1、 第十一章第十一章三角形三角形 一、选择题一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图所示,BAC为钝角,ADBC于 D,BEAC于 E,CFAB于 F, ABC中 AC边上的高为( ) A.AD B.BE C.CF D.AF 2.(2019 贵州毕节中考)在下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是( ) A.2 cm,3 cm,4 cm B.3 cm,6 cm,6 cm C.2 cm,2 cm,6 cm D.5 cm,6 cm,7 cm 3.(2020 辽宁沈阳中考)如图,直线 ABCD,且 ACCB于点 C,若BAC=35 ,则BCD的度数为( ) A.65 B.55 C.45 D
2、.35 4.(2021 湖北仙桃、潜江、天门、江汉油田中考)如图,在 ABC 中,C=90 ,点 D 在 AC 上,DEAB,若CDE=160 ,则B的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 5.如图,若A=70 ,B=40 ,C=32 ,则BDC=( ) A.102 B.110 C.142 D.148 6.(2022 独家原创)如图,在 ABC中,AD平分BAC,点 E在射线 BC上,EFAD于F,B=40 ,ACE=72 ,则E的度数为( ) A.68 B.56 C.34 D.32 7.(2021 台湾省中考改编)如图,四边形 ABCD中,1、2、3 分别为四边形 ABCD的
3、外角.判断下列大小关系何者正确.( ) A.1+3=ABC+D B.1+3360 8.如图,在 ABC中,AE平分BAC交 BC于点 E,过点 A作 ADBC,垂足为 D,过点 E作 EFAC,垂足为 F.若DAE=15 ,AEF=50 ,则B的度数为( ) A.55 B.65 C.75 D.80 9.(2020 黑龙江牡丹江期中)如图, ABC的面积是 1,AD是 ABC的中线,AF= FD,CE= EF,则 DEF的面积为( ) A. B. C. D. 10.(2020 山东青岛市北期末)如图,已知 ABC中,B=,C=(),AD是 BC边上的高,AE是BAC的平分线,则DAE的度数为(
4、) A.- B.2(-) C.-2 D. (-) 二、填空题二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11.(2022 江西南昌十中期末)如图,邱叔叔家的凳子坏了,于是他给凳子加了两根木条,这样凳子就比较牢固了,他所应用的数学原理是 . 12.(2021 湖南郴州中考)一个多边形的每一个外角都等于 60 ,则这个多边形的内角和为 度. 13.(2021 江苏淮安中考)一个三角形的两边长分别是 1 和 4,若第三边的长为偶数,则第三边的长是 . 14.(2021 天津南开田家炳中学期中)将一副分别含有 30 和 45 角的两个直角三角板拼成如图所示的图形,其中C=90 ,B=45 ,E=30
5、,则BFD的度数是 . 15.(2021 河南郑州五校联考)如图,三角形纸片 ABC中,A=75 ,B=72 .将三角形纸片的一角折叠,使点 C落在 ABC内,如果1=32 ,那么2= . 16.(2021 福建厦门三中期末)如图,在 ABC中,ACB=90 ,AD平分CAB,交边 BC于点 D,过点 D作 DEAB,垂足为 E.若CAD=20 ,则EDB的度数是 . 17.(教材 P12 变式题)在 ABC中,ABC=C=2A,BD是ABC的平分线,则ADB的度数为 . 18.(2022 福建泉州七中期中)如图,在 ABC中,ACB=90 ,CE是 ABC的角平分线,CDAB,垂足为 D,延
6、长 CE与外角ABG的平分线交于点 F.若A=60 ,则DCE+F= . 三、解答题三、解答题(共 46分) 19.(6 分)如图所示,已知 AD是 ABC的边 BC上的中线. (1)作出 ABD的边 BD上的高; (2)若 ABC的面积为 10,求 ADC的面积; (3)若 ABD的面积为 6,且 BD边上的高为 3,求 BC的长. 20.(6 分)如图,已知 ABC的周长为 33 cm,AD是 BC边上的中线,AB= AC. (1)当 AC=10 cm时,求 BD的长; (2)若 AC=12 cm,能否求出 DC的长?为什么? 21.(6 分)如图,在 ABC中,BD是 AC边上的高,A=
7、70 . (1)求ABD的度数; (2)CE平分ACB交 BD于点 E,BEC=118 ,求ABC的度数. 22.(8 分)如图,在 ABC中,B=2C,ADBC于点 D,AE 平分BAC交 BC于点 E. (1)若C=40 ,求DAE的度数; (2)若 EFAE交 AC于点 F,求证:C=2FEC. 23.(2022 吉林临江期末)(10 分)我们探究过三角形内角和等于 180 ,四边形内角和等于 360 ,请解决下面的问题: (1)如图 1,A+B+C+D=180 ,则AOB+COD= (直接写出结果); (2)连接 AD、BC,若 AO、BO、CO、DO分别是四边形 ABCD的四个内角的
