1、 第第 19 章二次函数和反比例函数章二次函数和反比例函数 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分）分） 1如果等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） Ay By Cy Dy 2下列各式中，y 是 x 的二次函数的是（ ） Ay3x Byx2+（3x）x Cy（x1）2 Dyax2+bx+c 3二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， 则一次函数 ybx+c 和反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 4商店销售一种进价为 50 元/件的商品，售价为 60 元/件，每星期可卖出
2、200 件，若每件商品的售价上涨 1元，则每星期就会少卖 10 件每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每星期销售的利润为 y 元，则y 与 x 的函数关系式为（ ） Ay10（20010 x） By200（10+x） Cy10（20010 x）2 Dy（10+x）（20010 x） 5如图，二次函数 yx2+2x+m+1 的图象交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0），交 y 轴于点 C，图象的顶点为 D下列四个命题： 当 x0 时，y0； 若 a1，则 b4； 点 C 关于图象对称轴的对称点为 E，点 M 为 x 轴上的一个动点，当 m2 时，MCE 周长的最小值为 2； 图象上
3、有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若 x11x2，且 x1+x22，则 y1y2， 其中真命题的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6已知抛物线 yax2+bx+c 经过点 P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有 y1y0，若点 A（2，m+2）与点 B（t，n）均在该抛物线上，且 mn2，则 t 的值可以是（ ） A7 B4 C1 D1 7已知关于 x 的一元二次方程：x22xa0，有下列结论： 当 a1 时，方程有两个不相等的实根； 当 a0 时，方程不可能有两个异号的实根； 当 a1 时，方程的两个实根不可能都小于 1； 当 a3 时，方程
4、的两个实根一个大于 3，另一个小于 3 以上 4 个结论中，正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 8如图的电路图中，用电器的电阻 R 是可调节的，其范围为 110220，已知电压 U220V，下列描述中错误的是（ ） AP 与 R 成反比例： BP 与 R 成反比例： C电阻 R 越大，功率 P 越小 D用电器的功率 P 的范围为 220440W 9对于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A它的图象在第二、四象限 B点（1，3）在它的图象上 C当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减少 10函数 yax+1 与 yax2+ax+1（a0）的图象
5、可能是（ ） A B C D 11已知点 A（3，y1），B（2，y2）均在抛物线 yax2+bx+c 上，点 P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1y2n，则 m 的取值范围是（ ） A3m2 Bm Cm Dm2 12已知二次函数 yx24x+2当自变量 x 取值在2x5 范围内时，最大值和最小值分别是（ ） A14，2 B14，7 C7，2 D14，2 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分）分） 13把二次函数 y6x23x2化成 ya（xh）2+k 的形式是 14 抛物线yax2+bx+c （a， b， c为常数） 的部分图象如图所示， 设m4a2b+c， 则m的
6、取值范围是 15如图，等腰 RtABC 的斜边 BC 在 x 轴上，顶点 A 在反比例函数的图象上，连接 OA，则 OC2OA2 16若图中函数的表达式均为，则阴影面积为 4 的有 个 17将双曲线 y向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的新双曲线与直线 yki（x2）1（ki0，i1，2，3，1011）相交于 2022 个点，则这 2022 个点的横坐标之和为 18已知点 P（m+3，2）、点 Q（3，）都在反比例函数 y的图象上，则 k 的值为 19将抛物线 yx2+x1 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则此时抛物线的解析式是 20如图，正方形 ABCD 的边长
