1、中考压轴题训练二次函数（1）1直线AC：yx+3与x轴y轴的交点分别为A、C，B点坐标为（1，0）（1）若二次函数yax2+bx+c的图象恰好过A、C、B三点，求二次函数的解析式；（2）P为抛物线上一点，且PCOPOC，求点P的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0）做DEAC，垂足为点E，若DECE，求D点坐标；线段DE是否存在最大值，若存在，求出D点坐标及这个最大值；若不存在，说明理由2如图，抛物线ya（x1）（x+3）交x轴于A、B两点（A在B点左侧），交y轴于点C，OAOC（1）求抛物线的解析式；（2）点D在直线AC下方的抛物线上，且SACD3，求点D的坐标；（
2、3）在抛物线上是否存在一点P，过点P作PQx轴于点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由4如图，抛物线yax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（
3、2）若点D是抛物线的顶点，判断BCD的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在一点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C（1）求ABC的面积；（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且OCMOAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为yax2+bx+c（a0），新抛物线y与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y对称轴上的一点，在平面
4、直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由6如图，抛物线与y轴的交点为C（0，1），顶点D的坐标为（2，3）（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与直线ykx+2（k0且k为常数）相交于点A、B（点A在点B的左侧），当ABC的面积为时，求k的值；（3）在x轴上是否存在点P，使得CPD45，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，抛物线yx2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M（m，0）是
5、x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m ；过点M作MHx轴，交抛物线于点H，连接BH，CH，HBC面积的最大值为 ；（4）P为坐标轴上一点，在平面内是否存在点Q，使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由8已知抛物线yx2+bx+c（a0）与y轴交于点A，点B（，2）在该抛物线上（1）若抛物线的对称轴是直线xm，请用含b的式子表示m；（2）如图1，过点B作x轴的垂线段，垂足为点C连接AB和AC，当ABC为等边三角形时，求抛物线解析式；（3）如图2，在（2）条件下，已知P为x轴上的一动点，连接AP和BP，当APB30时，求满足条件的点P的坐标
6、9已知抛物线yax2+bx3经过（1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线ykx与抛物线交于A，B两点（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由10 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C （1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求
7、m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由11如图，抛物线yax2+bx+4经过A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设ADE的面积为S1，BCE的面积为S2，当S1S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CFx轴，点M是直线CF上的一点，MNCF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三
8、角形与BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由12如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx2的图象经过点（2，2）和（1，0），并与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，过点A作ADBC交抛物线于点D，E为直线BC下方抛物线上的一个动点，连接DE，交线段BC于点F，连接CE，AF，求四边形ACEF面积的最大值；（3）直线x与线段BC交于点G，将该抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线刚好经过点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，是否存在以点A，E，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标
9、，若不存在，请说明理由13在平面直角坐标系中，抛物线yx2+kx2k的顶点为N（1）若此抛物线过点A（3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CEED，求点C的坐标；（3）无论k取何值，抛物线都经过定点H，当直线HN与y轴的交角为45时，求k的值14如图，抛物线yax2+bx2与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，若PEDE，求点P的坐标
