1、 第第 2222 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题一选择题 1在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A Bx2+y24 C Dx（12x2）5x2 2若关于 x 的一元二次方程（k2）x2+x+k240 有一个根是 0，则 k 的值是（ ） A2 B2 C0 D2 或 2 3若 a 是 x22x70 的一个根，则 a22a+1 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 4关于 x 的一元二次方程 2x23x10，该方程的常数项是（ ） A2 B3 C1 D1 5将方程 3x2+16x 化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） A3x26x+10 B3x2+6x+10 C3x2+6x10
2、 D3x26x10 6已知 xm 是一元二次方程 x2x10 的一个根，则代数式 m2m+2021 的值为（ ） A2021 B2022 C2023 D2024 7一元二次方程 x24x30 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 8下列关于 x 的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） Ax24x+40 Bx2mx+40 Cx24xm0 Dx24xm20 9若 、 是一元二次方程 x22x+60 的两根，则的值是（ ） A B C3 D3 102022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮
3、的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店 2021 年第四季度的“冰墩墩”总销售额为 9.93 万件，其中 10 月的销量为 3万件，设 11，12 月份的平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A3（1+x）29.93 B3+3（1+x）29.93 C3+3x+3（1+x）29.93 D3+3（1+x）+3（1+x）29.93 11如图，某小区计划在一个长 16m，宽 9m 的矩形场地 ABCD 上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB 平行，水平的与 AD 平行，其余部分种草已知草坪部分的总面积为 112m2，
4、设小路宽 xm，若 x 满足方 程 x217x+160，则修建的示意图是（ ） A B C D 12已知（a2+b2）28（a2+b2）480，则 a2+b2的值为（ ） A12 B4 C4 D12 或4 二填空题二填空题 13若 m 是关于 x 的一元二次方程 x23x+10 的一个根，则 2m26m+2022 14若关于 x 的方程（m3）x|m1|+5x30 是一元二次方程，则 m 的值为 15方程 x2x0 的一次项系数是 ，常数项是 16已知：m、n 是方程 x2x20 的两根，则（m21） （n21） 17代数式 x26x+25 的最小值是 18若 x1、x2是方程 x240 的两
5、个根，则 x1x2 19用配方法将方程 x2+4x0 化成（x+m）2n 的形式： 20代数式 x22x 与 4x 的值相等，则 x 的值为 21一元二次方程 3x26x 的根 22关于 x 的一元二次方程 kx2x+20 没有实数根，则 k 的取值范围是 三解答题三解答题 23解方程： （2x1）281 24按要求解方程： （1）直接开平方法：4（t3）29（2t3）2； （2）配方法：2x27x40； （3）公式法：3x2+5（2x+1）0； （4）因式分解法：3（x5）22（5x） ； （5）因式分解法：abx2（a2+b2）x+ab0（ab0） ； （6）用配方法求最值：6x2x12
6、25根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式： （1）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为 14cm，面积为 24cm2，求它的两条直角边的长； （2）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大 3，十位数字比百位数字小 2，三个数字的平方和的 9倍比这个三位数小 20，求这个三位数 26已知关于 x 的一元二次方程（k1）x2+3x+10 有两个不相等的实数根 （1）求实数 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使该方程的两个实数根 x1、x2满足 x1+x252x1x2，若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由 27 为了满足师生的阅读需求， 某校图书馆
7、的藏书从 2019 年底到 2021 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年平均增长率； （2）该校期望 2022 年底藏书量达到 8.6 万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗？请通过计算说明 28已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+m10 （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根 （2）若平行四边形 ABCD 的两边 AB、AD 的长是已知方程的两个实数根 若平行四边形 ABCD 是矩形，且 m5 时求矩形的面积？ 当 m 取何值时？平行四边形 ABCD 是菱形，并求菱形边长？ 29某商场以每件 220 元的价格购进一批商品共 900
8、 件，起初，商场按每件 280 元的价格销售该商品，每天可售出 30 件，销售两天后，为庆祝“618 购物节” ，商场决定开展降价促销活动，经调查发现：该商品每降价 1 元，平均每天可多售出 3 件 （1）若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？ （2）在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？ 参考答案参考答案 一选择题一选择题 1解：A、是一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意； C、不是整式，不是一元二次方程，则此项不符题意； D、方程 x（12x2）5x2整理为 x2x35x2，未知数的最高