7、为 8，E 是边 BC 上一动点（与 B，C 不重合），连接 AEG 是 BC 延长线上一点，过点 E 作 AE 的垂线交DCG 的平分线于点 F，则CEF 面积的最大值是 21二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 实常数，且 a0）的函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x 1 0 1 2 y m 2 2 n 且当时，对应的函数值 y0有以下结论：abc0；m+n；关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在和 0 之间；P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数 t时，y1y2其中正确的结论是 22将函数 y的图象先向左平移 1 个单位长度
8、，再沿 y 轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 23反比例函数 y（k0）的图像经过 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当 x10 x2时，y1y2，写出符合条件的 k 的值 （答案不唯一，写出一个即可） 24某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶 16 元，当销售单价定为 20 元时，每天可售出 80 瓶根据市场行情，现决定降价销售市场调查反映：销售单价每降低 0.5 元，则每天可多售出 20 瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为 x（元），每天的销售量为（瓶） （1）每天的销售量 y（瓶）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为 ； （2）销售这款“洗手液”每天的最大利润
9、为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 25已知函数 ym（m+2）x2+mx+m+1 （1）当 m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当 m 为何值时，此函数是二次函数？ 26如图，已知二次函数的图象经过点，交 y 轴于点 B （1）求 a 的值 （2）延长 AB 至点 C，使得 AB：BC2：3若将该抛物线向下平移 m 个单位长度，再向右平移 n 个单位长度，平移后的抛物线恰好经过 A，C 两点，已知 m0，n0，求 m，n 的值 27端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵 10 元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为 100 元
10、（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价； （2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为 50 元时，每天可售出 100 盒，若每盒售价提高 1 元，则每天少售出 2 盒设每盒猪肉粽售价为 a 元，销售猪肉粽的利润为 w 元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润 28如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A（4，0）、B 两点，与双曲线y（k0）交于点 C、D 两点，AB：BC2：1 （1）求 b，k 的值； （2）求 D 点坐标并直接写出不等式x+b0 的解集； （3）连接 CO 并延长交双曲线于点 E，连接 OD、DE，求ODE 的面积 29已知点 A（a，2）为
11、二次函数 yx22x4 图像上的点，求代数式 3a（a2）+（a1）2的值 30已知，如图，矩形 ABCD 中，AD6，DC8，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，AH2，连接 CF （1）若 DG2，则四边形 EFGH 的形状为 （2）若 DG5，求FCG 的面积 （3）当 DG 为何值时，FCG 的面积最小，并求这个最小值 31在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x+1（m 为常数，m0）的顶点坐标为点 A （1）若抛物线经过点（1，2）时， 求点 A 的坐标； 当2x2 时，求 y 的取值范围； （2）点 B（2m，y1）和点 C（m
12、+1，y2）为抛物线上两点，当 y1y2时，求 m 的取值范围； （3）点 P 坐标为（2m，0），点 Q 坐标为（m+1，0），以 PQ 为直角边作等腰直角PQM，使点 M 与点 A 位于 x 轴两侧，PQM90，抛物线与边 QM 交于点 N，连结 PN，当 tanNPQ时，直接写出 m 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分）分） 1解：等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y， xy10， y 与 x 的函数关系式为：y 故选：C 2解：Ay 是 x 的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； Byx