10、；（3）点M是抛物线上一动点，若满足MAB不大于45，求点M的横坐标m的取值范围15如图，直线yx+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数yax2+x+c的图象与x轴交于点B，且ACBC点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形（1）求该二次函数的表达式；（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒点M运动过程中能否存在MNAC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积16如图，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），D（3，4）两点，直线AD与
11、y轴交于点Q点P（m，n）是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PFx轴，垂足为F，并且交直线AD于点E（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；（2）当CPAD时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，CPEQFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由17如图抛物线yax2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2），动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线BC于点F，点P运动到B点即停止运动，连接CE，设点P运动的时间为t秒（1）求抛物线yax2+bx+c的表达式；（2）当t时，求CEF
12、的面积；（3）当CEF是等腰三角形时，求出此时t的值18抛物线yax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴负半轴于点C且OCOA（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在第四象限内的抛物线上是否存在一点P，连接AP，直线AP将四边形ACPB的面积分为1：2的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，以AB为直径向x轴上方画半圆，交y轴正半轴于点D，点Q是弧BD上的动点，M是弧DQ的中点，连接AQ、DQ，AM，设CDQ的角平分线交AM于点N，当点Q沿半圆从点D运动至点B时，求N点的运动路径长19如图，抛物线yx2+bx+c经过点B（2，0）和点C（0，
13、2），与x轴交于点A（1）求抛物线的解析式；（2）点P（0，n）是y轴上的一个动点，将线段OB绕点P顺时针旋转90，得到线段OB；若线段OB与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出n的取值范围；直线PB交抛物线于M、N两点，若点B是线段MN的中点，求n的值20如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求b，c的值；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m当m为何值时，PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线ya1x2+b1x+c1（a10），平移后的抛物线
14、与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析1直线AC：yx+3与x轴y轴的交点分别为A、C，B点坐标为（1，0）（1）若二次函数yax2+bx+c的图象恰好过A、C、B三点，求二次函数的解析式；（2）P为抛物线上一点，且PCOPOC，求点P的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0）做DEAC，垂足为点E，若DECE，求D点坐标；线段DE是否存在最大值，若存在，求出D点坐标及这个最大值；若不存在，说明理由【分析】（1）
15、求出点A，C的坐标，利用待定系数法可求二次函数yax2+bx+c的解析式；（2）利用等腰三角形的三线合一可得点P的纵坐标为，由（1）中的解析式可求点P的横坐标；（3）由DEAC，DECE，可得DCECDE45，由OAOC，OAOC可得OCAOAC45，于是DCO90，得到DCy轴，点D的纵坐标为3，由（1）中的解析式可求点P的横坐标；过D点作DQy轴，交AC于点Q，易得DEQ为等腰直角三角形，所以DEDQ，设D（m，m2+2m+3），则Q（m，m+3），利用点D，Q的纵坐标可以表示线段QD的长度，于是线段DE可得，利用配方法可知DE存在最大值并得到此时的m的值，由（1）中的解析式可求点D的纵坐
16、标【解答】解：（1）对于yx+3，当x0时，y3，当y0时，x3，A（3，0）；C（0，3 ）将A，B，C三点坐标代入 yax2+bx+c得：解得：解析式为：yx2+2x+3（2）PCOPOC，PCPOPCO是以P为顶点的等腰三角形，点P在线段OC的垂直平分线上，点P的纵坐标为令，解得：，；满足条件的p点是和（3）A（3，0）；C（0，3 ），OCOA3，OCA45，又CEDE，DEAC，DCE45，DCO90，CDx轴，点D的纵坐标为3令y3，x2+2x+33，解得：x10，x22，D（2，3）线段DE存在最大值，过D点作DQy轴，交AC于点Q，如下图，DQy轴，DQEOCAOCA45，DQ
