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13.1.2定理与证明 课时练习(含答案)2022-2023学年华东师大版八年级数学上册

1、 13.1.2 定理与证明定理与证明 一、单选题一、单选题( (共共 1 12 2 个小题个小题) ) 1下列说法正确的是( ) A真命题都可以作为定理 B公理不需要证明 C定理必须要证明 D证明只能根据定义、公理进行 2下列推理正确的是( ) A若0ab,则0ab B若0ab,则 0ab C若0ab,则0ab D若0ab,则0a或0b 3定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是( ) A两点之间线段最短 B边边边公理 C同位角相等,两直线平行 D垂线段最短 4下列问题你不能肯定的是( ) A一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B三角形与矩形的面积关系 C三角形的内角和 Dn边形的外角和

2、 5数学巨著几何原本以基本事实和原始概念为基础,推演出更多的结论,体现了公理化思想几何原本的作者是( ) A阿基米德 B欧几里得 C毕达哥拉斯 D泰勒斯 6假设命题“a0”不成立,那么 a与 0 的大小关系只能是( ) Aa1 Ba0 Ca0 Da0 7下列语句中,是定义的是( ) A两点确定一条直线 B在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 C三角形的角平分线是一条线段 D同角的余角相等 8对于命题“如果1290 ,那么12 ”,能说明它是假命题的是( ) A150 ,240 B150 ,250 C1245 D140 ,240 9有下列描述:过点 A 作直线 AF / BC ;连接三角形两

3、边中点的线段叫做三角形的中位线;两直线平行,同旁内角互补;垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 10下列命题是定理的是( ) A内错角相等 B同位角相等,两直线平行 C一个角的余角不等于它本身 D在同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直 11下列各命题的逆命题成立的是( ) A若 a 的倒数为1a,则 a是整数 B若三个数满足222abc,则 a,b,c一定是三角形的三条边 C若ABC与ABC关于某直线对称,则ABC与ABC一定全等 D两直线平行,同位角相等 12下列定理中,逆定理不存在的是( ) A等边三角形的三个内角都等于60

4、 B在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角相等 C同位角相等,两直线平行 D全等三角形的面积相等 二、填空题二、填空题( (共共 8 8 个小题个小题) ) 13根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出: 已知:_ 求证:_ 14如图所示,90AOBCOD ,那么AOC_,依据是_ 15(1)如图所示,点A是公路l旁的居民点,从点A向公路l修一条连接公路的小路AB,ABl,这样修所依据的数学公理是_ (2)如图所示,点B,B,C,C在同一条直线上,当AB _,CA_,BC _时,ABCABC,所依据的数学公理是_ 16如图所示,已知ABFE,ADFC,BCED下列结

5、论:AF ;/ /ABEF;/ADFC其中正确的结论是_(填序号) 17用一个实数a的值说明命题“2aa”是假命题,这个a的值可以是_ 18已知三条不同的直线 a、b、c在同一平面内,下列四条命题: 如果 a/b,ac,那么 bc; 如果 b/a,c/a,那么 b/c; 如果 ba,ca,那么 bc; 如果 ba,ca,那么 b/c 其中真命题的是_(填写所有真命题的序号) 19 命题“如果两个实数相等, 那么它们的绝对值相等”的逆命题是_, 它是_ (填“真命题”或“假命题”) 20命题 1:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c,那么222 abc命题 2:如果一个三角形的

6、三条边长分别为a,b, c,且222 abc,那么这个三角形是直角三角形则命题 1 与命题2 是_命题 三、解答题三、解答题( (共共 3 3 个小题个小题) ) 21如图,已知直线AB CD,直线 MN 分别交 AB、CD 于 M、N 两点,若 ME、NF分别是AMN、DNM的角平分线,试说明:MENF 解:AB CD,(已知) AMNDNM( ) ME、NF分别是AMN、DNM 的角平分线,(已知) EMN AMN, FNM DNM (角平分线的定义) EMNFNM(等量代换) MENF( ) (1) 由此我们可以得出一个结论: 两条平行线被第三条直线所截, 一对 角的平分线互相 (2)解