13、2+（3x）x x2+3xx2 3x，y 是 x 的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； Cy 是 x 的二次函数，故本选项符合题意； D当 a0 时，y 不是 x 的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 3解：二次函数图象开口方向向下， a0， 对称轴为直线 x0， b0， 与 y 轴的负半轴相交， c0， ybx+c 的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数 y图象在第二四象限， 只有 D 选项图象符合 故选：D 4解：由题意可得，y 与 x 的函数关系式为： y（6050+x）（20010 x） （10+x）（20010 x） 故选：D 5解：当 axb 时，y0故错误 1，
14、 当 a1 时，b3，故错误 当 m2 时，C（0，3），E（2，3）E与 E 关于 x 轴对称， E（2，3）， CE2， MCE 的周长的最小值为 2+2，故错误 设 x1关于对称轴的对称点 x1， x12x1， x1+x22， x2x1+2， x2x1， x11x2， x11x1x2， 函数图象在 x1 时，y 随 x 增大而减小， y2y1，正确 故选：A 6解：抛物线 yax2+bx+c 经过点 P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有 y1y0， 点 P（2，y0）为抛物线的最低点即顶点，此时 a0， 抛物线的对称轴为直线 x2 根据抛物线的对称性可得点（2，m+2
15、）与点（6，m+2）关于抛物线的对称轴对称， a0， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， mn2， m+2n， t6 或 t2 故选：A 7解：x22xa0， 4+4a， 当 a1 时，0，方程有两个不相等的实根，故正确， 当 a0 时，两根之积a0，方程的两根异号，故错误， 方程的根为 x， a1， 方程的两个实根不可能都小于 1，故正确， 当 a3 时，由（3）可知，两个实根一个大于 3，另一个小于 3，故正确， 故选：C 8解：根据电学知识，当 U220 时，有 P， 即输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数，函数解析式为 P 从 P式可以看出，电阻越大则功率越小 把电阻的最小值
16、R110 代入 P， 得到输出功率的最大值 P440， 把电阻的最大值 R220 代入 P， 得到输处功率的最小值 P220， 因此用电器的功率 P 的范围为 220440W 可以看出选项 BCD 是正确的，选项 A 是错误的， 故选：A 9解：A、k30， 它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； B、x1 时，y3， 点（1，3）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意； C、k30，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； D、k30，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故本选项错误，符合题意 故选：D 10解：由函数 yax+1 与抛物线 yax2
17、+ax+1 可知两函数图象交 y 轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线 x，在 y 轴的左侧， A、抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，故选项不合题意； B、抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，故选项不合题意； C、 由一次函数的图象可知 a0， 由二次函数的图象知道 a0， 且交于 y 轴上同一点， 故选项符合题意； D、由一次函数的图象可知 a0，由二次函数的图象知道 a0，故选项不合题意； 故选：C 11解：P（m，n）为顶点，y1y2n， 抛物线开口向上，点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离， m， 解得 m， 故选：C 12解：yx24x+2（x2）22， 抛物线开口向上，
18、顶点坐标为（2，2），对称轴为直线 x2， x2 时，y 取最小值为2， 2（2）52， x2 时，y4+8+214 为2x5 时的函数最大值， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分）分） 13解：y6x23x2， y3（x22x）2， y3（x22x+11）2， y3（x1）2+1 故答案为 y3（x1）2+1 14解：抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴在 y 轴左侧， 0， b0， 抛物线经过（0，2）， c2， 抛物线经过（1，0）， a+b+c0， a+b2，b2a， m4a2b+c4a2（2a）+（2）6a6， yax2+（2a）x2， 当 x