17、E45DEAC，DEQ为等腰直角三角形，设D（m，m2+2m+3），则Q（m，m+3），DQm2+2m+3（m+3），0，当时，当时，y+2+36D坐标为线段DE存在最大值，最大值为，此时点D的坐标为（）2如图，抛物线ya（x1）（x+3）交x轴于A、B两点（A在B点左侧），交y轴于点C，OAOC（1）求抛物线的解析式；（2）点D在直线AC下方的抛物线上，且SACD3，求点D的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P，过点P作PQx轴于点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线解析式求出A、B两点的坐标，再根据OAOC，求
18、出C点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，在y轴上取一点E，使SACE3，过E点作AC的平行线交第三象限的抛物线于点D，设出E点坐标，根据面积求出E点坐标，进而求出直线DE的解析式，联立DE和抛物线的解析式即可得出D点坐标；（3）由（1）知，AOC为等腰直角三角形，又知PQOQ，设出P点坐标，令PQOQ，解方程即可求出P点坐标【解答】解：（1）抛物线ya（x1）（x+3）交x轴于A、B两点（A在B点左侧），令y0，即a（x1）（x+3）0，解得x1或x3，A（3，0），B（1，0），OAOC，C（0，3），将C点坐标代入抛物线解析式，得3a3，解
19、得a1，抛物线解析式为：y（x1）（x+3）x2+2x3；（2）设直线AC的解析式为ykx+b，代入A（3，0），C（0，3），得，解得，直线AC的解析式为yx3，在y轴上取一点E，使SACE3，过E点作AC的平行线交第三象限的抛物线于点D，设E（0，t），SACECEOA（3t）33，t5，直线DE的解析式为yx5，D点是直线DE与抛物线的交点，解得或，D点的坐标为（1，4）或（2，3）；（3）存在，由（1）知，AOC为等腰直角三角形，PQOQ，若POQAOC，则PQOQ，设P（m，m2+2m3），m2+2m3m，解得m或m，P点的坐标为（，）或（，）3已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于
20、A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（2，0）、B（6，0）、C（0，3）代入yax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AEx轴交直线BC于点E，过P作PFx轴交直线BC于点F，由PFAE，可得，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当CBD90时，过点B作GHx轴，过点D作DGy轴，DG与GH交于点
21、G，过点C作CHy轴，CH与GH交于点H，可证明DBGBCH，求出D（3，6）；当BCD90时，过点D作DKy轴交于点K，可证明OBCKCD，求出D（3，9）；当BDC90时，线段BC的中点T（3，），设D（3，m），由DTBC，可求D（3，）或D（3，）【解答】解：（1）将点A（2，0）、B（6，0）、C（0，3）代入yax2+bx+c，得，解得，yx2x3；（2）如图1，过点A作AEx轴交直线BC于点E，过P作PFx轴交直线BC于点F，PFAE，设直线BC的解析式为ykx+d，yx3，设P（t，t2t3），则F（t，t3），PFt3t2+t+3t2+t，A（2，0），E（2，4），AE4，
22、t2+t（t3）2+，当t3时，有最大值，P（3，）；（3）P（3，），D点在l上，如图2，当CBD90时，过点B作GHx轴，过点D作DGy轴，DG与GH交于点G，过点C作CHy轴，CH与GH交于点H，DBG+GDB90，DBG+CBH90，GDBCBH，DBGBCH，即，BG6，D（3，6）；如图3，当BCD90时，过点D作DKy轴交于点K，KCD+OCB90，KCD+CDK90，CDKOCB，OBCKCD，即，KC6，D（3，9）；如图4，当BDC90时，线段BC的中点T（3，），BC3，设D（3，m），DTBC，|m+|，m或m，D（3，）或D（3，）；综上所述：BCD是直角三角形时，D
23、点坐标为（3，6）或（3，9）或（3，）或（3，）4如图，抛物线yax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D是抛物线的顶点，判断BCD的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在一点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）直接根据待定系数法求二次函数表达式即可；（2）根据题意过点D作DEx轴，垂足为点E，过点C作CFDE，垂足为点F，由二次函数的顶点式得到D坐标为（1，4），从而根据各点的坐标推出，BC3，CD，BD2，进而得到BC2+CD2BD2，由勾股定理的逆定
24、理可推出BCD是直角三角形；（3）假设抛物线上存在一点P（x，x2+2x+3），使得ACP是以AC为直角边的直角三角形，并分当点P当ACP90时和当ACP90时两种情况进行讨论，通过辅助线构造相似三角形RtAOCRtCMP，RtAOCRtPNA，利用其性质求解即可【解答】解：（1）根据题意将点A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx+3，得：，解得，抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）如图1所示，过点D作DEx轴，垂足为点E，过点C作CFDE，垂足为点F，根据（1）中的结论，yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的顶点D坐标为（1，4），令x0，则y3，则点C（0，3），OC3，OB