7、题过程中是否应用了互逆命题,如果有,请写出来 22已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,分别结合图探索这两个角的关系 (1)如图 1,ABEF,BCED,1 与2 的关系是_; 证明: (2)如图 2,ABEF,BCDE,则1 与2 的关系是_; 证明: (3)经过探索,综合上述,我们可以得一个真命题是_ 23如图,现有以下三个条件:/ /,ABCD,BC EF 请你以其中两个作为题设,另一个作为结论构造命题 (1)你构造的是哪几个命题? (2)你构造的命题是真命题还是假命题?若是真命题,请给予证明;若是假命题,请举出反例(证明其中的一个命题即可) 13.1.213.1.2 定理与证明定理

8、与证明 1 【答案】B 【解析】略 2 【答案】D 【详解】解:A、0ab,a,b 同号,则0ab或0ab ,本项错误; B、0ab,则0a b不一定正确,如a1 b2,时,a b0,本项错误; C、0a b,则0a 或0b,0ab不一定正确,故本项错误; D、0a b,则0a 或0b,本项正确; 故选择:D. 3 【答案】A 【详解】解:如图, 根据两点之间线段最短,即可判断:AB BCAC, 三角形的任意两边之和大于第三边; 故选 A. 4 【答案】B 【详解】A. 二者大小关系一目了然,能肯定; B. 二者面积大小关系不确定,不能肯定; C. 能用三角形的内角和定理判断,能肯定; D.

9、能用多边形的外角和判断,能肯定; 故选 B. 5 【答案】B 【详解】解:几何原本的作者是:欧几里得, 故选:B 6 【答案】D 【详解】解:假设命题“a0”不成立,则 a0 故选:D 7 【答案】B 【详解】A. 两点确定一条直线是画图语句不是定义, B. 在同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线是定义, 平行线是被定义项, 不相交的两条直线是定义项,叫做是定义联项, C. 三角形的角平分线是一条线段说明角平分线的形状不是定义, D. 同角的余角相等是定理不是定义 故选择:B 8 【答案】C 【详解】解:A、满足条件1+2=90 ,也满足结论12,故 A 选项不符合; B、不满足条件,故

10、B 选项不符合; C、满足条件,不满足结论,故 C 选项符合; D、不满足条件,也不满足结论,故 D 选项不符合 故选:C 9 【答案】B 【详解】是题目条件或者要求,不是定理; 是三角形中位线定义,不是定理; 是定理; 是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选 B. 10 【答案】B 【详解】解:A、内错角相等,需要有前提条件“两直线平行”,是假命题,本选项不符合题意; B、同位角相等,两直线平行,是真命题,也是定理,本选项符合题意; C、一个角的余角可以等于它本身,如 45 ,是假命题,本选项不符合题意; D、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,是假命题,本

11、选项不符合题意 故选 B 11 【答案】D 【详解】解:A原命题的逆命题是:若 a是整数,则 a 的倒数为1a 此命题错误,没有排除 0,0 没有倒数,A 不符合题意 B原命题的逆命题是:若 a,b,c 是三角形的三条边,则这三个数满足222abc 此命题错误,满足是三角形的三条边不一定是直角三角形,自然也不一定满足222abc,B 不符合题意 C原命题的逆命题是:若ABC 与ABC全等,则ABC 与ABC关于某直线对称 此命题错误,全等关系与位置无关,不能推导对称关系,C 不符合题意 D原命题的逆命题是:同位角相等,两直线平行教材定理,显然正确,D 符合题意 故选 D 12 【答案】D 【详

12、解】A. 等边三角形的三个内角都等于60,逆定理为:三个内角都等于60的三角形是等边三角形,此定理存在,不符合题意, B. 在一个三角形中, 如果两边相等, 那么它们所对的角相等, 逆定理为: 在一个三角形中, 如果两角相等,那么它们所对的边相等,此定理存在,不符合题意, C. 同位角相等,两直线平行,逆定理为:两直线平行,同位角相等,此定理存在,不符合题意, D. 全等三角形的面积相等,逆定理为:面积相等的三角形是全等三角形,此定理不存在,符合题意, 故选 D 13 【答案】 已知:ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线 求证:AD 平分BAC. 【详解】已知:ABC 中,AB=