19、2 时，y4a2（2a）+（2）6a6， b2a0， 0a2， 66a66， 故答案为：6m6 15解：过点 A 作 ADOC 于点 D， ABC 是等腰 RtABC，ADBC， ADCDBD， 在 RtAOD 中，AD2+OD2OA2， OD2OA2AD2， OC2OA2 （OD+DC）2OA2 OD2OA2+DC2+2DOCD OA2AD2OA2+DC2+2DOCD 2DOCD 2DOAD， 顶点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上， xy3， OC2OA22DOAD236 故答案为：6 16解：图 1 中，阴影面积为 4； 图 2 中，阴影面积为42； 图 3 中，阴影面积为 244；
20、 图 4 中，阴影面积为 448； 则阴影面积为 4 的有 2 个 故答案为：2 17解：直线 yki（x2）1（ki0，i1，2，3， ，1011）可由直线 ykix（ki0，i1，2，3， ，1011）向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到， 直线 ykix（ki0，i1，2，3， ，1011）到直线 yki（x2）1（ki0，i1，2，3， ，1011）的平移方式与双曲线双曲线的相同， 新双曲线与直线 yki（x2）1（ki0，i1，2，3， ，1011）的交点也可以由双曲线与直 线 ykix（ki0，i1，2，3， ，1011）的交点以同样的方式平移得到， 设双曲线与直线 y
21、kix（ki0，i1，2，3， ，1011）的交点的横坐标为 xi，xi，（i1，2，3， ，1011）， 则新双曲线与直线 yki（x2）1（ki0，i1，2，3， ，1011）的交点的横坐标为 xi+2，xi+2（i1，2，3， ，1011）， 根据双曲线与直线 ykix（ki0，i1，2，3， ，1011）图像都关于原点对称，可知双曲线与直线 ykix（ki0，i1，2，3， ，1011）的交点也关于原点对称， xi+xi0，（i1，2，3， ，1011）， （xi+2）+（xi+2）4（i1，2，3， ，1011）， 即新双曲线与直线 yki（x2）1（ki0，i1，2，3， ，101
22、1）的交点的横坐标之和都是 4， 这 2022 个点的横坐标之和为：410114044 故答案是：4044 18解：点 P（m+3，2）、点 Q（3，）都在反比例函数 y的图象上， k2（m+3）3， m6， 故答案为：6 19解：yx2+x1（x+）2， 将抛物线yx2+x1向左平移2个单位， 再向上平移3个单位， 则此时抛物线的解析式是y （x+2）2+3，即 yx2+5x+8， 故答案为：yx2+5x+8 20解：作 FHBC 于 H， 四边形 ABCD 是正方形， DCBDCG90， CF 是DCG 的角平分线， FCG45， FHBG， CFH45， FHCH， 设 CEx，则 BE
23、8x， EHCE+CHx+FH， 四边形 ABCD 是正方形，EFAE， BFHCAEF90， BAE+AEB90，AEB+FEH90， BAEFEH， BFHE90， BAEHEF； ， ， FH8x， SECFCEFHx（8x）（x28x）（x4）2+8， 0， 当 EC4 时，SECF最大8 故答案为：8 21解：将（0，2），（1，2）代入 yax2+bx+c 得：， 解得， 二次函数为：yax2ax+2， 当 x时，对应的函数值 y0， aa+20， a， b， a0，b0，c0， abc0，故不正确； x1 时 ym，x2 时 yn， ma+a+22a+2，n4a2a+22a+2，
24、 m+n4a+4， a， m+n，故正确； 抛物线过（0，2），（1，2）， 抛物线对称轴为 x， 又当 x时，对应的函数值 y0， 根据对称性：当 x时，对应的函数值 y0， 而 x0 时 y20， 抛物线与 x 轴负半轴交点横坐标在和 0 之间， 关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的负实数根在和 0 之间，故正确； P1（t1，y1）和 P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上， y1a（t1）2a（t1）+2，y2a（t+1）2a（t+1）+2， 若 y1y2，则 a（t1）2a（t1）+2a（t+1）2a（t+1）+2， 即 a（t1）2a（t1）a（t+1）2a（t+1）， a0
25、， （t1）2（t1）（t+1）2（t+1）， 解得 t，故不正确， 故答案为： 22解：将函数 y的图象先向左平移 1 个单位长度得到新的函数解析式为 y，再将 y沿 y轴翻折得到新的函数解析式为：y，即 y， 故答案为：y 23解：反比例函数 y（k0）的图像经过 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当 x10 x2时，y1y2， 此反比例函数的图象在二、四象限， k0， k 可为小于 0 的任意实数，例如，k1 等 故答案为：1 24解：（1）由题意得：y80+2040 x+880， 每天的销售量 y（瓶）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为 y40 x+880， 故答案为：y40