8、平分线. 如图 2,如果AOB=110 ,求COD的度数; 如图 3,若AOD=BOC,AB与 CD平行吗?请写出理由. 24.(2022 山东济南外国语学校期末)(10 分)已知MON=90 ,点 A、B分别在 OM、ON上运动(不与点 O重合). (1)如图 1,AE、BE分别是BAO和ABO的平分线,随着点 A、点 B的运动,AEB= ; (2)如图 2,若 BC是ABN的平分线,BC的反向延长线与OAB的平分线交于点 D. 若BAO=70 ,则D= ; 随着点 A、B的运动,D的大小会变吗?如果不会,求D的度数;如果会,请说明理由; (3)在图 2 的基础上,如果MON=,其余条件不变
9、,随着点 A、B的运动(如图 3),求D的度数.(用含的式子表示) 答案全解全析答案全解全析 1.B 三角形的高是过一个顶点作垂直于它对边所在的直线的线段,所以 ABC中,AC边上的高是线段 BE.故选 B. 2.C 选项 A,2+34,能组成三角形;选项 B,3+66,能组成三角形;选项 C,2+27,能组成三角形.故选 C. 3.B ACCB,ACB=90 , ABC=90 -BAC=90 -35 =55 , ABCD,BCD=ABC=55 , 故选 B. 4.D CDE=160 , ADE=180 -160 =20 , DEAB,A=ADE=20 , B=180 -A-C=180 -20
10、 -90 =70 .故选 D. 5.C 如图,连接 AD并延长,则BDE=BAD+B,CDE=CAD+C, BDC=BDE+CDE=BAD+B+CAD+C=BAC+B+C=142 , 故选 C. 6.C 由题图知ACE=B+BAC,B=40 ,ACE=72 , BAC=ACE-B=72 -40 =32 . AD平分BAC, BAD= BAC= 32 =16 , ADE=BAD+B=16 +40 =56 . EFAD,E=90 -ADE=90 -56 =34 . 7.A 如图,连接 BD, 1=ABD+ADB,3=DBC+BDC, 1+3=ABD+ADB+DBC+BDC=ABC+ADC, 四边形
11、的外角和是 360 , 1+2+3360 .故选 A. 8.B ADBC,DAE=15 , AED=90 -15 =75 , AEF=50 , FEC=180 -AEF-AED=55 , EFAC, EAF=90 -AEF=40 ,C=90 -FEC=35 , AE平分BAC,BAC=2EAC=80 , B+C+BAC=180 , B=180 -BAC-C=180 -80 -35 =65 . 9.D ABC的面积是 1,AD是 ABC的中线, S ACD= S ABC= , AF= FD,DF= AD, S CDF= S ACD= = , CE= EF,EF= CF, S DEF= S CDF
12、= = ,故选 D. 10.D 在 ABC中,B=,C=,BAC=180 -B-C=180 -,AE是BAC的平分线,EAC= BAC=90 - (+).在 Rt ADC中,DAC=90 -C=90 -,DAE=DAC-EAC=90 -90 + (+)= (-),故选 D. 11.三角形的稳定性三角形的稳定性 解析解析 给凳子加了两根木条之后形成了三角形,所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是三角形的稳定性. 12.720 解析解析 多边形的每一个外角都等于 60 , 它的边数为 360 60 =6, 它的内角和为 180 (6-2)=720 , 故答案为 720. 13.4 解析解析 设第
13、三边长为 a,根据三角形的三边关系知, 4-1a4+1,即 3a5, 又第三边的长是偶数,a为 4. 故答案为 4. 14.15 解析解析 Rt CDE中,C=90 ,E=30 , BDF=C+E=90 +30 =120 , BDF中,B=45 ,BDF=120 , BFD=180 -45 -120 =15 .故答案为 15 . 15.34 解析解析 如图,延长 AE、BF交于点 C,连接 CC. 在 ABC中,ACB=180 -72 -75 =33 , ECF=ACB,1=ECC+ECC,2=FCC+FCC,1+2=ECC+ECC+FCC+FCC=2ACB=66 , 1=32 ,2=66 -
14、32 =34 , 故答案为 34 . 16.40 解析解析 AD平分CAB,CAD=20 , CAB=2CAD=40 , ACB=90 ,B=90 -40 =50 , DEAB,DEB=90 , EDB=90 -50 =40 ,故答案为 40 . 17.108 解析解析 在 ABC中,ABC=C=2A, 令A=x,则ABC=C=2x, A+ABC+C=180 , x+2x+2x=180 ,解得 x=36 , A=36 ,ABC=72 . BD是ABC的平分线, ABD= ABC=36 , ADB=180 -A-ABD=180 -36 -36 =108 . 18.45 解析解析 CDAB,A=6