13、AC,D 为 BC 中点(或 BD=DC); 求证:AD 平分BAC 故答案为ABC 中,AB=AC,D 为 BC 中点(或 BD=DC);AD 平分BAC 14 【答案】 BOD , 同角的余角相等 【详解】解:90AOBCOD , AOC+BOC=90 ,BOD+BOC=90 , 根据同角的余角相等, AOC=BOD; 故答案为BOD,同角的余角相等. 15 【答案】(1)垂线段最短;(2)A B , CA , BC , SSS. 【详解】解:(1)从直线外一点到这条直线上各点所连线段中,垂线段最短, 过点 A 作ABl于点 B,这样修所依据的数学公理是垂线段最短 故答案为垂线段最短 (2

14、)根据题意,当,ABA B CAC A BCB C时, 有:ABCABC (SSS), 所依据的数学公理是 SSS; 故答案为A B , CA , BC , SSS. 16 【答案】 【详解】解:BCED, BCCDED CD, BD=EC, ABFE,ADFC, ABDFEC(SSS), A=F,B=E,ADB=FCE, / /ABEF,/ADFC, 所以都正确, 故答案为. 17 【答案】-1(答案不唯一,0a 即可) 【详解】1a时,满足a是实数,但不满足2aa, 所以1a可作为说明命题“如果a是任意实数,那么“2aa”是假命题的一个反例 故答案为:-1(答案不唯一,0a 即可) 18

15、【答案】 【详解】如果 a/b,ac,那么 bc 是真命题, 如果 b/a,c/a,那么 b/c 是真命题, 如果 ba,ca,那么 bc 是假命题, 如果 ba,ca,那么 b/c 是真命题, 真命题有, 故答案为: 19 【答案】 如果两个实数的绝对值相等,则这两个实数相等; 假命题 【详解】“如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等,结论是它们的绝对值相等,因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等,则这两个实数相等”; 比如111 ,但11 ,所以是假命题 故答案为:如果两个实数的绝对值相等,则这两个实数相等;假命题 20 【答案】互逆 【详解】根据互逆命题的定

16、义可知命题 1 与命题 2 是互逆命题, 故答案为:互逆 21 【答案】两直线平行内错角相等;12;12;内错角相等两直线平行;(1)内错;平行;(2)有;内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 (2)两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题 【详解】解:AB CD,(已知) AMN=DNM,(两直线平行内错角相等), ME、NF分别是AMN、DNM 的角平分线,(已知), EMN=12AMN, FNM=12DNM,(角平分线的定义), EMN=FNM(等量代换) MENF,(内错角相等两直线平行) 故答案为:两直线平行内错角相等;12;12;内错角相等两直线平行 (1)由此我

17、们可以得出一个结论:两条平行线被第三条直线所截,一对内错角的平分线互相平行; 故答案为:内错;平行 (2)解题过程中应用了互逆命题,内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 22 【答案】(1)12,证明见解析 (2)12180 ,证明见解析 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补 【详解】(1)1=2, 证明:如图 1: ABEF, 1=3, BCED, 3=2, 1=2; 故答案为:1=2; (2)2+1=180 , 证明:如图 2: ABEF, 1=4, BCED, 2+4=180 , 2+1=180 ; 故答案为:2+1=180 ; (3)由(1)(2

18、)可得: 一个角的两边平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补 故答案为:一个角的两边平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补 23 【答案】(1)可构造如下几个命题:如果/ /,ABCDBC 那么EF ,如果/ /,ABCDEF 那么BC ,如果BC ,,EF 那么/ABCD;(2)证明见解析 【详解】解:(1)有:如果/ /,ABCDBC 那么EF ; 如果/ /,ABCDEF 那么BC ; 如果BC ,,EF 那么/ABCD; (2)如图: ABCD, B=CDF, B=C, C=CDF, CEBF, E=F, 如果/ /,ABCDBC 那么EF 为真命题; ABCD, B=CDF, E=F, CEBF, C=CDF, B=C, 如果/ /,ABCDEF 那么BC 为真命题; E=F, CEBF, C=CDF, B=C, B=CDF, ABCD, 如果BC ,,EF 那么/ABCD为真命题