26、 x+880； （2）设每天的销售利润为 w 元，则有： w（40 x+880）（x16） 40（x19）2+360， a400， 二次函数图象开口向下， 40 x+8800， 解得 x22， 16x22， 当 x19 时，w 有最大值，最大值为 360 元 故答案为：360 元 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 25解：（1）函数 ym（m+2）x2+mx+m+1 是一次函数， m（m+2）0 且 m0， 解得：m2； 当 m2 时，此函数是一次函数； （2）函数 ym（m+2）x2+mx+m+1 是二次函数， m（m+2）0， 解得：m2 且 m0， 当
27、m2 且 m0 时，此函数是二次函数 26解：（1）由知，B（0，） A（2，）， 42a+， 解得 a2 故 a 的值是 2； （2）A（2，），B（0，）， AB2 且 ABx 轴 AB：BC2：3， BC3， C（3，） 根据 A（2，）和 C（3，）确定线段 AC 的中点坐标为（，）， 根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴为直线 x n， 设平移后的抛物线表达式为， 把 C（3，）代入得： +m， 解得 故 m 的值是，n 的值是 27解：设每盒猪肉粽的进价为 x 元，每盒豆沙粽的进价为 y 元， 由题意得：， 解得：， 每盒猪肉粽的进价为 40 元，每盒豆沙粽进价为 30 元
28、； （2）w（a40）1002（a50）2（a70）2+1800， 20， 当 a70 时，w 有最大值，最大值为 1800 元 该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为 1800 元 28解：（1）点 A 在直线上，A（4，0）， ， 解得 b2， 过 C 作 CFx 轴于点 F， AOBAFC， AB：BC2：1， ， AF6， OF2， 在中，令 x2，得 y3， C（2，3）， ， k6 （2）D 点是和交点， ， 解得或， D 点在第三象限， D（6，1）， 由图象得，当6x0 或 x2 时， 不等式的解集为6x0 或 x2 （3）ODE 和OCD 同底同高， SODESOCD， SCO
29、DSCOA+SADO， 29解：将（a，2）代入 yx22x4 得 2a22a4， 整理得 a22a6， 3a（a2）+（a1）2 3a26a+a22a+1 4a28a+1 4（a22a）+1 46+1 25 30解：（1）四边形 ABCD 为矩形，四边形 HEFG 为菱形， DA90，HGHE， 又AHDG2， RtAHERtDGH （HL）， DHGHEA， AHE+HEA90， AHE+DHG90， EHG90， 四边形 HEFG 为正方形； 故答案为：正方形； （2）过 F 作 FMDC，交 DC 延长线于 M，连接 GE， ABCD， AEGMGE， HEGF， HEGFGE， AE
30、HMGF， 在AHE 和MFG 中， AM90，AEHMGF，HEFG， AHEMFG（AAS）， FMHA2， 即无论菱形 EFGH 如何变化，点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 2， 因此 SFCGFMGC 2（85） 3； （3）设 DGx， 由（2）得：SFCGFMGC 2GC 8x， 在 RtAHE 中， AEAB8， HE2AH2+AE222+8268， HG2DH2+DG2（62）2+x268， x2， 当 DG2时，FCG 的面积最小，最小值为 82 31解：（1）抛物线经过点（1，2）， 2+12， 解得 m1， yx22x+1（x1）2， 顶点 A（1，0）； 由可知抛
31、物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时函数有最小值 0， 当 x2 时，函数有最大值 9， 当2x2 时，0y9； （2）yx22x+1（xm）2+1m， 抛物线的对称轴为直线 xm， 当 m0 时，2mm，m+1m， y1y2， m+12m， m1， 0m1； 当 m0 时，2mm，m+1m， y1y2， |m+1m|2mm|， m1； 综上所述：0m或 m1 时，y1y2； （3）当 m0 时，2mmm+1， PQ1m， PQM 是等腰直角三角形，且PQM90， M（m+1，m1）， tanNPQ， QNPQ（1m）， N（m+1， m）， N 点在抛物线上， m（m+1）22（m+1）+1， 解得 m（舍）或 m， m； 当 m0 时，m2mm+1 时，PN 与抛物线有交点， PQm1， M（m+1，m1）， tanNPQ， QNPQ（1m）， N（m+1， m）， N 点在抛物线上， m（m+1）22（m+1）+1， 解得 m或 m（舍）， m； 综上所述：m 的值为或