25、3，BC3，CF1，DF1，CD，BE2，DE4，BD2，即BC2+CD2BD2，BCD是直角三角形；（3）假设抛物线上存在一点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形，设点P（x，x2+2x+3），当ACP90时，如图2所示，过点P作PMOC，垂足为点M，CM3（x2+2x+3）x22x，PMx，ACO+CAO90，ACO+PCM90，CAOPCM，RtAOCRtCMP，即，解得x或x0（舍去），当x时，y，此时点P坐标为（，）；当CAP90时，如图3所示，过点P作PNx轴，垂足为点N，PN（x2+2x+3）x22x3，ANx+1，ACO+CAO90，CAO+PAN90，AOCPAN，Rt
26、AOCRtPNA，即，解得x或x1（舍去），当x时，y，此时点P坐标为（，），综上所述，点P坐标为（，），（，）5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C（1）求ABC的面积；（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且OCMOAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为yax2+bx+c（a0），新抛物线y与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？
27、若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）令x0，则y2，令y0，则x2x+20，可得A（4，0），B（1，0），C（0，2），再运用三角形面积公式即可求得答案；（2）解法一：如图1，过点P作PNy轴，交AC于点T，交CM于点N，交x轴于点K，过点G作GHPN于点H，由tanOACtanOCM，可得，即可得出M（1，0），再利用待定系数法求得直线OM的解析式，设P（m，m2m+2），则N（m，2m+2），可得出PHPNm2m，再由cosTPEcosOAC，可得PGPHm2m（m+）2+，运用二次函数性质求最值即可；解法二：如图1，过点作PHx轴交CM于点H，过点G作GDP
28、H于点D，设PG与AC、x轴交点分别为N、F，设P（m，m2m+2），则H（m2m，m2m+2），可得DP（m2mm）m2m（m+）2+，运用二次函数性质求最值即可；（3）运用平移变换的性质求出E（1，3），设F（，n），表示出AE、AF、EF的平分，再分类讨论，根据菱形性质得出AEF是等腰三角形，分别建立方程求解即可【解答】解：（1）在yx2x+2中，令x0，则y2，C（0，2），OC2，令y0，则x2x+20，解得：x11，x24，A（4，0），B（1，0），AB1（4）5，SABCABOC525；（2）解法一：如图1，过点P作PNy轴，交AC于点T，交CM于点N，交x轴于点K，过点G作G
29、HPN于点H，则PNGOCM，PHGAKT90，PGAC，PET90AKT，PTE+TPE90，OAC+ATK90，PTEATK，TPEOAC，OCMOAC，PNGTPEOAC，PGNG，GHPN，PHPN，tanOACtanOCM，即，OM1，M（1，0），设直线OM的解析式为ykx+b，M（1，0），C（0，2），解得：，直线CM的解析式为y2x+2，设P（m，m2m+2），则N（m，2m+2），PNm2m+2（2m+2）m2m，PHPNm2m，AC2，cosTPEcosOAC，PGPHm2m（m+）2+，当m，PG最大，最大值为，故当点P坐标为（，）时，PG最大，最大值为；解法二：如图1
30、，过点作PHx轴交CM于点H，过点G作GDPH于点D，设PG与AC、x轴交点分别为N、F，由（1）得，AOCCOB90，AOCCOB，OACBCOOCM，在COB和COM中，COBCOM（ASA），OMOB1，M（1，0），设直线CM的解析式为ykx+b，M（1，0），C（0，2），解得：，直线CM的解析式为y2x+2，DGOC，DGHOCM，ANFFEG90，NFAEFG，NAFFGE，OCMOAC，DGHFGE，GDPGDH90，GDGD，GDPGDH（ASA），PDDH，设P（m，m2m+2），则H（m2m，m2m+2），DP（m2mm）m2m（m+）2+，tanOCBtanPGD，可得
31、：PGDP，当DP最大时，PG就最大，当m，DP最大，最大值为，故当点P坐标为（，）时，PG最大，最大值为；（3）抛物线yx2x+2（x+）2+，该抛物线沿射线AC方向平移个单位，实际上就是向右平移2个单位，向上平移1个单位，平移后的解析式为：y（x）2+，对称轴为直线x，两个抛物线交于E点，所以（x+）2+（x）2+，解得：x1，代入得y3，E（1，3），设F（，n），则AE2（1+4）2+3218，AF2（+4）2+n2，EF2（+1）2+（n3）2，当AEAF时，18+n2，此方程无实数根；当AEEF时，18n26n+，解得：n13，n23+，则F1（，3），对应的Q1（，）；F2（，3
32、+），对应的Q2（，）；当AFEF时，+n2n26n+，解得：n，F3（，），对应的Q3（，）；综上所述，Q点的坐标为（，）或（，）或（，）6如图，抛物线与y轴的交点为C（0，1），顶点D的坐标为（2，3）（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与直线ykx+2（k0且k为常数）相交于点A、B（点A在点B的左侧），当ABC的面积为时，求k的值；（3）在x轴上是否存在点P，使得CPD45，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意设出抛物线的顶点式，从而利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）联立一次函数及二次函数的表达式得到x2（2+k）x30，并根据根与系数的
33、关系推出xA+xB2+k，xAxB6，进而结合图形根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意过点D作DNx轴于点N，过点C作CMDN于点M，根据点的坐标特征得到CMDM2，并以点M为圆心，DM为半径画圆，与x轴交于点P、点P，从而根据圆周角定理得到CPDCPDCMD45，再结合图形利用勾股定理推出PN，PN，进而得到点P的坐标【解答】解：（1）根据题意顶点D的坐标为（2，3），可设抛物线表达式为ya（x2）23，将点C（0，1）代入ya（x2）23，得1a（02）23，解得a，抛物线解析式为：y（x2）23，即yx22x1；（2）如图1，根据题意将ykx+2代入yx22x1，整理得x2（2+