9、次数是 3，不是一元二次方程，则此项不符题意； 故选：A 2解：把 x0 代入（k2）x2+x+k240 得： k240， 解得 k12，k22， 而 k20， 所以 k2 故选：A 3解：a 是 x22x70 的一个根， a22a70， a22a7， a22a+17+18 故选：D 4解：关于 x 的一元二次方程 2x23x10，该方程的常数项是1， 故选：D 5解：将方程 3x2+16x 化成一元二次方程的一般形式得：3x26x+10 故选：A 6解：xm 是一元二次方程 x2x10 的一个根， m2m10， m2m1， m2m+20211+20212022 故选：B 7解：x24x30，
10、其中 a1，b4，c3， b24ac（4）241（3）280， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C 8解：A、（4）24140，该方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、（m）2414m216，可能小于等于 0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意； C、（4）241（m）16+4m，可能小于等于 0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意； D、（4）241（m）216+4m20，一定有两个不相等的实数根，符合题意 故选：D 9解：、 是一元二次方程 x22x+60 的两根， +2，6 故选：B 10解：根据题意，得 3+3（1+x）+3（1+x）29.93 故选：D 11解：
11、x217x+160，即（x1） （x16）0， x11，x216 又矩形场地 ABCD 的长为 16m，宽为 9m， x1 A种植草坪部分的总面积（161）（912）105（m2） ， 105112， 选项 A 不符合题意； B种植草坪部分的总面积（1613）（91）104（m2） ， 104112， 选项 B 不符合题意； C种植草坪部分的总面积（1612）（91）112（m2） ， 112112， 选项 C 符合题意； D种植草坪部分的总面积（1612）（912）98（m2） ， 98112， 选项 D 不符合题意； 故选：C 12解：设 a2+b2m， 则原方程化为：m28m480， 解
12、得 m4（不符合题意，舍去）或 m12， a2+b212， 故选：A 二填空题二填空题 13解：m 是关于 x 的一元二次方程 x23x+10 的一个根， m23m+10，即 m23m1， 则 2m26m+20222（m23m）+20222（1）+20222020， 故答案为：2020 14解：根据题意得，|m1|2 且 m30， 解得：m1 故答案为：1 15解：方程 x2x0 的一次项系数是1，常数项是 0 16解：根据题意得 m+n1，mn2， 所以（m21） （n21） m2n2m2n2+1 m2n2（m+n）2+2mn+1 （2）212+2（2）+1 414+1 0 故答案为：0 1
13、7解：x26x+25x26x+9+16（x3）2+16， （x3）20， （x3）2+1616， 代数式 x26x+25 的最小值是 16 故答案为：16 18解：法 1：方程整理得：x24， 开方得：x12，x22， 则原式4； 法 2：x1、x2是方程 x240 的两个根， x1x24 故答案为：4 19解：把方程 x24x0 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x24x+44， 配方得（x2）24 故答案为： （x+2）24 20解：根据题意得：x22x4x， 整理得：x26x0， 分解因式得：x（x6）0， 所以 x0 或 x60， 解得：x10，x26 故答案为：x10，x26
14、21解：3x26x， 3x26x0， 3x（x2）0， 3x0 或 x20， x12，x20， 故答案为：x12，x20 22解：根据题意得 k0 且（1）24k20， 解得 k， 即 k 的取值范围为 k 故答案为：k 三解答题三解答题 23解：（2x1）281， 2x19， 2x19 或 2x19， x15，x24 24解： （1）4（t3）29（2t3）2 开方得：2（t3）3（2t3） ， 2（t3）3（2t3）或 2（t3）3（2t3） ， ； （2）2x27x40， 方程两边同时除以 2 得：， ； （3）3x2+5（2x+1）0， 方程整理为一般式为：3x2+10 x+50， a
15、3，b10，c5， b24ac10243540， ， ； （4）3（x5）22（5x） ， 方程变形为：3（x5）2+2（x5）0， （x5）3（x5）+20， （x5） （3x13）0， ； （5）abx2（a2+b2）x+ab0（axb） （bxa）0， ab0， a0，b0， ； （6）6x2x12， 当时，原式有最小值 25解： （1）设其中一条直角边的长为 xcm，则另一条直角边的长为（14x）cm， 根据题意得x（14x）24， 整理得 x214x+480 （2）设十位数字为 x，则个位数字为 x+3，百位数字为 x+2， 根据题意得：9（x+3）2+x2+（x+2）2100（x+
16、2）+10 x+（x+3）20， 化简得 9x27x220 26解： （1）关于 x 的一元二次方程（k1）x2+3x+10 有两个不相等的实数根， 0，且 k10， ， 解得 k且 k1； （2）存在实数 k，使该方程的两个实数根 x1、x2满足 x1+x252x1x2，理由如下： 若 x1、x2是（k1）x2+3x+10 的两个实数根，则 x1+x2，x1x2， x1+x252x1x2， 5， 解得 k， ， k时， （k1）x2+3x+10 有两个实数根， 存在实数 k，使该方程的两个实数根 x1、x2满足 x1+x252x1x2 27解： （1）设这两年藏书的年平均增长率为 x， 依题
17、意得：5（1+x）27.2， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：这两年藏书的年平均增长率为 20% （2）7.2（1+20%）8.64（万册） ， 8.648.6， 按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现 28 （1）证明：m24（m1） m24m+4 （m2）20， 无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）解：当 m5 时，x25x+40，解得 x11，x24， 即 AB、AD 的长为 1、4， 矩形的面积144； 平行四边形 ABCD 是菱形， ABAD， 0，即（m2）20，解得 m2， 方程化为 x22x+10，解得 x1x21， 菱形的边长为 1 29解： （1）设每件商品应降价 x 元， 由题意，得（280 x220） （30+3x）（280220）302， 解得 x120，x230 答：每件商品应降价 20 元或 30 元； （2）要使该商品尽快售完， 每件商品应降价 30 元 设需要开展 y 天的降价促销活动 由题意，得 900302（30+330）y 解得 y7 答：需开展 7 天的降价促销活动