15、0 , ADC=90 ,ACD=30 , CE平分ACB,ACB=90 , ACE=ECB= ACB=45 , DCE=ACE-ACD=45 -30 =15 , ABG=A+ACB=150 ,BF平分ABG, FBG= ABG=75 , FBG=F+FCB,F=75 -45 =30 . DCE+F=15 +30 =45 . 19.解析解析 (1)如图所示,虚线即为所求. (2)AD是 ABC的边 BC上的中线, ABC的面积为 10,ADC的面积= 10=5. (3)AD是 ABC的边 BC上的中线, BD=CD, ABD的面积为 6,ABC的面积为 12, BD边上的高为 3,BC=12 2
16、 3=8. 20.解析解析 (1)AB= AC,AC=10 cm,AB=15 cm. 又ABC的周长是 33 cm, BC=33-10-15=8(cm). AD是 BC边上的中线,BD= BC=4 cm. (2)不能.理由如下: AB= AC,AC=12 cm,AB=18 cm. 又ABC的周长是 33 cm, BC=33-12-18=3(cm). AC+BC=1518, 不能构成三角形,则不能求出 DC的长. 21.解析解析 (1)BD是 AC边上的高, ADB=BDC=90 , A=70 ,ABD=90 -70 =20 . (2)BEC=BDC+DCE,且BEC=118 ,BDC=90 ,
17、DCE=118 -90 =28 , CE平分ACB,DCB=2DCE=56 , DBC=90 -56 =34 , ABC=ABD+DBC=20 +34 =54 . 22.解析解析 (1)C=40 ,B=2C, B=80 ,BAC=180 -80 -40 =60 , AE平分BAC,EAC= BAC=30 , ADBC,ADC=90 , DAC=90 -40 =50 , DAE=DAC-EAC=50 -30 =20 . (2)证明:如图,EFAE,AEF=90 , AED+FEC=90 , DAE+AED=90 ,DAE=FEC, AE平分BAC, EAC= BAC= (180 -B-C)= (
18、180 -3C)=90 - C, DAE=DAC-EAC, DAE=DAC-( - )=90 -C-90 + C= C, FEC= C,C=2FEC. 23.解析解析 (1)AOB+COD+A+B+C+D=180 2=360 ,A+B+C+D=180 , AOB+COD=360 -180 =180 . 故答案为 180 . (2)AO、BO、CO、DO分别是四边形 ABCD的四个内角的平分线, OAB= DAB,OBA= CBA,OCD= BCD,ODC= ADC, OAB+OBA+OCD+ODC= 360 =180 , 在 OAB中,OAB+OBA=180 -AOB, 在 OCD中,OCD+
19、ODC=180 -COD, 180 -AOB+180 -COD=180 , AOB+COD=180 . AOB=110 ,COD=180 -110 =70 . ABCD.理由如下: AO、BO、CO、DO分别是四边形 ABCD的四个内角的平分线, OAB= DAB,OBA= CBA,OCD= BCD,ODC= ADC, OAB+OBA+OCD+ODC= 360 =180 , 在 OAB中,OAB+OBA=180 -AOB, 在 OCD中,OCD+ODC=180 -COD, 180 -AOB+180 -COD=180 , AOB+COD=180 . AOD+BOC=360 -(AOB+COD)=
20、360 -180 =180 , AOD=BOC,AOD=BOC=90 . 在 AOD中,DAO+ADO=180 -AOD=180 -90 =90 , DAO= DAB,ADO= ADC, DAB+ ADC=90 , DAB+ADC=180 ,ABCD. 24.解析解析 (1)MON=90 ,OAB+OBA=90 , AE、BE分别是BAO和ABO的平分线, BAE= BAO,ABE= ABO, BAE+ABE= (BAO+ABO)=45 , AEB=180 -45 =135 , 故答案为 135 . (2)AOB=90 ,BAO=70 , ABO=20 ,ABN=160 , BC是ABN的平分
21、线, OBD=CBN= 160 =80 , AD平分BAO,DAB=35 , D=180 -ABD-BAD=180 -OBD-ABO-BAD=180 -80 -20 -35 =45 , 故答案为 45. D的度数不随 A、B的移动而发生变化. 设BAD=x, AD平分BAO,BAO=2x, AOB=90 , ABN=180 -ABO=AOB+BAO=90 +2x, BC平分ABN,ABC= ABN=45 +x, ABC=180 -ABD=D+BAD, D=ABC-BAD=45 +x-x=45 . (3)设BAD=x, AD平分BAO,BAO=2x, AOB=, ABN=180 -ABO=AOB+BAO=+2x, BC平分ABN,ABC= +x, ABC=180 -ABD=D+BAD, D=ABC-BAD= +x-x= .