34、k）x30，xA+xB4+2k，xAxB6，（xBxA）2（xB+xA）24xAxB（4+2k）2+244k2+16k+40，SABC，3（xBxA），即，解得k或k，故k的值为或；（3）假设存在点P，使得CPD45，如图2，过点D作DNx轴于点N，过点C作CMDN于点M，点C、D坐标分别是（0，1），（2，3），CMDM2，不妨以点M为圆心，DM为半径画圆，与x轴交于点P、点P，CMD90，CPDCPD45，又PMPMDM2，MN1，PN，PN，点P（2+，0），点P（2，0），故满足条件的点P坐标为（2+，0），（2，0）7如图，抛物线yx2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且
35、点A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m；过点M作MHx轴，交抛物线于点H，连接BH，CH，HBC面积的最大值为4；（4）P为坐标轴上一点，在平面内是否存在点Q，使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用待定系数法求解析式即可，根据解析式利用顶点坐标公式即可求顶点坐标；（2）分别求出B点和C点的坐标，求出AB，BC，AC的长，根据勾股定理可判定ABC为直角三角形；（3）作C点关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于M，
36、当M与M重合时MC+MD的值最小，用待定系数法求出直线CD的解析式即可求出M点的坐标；连接CM，根据HBC面积CMH的面积+BMH的面积MBC的面积，用含有m的代数式表示出面积，再根据二次函数的性质求最值即可；（4）分以BC为边和以BC为对角线两种情况分别计算出Q点坐标即可【解答】解：（1）抛物线过点A（1，0），（1）2+b（1）20，解得b，抛物线的解析式为：yx2x2；抛物线顶点坐标公式为（，），顶点D的坐标为（，）；（2）ABC是直角三角形，证明如下：设B点坐标为（s，0），B点在抛物线上，s2s20，解得s4或s1（舍去），B（4，0），OB4，ABOA+OB1+45，设C点坐标为（
37、0，n），C点在抛物线上，n2，即C（0，2），OC2，AC，BC2，AC2+BC25+2025AB2，ABC是直角三角形；（3）作C点关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于M，C（0，2），C（0，2），设直线CD的解析式为：ykx+b，代入C点和D点的坐标，得，解得，直线CD的解析式为：yx+2，令y0，则x+20，解得x，此时M的坐标为（，0），故答案为：；连接CM，M（m，0），H（m，m2m2），SBCHSCMH+SBMHSBMCMH|xMxC|+MH|xBxM|MB|yC|m2m2|（m+4m）（4m）2m2+4m（m2）2+4，当m2时，HBC面积有最大值为4，故答案为：4；（4）
38、使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，存在以下两种情况，以BC为对角线时，COB90，此时P点与O点重合，即O（0，0），Q1（4，2）；以BC为边时，（）P点在x轴上时，ACB90，此时P点与A点重合，即P（1，0），C点向右平移4个单位，向上平移两个单位得到B点坐标，P点向右平移4个单位，向上平移两个单位得到Q2点坐标，即Q2（3，2）；（）P点在y轴上时，延长（）中BQ2交y轴于P点，即可组成矩形CBPQ3，此时Q3在第二象限，设直线BQ2的解析式为ykx+b，代入B点和Q2的坐标，得，解得，直线BQ2的解析式为y2x+8，当x0时，y8，故P（0，8），将P向下平移两个单位，向左平移
39、四个单位得到Q3，即Q3（4，6），综上，符合条件的Q点有（4，2）或（3，2）或（4，6）8已知抛物线yx2+bx+c（a0）与y轴交于点A，点B（，2）在该抛物线上（1）若抛物线的对称轴是直线xm，请用含b的式子表示m；（2）如图1，过点B作x轴的垂线段，垂足为点C连接AB和AC，当ABC为等边三角形时，求抛物线解析式；（3）如图2，在（2）条件下，已知P为x轴上的一动点，连接AP和BP，当APB30时，求满足条件的点P的坐标【分析】（1）根据二次函数一般式yax2+bx+c（a0）的对称轴直线为x，直接代入求解即可；（2）根据等边三角形的性质推出ACBCAB2，从而运用勾股定理推出A（0
40、，1），进而利用待定系数法求二次函数解析式即可；（3）根据角的关系APBACB，由圆周角定理推出点P可看成以点C为圆心，AC为半径的圆与x轴的交点，从而结合图形进行求解【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线xm，m，m；（2）ABC为等边三角形，B（，2），BCx轴，ACBCAB2，OC，RtAOC中，OA1，A（0，1），将A（0，1），B（，2）代入yx2+bx+c得：，解得，抛物线解析式为yx2+x+1；（3）如下图所示，ABC为等边三角形，ACB60，又APB30，APBACB，点P可看成以点C为圆心，AC为半径的圆与x轴的交点，点P坐标为（+2，0）或（2，0）9已知抛物线yax2+bx3经过（1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线ykx与抛物线交于A，B两点（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据坐标轴上点的特征以及待定系数法进行求解即可；（2）联立ykx和yx22x3，根据根与系数的关系推出xA+xB2+k，xAxB3，再根据题意易求得k2，将其代入x2（2+k）x30，进而求得点A和点B的坐标；（3）结合图形可知SABCOC|xAxB|，利用根与系数的关系进行代入求解即可【解答