定点（4，21）（2）当m3时，二次函数的解析式为yx22x3，M（0，3），顶点N（1，4），|PNPM|MN，当点P，M，N三点在一条直线上时，|PNPM|取得最大值；如图，连接MN并延长，交x轴于点P，M（0，3），顶点N（1，4），直线MN的解析式为：yx3，P（3，0），MN，|PNPM|的最大值为，且此时P（3，0）设点H为（t，t3），OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，当OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，且Q在x轴上方时，
27、过点Q作QFy轴于点F，过点H作HEy轴交直线QF于点E，如图：设QFm，OFn，Q（m，n），OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，即OQH90，OQQH，EQH+FQO90，FOQ+FQO90，EQHFOQ，EQHFOQ（AAS），EQOFn，EHQFm，点H的坐标为（mn，nm），点H在直线MN上，nmm+n3，解得m当x时，y（）22（）3，Q（，）当OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，且点Q在x轴下方时，过点Q作QDx轴点D，过点H作HCx轴交直线QD于点C，如图：设QFp，OFq，Q（p，q），同理可得，CQHDOQ（AAS），CQODp，CHQDq，点H的坐标为（pq，
28、pq），点H在直线MN上，pqp+q3，解得qQ（，）或（，）；综上，点Q的坐标为（，）或（，）或（，）6如图，抛物线yx2+bx+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（4，0）、C两点，点D为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点D作DMx轴，交AB于点M，交抛物线于点N（1）求抛物线的解析式；（2）连接AN和BN，当ABN的面积最大时，求出点D的坐标及ABN的最大面积；（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以AM为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；（2）设
29、D（t，0）（0t4），根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达ABN的面积，根据二次函数的性质可得出结论；（3）根据题意，易证AEMAOB，由此得出AE和AM的长，再根据题意需要分两种情况讨论：当AMMN时，当AMAN时，分别求解即可【解答】解：（1）将点A（0，2），点B（4，0）代入抛物线yx2+bx+c，抛物线的解析式为：yx2+x+2（2）点A（0，2），点B（4，0），直线AB的解析式为：yx+2；设D（t，0）（0t4），DMx轴，点M在直线AB上，点N在抛物线上，M（t，t+2），N（t，t2+t+2），MNt2+t+2（t+2）t2+4t，ABN的面
30、积MN（xBxA）（t2+4t）42（t2）2+8，20，0t4，当t2时，ABN有最大值，最大值为8，此时D（2，0）（3）存在，如图，过点M作MEy轴于点E，MEOB，ME1，AEMAOB90，AMEABO，AEMAOB，AE：AOAM：ABME：OB，RtAOB中，OA2，OB4，AB2，AEt，AMt根据题意，需要分两种情况讨论：AMMN时，如图，此时tt2+4t（0t4），解得t或t0（舍），AM，APAM，APMN，点P在y轴上，OP2+，P（0，）；当AMAN时，如图，此时AP与MN互相垂直平分，设MN与AP交于点F，MFMN（t2+4t），MFAEt，（t2+4t）t，解得t3
31、或t0（舍），AP2t6，P（6，2）综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以AM为边的四边形是菱形，此时P（0，）或（6，2）7如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是第三象限抛物线上的一个动点，连接DB与AC交于点E（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，连接BC，点D在运动过程中能否使得SABESCBE，若能，请求出点D的坐标，若不能，请说明理由；（3）如图2，连接AD，过点D作x轴的垂线，垂足为点G，交AC于点H，设点D的横坐标为m，用含有m的式子表示DH的长；ADE和ABE的面积分别为记为S1和S2，求S1：S2的最大值【分析】（1）
32、直接令x0，令y0，即可求出坐标；（2）根据题意，当点E是线段AC的中点时，SABESCBE，先求出点E的坐标，然后求出直线BE的解析式，再联立二次函数的解析式，即可求出点D的坐标；（3）先求出直线AC的解析式，然后求出点D，点H的纵坐标，即可得到答案；过点B作BMx轴，交直线AC于点M，先证明DEHBEM，得到，然后求出，再求出DH和BM表示的值，结合二次函数的性质，即可求出答案【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，令x0，则y2，令y0，则x4或x1，C（0，2），A（4，0），B（1，0）；（2）能，理由如下：根据题意可知，SABE与SCBE的
33、高相同，设高为h，SABEAEh，SCBECEh，AEhCEh，AECE，点E在线段AC上，当点E在线段AC的中点时，SABESCBE，C（0，2），A（4，0），E（2，1）直线BE的解析式为：yx令x，解得x1（舍）或x，D（，）（3）C（0，2），A（4，0），直线AC的解析式为：yx2，如图，连接AD，作DGx轴，交AC于点H，设点D的横坐标为m，D（m，m2+m2），H（m，m2），DHm2（m2+m2）m22m；过点B作BMx轴，交直线AC于点M，BMx轴，DGx轴，BMDG，DEHBEM，；ADE和ABE的面积分别为记为S1和S2，S1：S2（DEh）：（BEh）DE：BE；S1
34、：S2DE：BEDH：BM，当x1时，y12，BM，DHm22m，S1：S2DH：BM（m22m）：（m+2）2+，0，当m2时，S1：S2的值最大为8如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x1，点A（1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得BDP的面积最大，求出点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标【分析】（1）由x1得点A的对称点B的坐标，将A、B坐标代入yax2+bx3中，利用待定系数法可求；（2）求出直线BE的解析式，用m表示
35、点P、H的坐标，进而表示线段PH，根据SBDPPH3，用含m的代数式表示BDP的面积，利用二次函数的性质，求出S关于m的二次函数的顶点横坐标，即可得出结论：（3）过点M作MSy轴，过点E作ESx轴，过A作ATES于点T，构造出直角三角形，利用三角函数找到与ME相等的线段，根据“垂线段最短”得AM+ME的最小值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点E坐标，点M坐标可求【解答】解：（1）抛物线yax2+bx3与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x1，点A（1，0），B（3，0），解得抛物线的解析式为yx22x3（2）B（3，0），OD4，即D（0，4）直线BE的解析式为：yx+4如图
36、，过点P作PHx轴，交AB于点H，设P（m，m22m3），则H（m，m+4），PHm+4（m22m3）m2+m+7，SBDPPH3m2+m+（m）2+，0，当m时，即P（，）时BDP的面积最大（3）如图，过点M作MSy轴，过点E作ESx轴，过A作ATES于点T，ESx轴，SEMEBA，tanEBA，tanMES，sinMES，SMEM，AM+EMAM+SMSAAT，AM+EM的最小值为AT令x22x3x+4，解得x3（舍）或x，E（，），AM+EM的最小值，此时M（1，）9如图，已知二次函数yx2+bx+c经过A，B两点，BCx轴于点C，且点A（1，0），C（2，0），ACBC（1）求抛物线的
37、解析式；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求SABE的最大值以及此时E点的坐标；（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；（2）过点E作EFy轴交线段AB于点F，设点E（t，t2+2t+3），则F（t，t+1），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得ABE的面积；（3）存在，设E（m，m2+2m+3），分三种情况：分别以A，
38、B，E为直角顶点，作出辅助线，构造相似列出方程，解方程即可【解答】解：（1）点A（1，0），C（2，0），AC3，OC2，ACBC3，B（2，3），把A（1，0）和B（2，3）代入二次函数yx2+bx+c中得：，解得：，二次函数的解析式为：yx2+2x+3；（2）直线AB经过点A（1，0），B（2，3），设直线AB的解析式为ykx+b，解得：，直线AB的解析式为：yx+1，如图，过点E作EFy轴交线段AB于点F，设点E（t，t2+2t+3），则F（t，t+1），EFt2+2t+3（t+1）（t）2+，当t时，EF的最大值为，点E的坐标为（，），此时SABE最大，SABEEF（xBxA）（2+1
39、）（3）在问题（2）的条件下，存在点E使得ABE为直角三角形；设E（m，m2+2m+3），当点A为直角顶点，过点A作AB的垂线，与AB之间的抛物线无交点，故不可能存在点E使得ABE为以点A为直角顶点的直角三角形，当点B为直角顶点，如下图，此时EBA90，过点E作EGCB，交CB延长线于点G，BCx轴于点C，且ACBC，ABC是等腰直角三角形，ABC45，EBG45，BEG是等腰直角三角形，EGBG，EG的长为点E与直线BC的距离，即2m，且BGCGBCm2+2m+33m2+2m，2mm2+2m，解得m1或m2（舍），E（1，4）；如下图，此时AEB90，作EMx轴，交CB的延长线于点M，过点A
40、作ANx轴交ME的延长线于点N，BEM+AEN90，在RtAEN中，EAN+AEN90，BEMEAN，AENBEM，BM：ENEM：AN，（m2+2m）：（m+1）（2m）：（m2+2m+3），即m（2m）（m+1）（m3）（2m）（m+1），2m0，m+10，m23m+10，解得m或m（舍）E（，）综上，根据问题（2）的条件，存在点E（1，4）或（，）使得ABE为直角三角形10在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PDAB，垂足为D，作P
41、Ex轴，垂足为E，交AB于点F，设PDF的面积为S1，BEF的面积为S2，当时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）将A，B的坐标分别代入抛物线和直线AB的解析式，组成方程组，解之即可；（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，易证PDFBOG，所以PD：DF：PFOB：OG：AB3：4：5，所以PDPF，DFPF，则S1PDDFPF2，设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+4）（0m4），所以F（m，m+3），E（m，0），则PFm2+m+4（m+3）m2+m+1，BE4m，FEm+3，由三角形的面积分别表达S1和S2，利用给出比例建立方程即可；（3）当点P在直线AB上方时，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的平行线交PH于点H，可证明PHBNKB（AAS），进而可得点P的纵坐标为3