1、 13.1.2 定理与证明定理与证明 一、单选题一、单选题( (共共 1 12 2 个小题个小题) ) 1下列说法正确的是（ ） A真命题都可以作为定理 B公理不需要证明 C定理必须要证明 D证明只能根据定义、公理进行 2下列推理正确的是（ ） A若0ab，则0ab B若0ab，则 0ab C若0ab，则0ab D若0ab，则0a或0b 3定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（ ） A两点之间线段最短 B边边边公理 C同位角相等，两直线平行 D垂线段最短 4下列问题你不能肯定的是（ ） A一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B三角形与矩形的面积关系 C三角形的内角和 Dn边形的外角和
2、 5数学巨著几何原本以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想几何原本的作者是（ ） A阿基米德 B欧几里得 C毕达哥拉斯 D泰勒斯 6假设命题“a0”不成立，那么 a与 0 的大小关系只能是（ ） Aa1 Ba0 Ca0 Da0 7下列语句中，是定义的是（ ） A两点确定一条直线 B在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 C三角形的角平分线是一条线段 D同角的余角相等 8对于命题“如果1290 ，那么12 ”，能说明它是假命题的是（ ） A150 ，240 B150 ，250 C1245 D140 ，240 9有下列描述：过点 A 作直线 AF / BC ；连接三角形两
3、边中点的线段叫做三角形的中位线；两直线平行，同旁内角互补；垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 10下列命题是定理的是（ ） A内错角相等 B同位角相等，两直线平行 C一个角的余角不等于它本身 D在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 11下列各命题的逆命题成立的是（ ） A若 a 的倒数为1a，则 a是整数 B若三个数满足222abc，则 a，b，c一定是三角形的三条边 C若ABC与ABC关于某直线对称，则ABC与ABC一定全等 D两直线平行，同位角相等 12下列定理中，逆定理不存在的是（ ） A等边三角形的三个内角都等于60
4、 B在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等 C同位角相等，两直线平行 D全等三角形的面积相等 二、填空题二、填空题( (共共 8 8 个小题个小题) ) 13根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知：_ 求证：_ 14如图所示，90AOBCOD ，那么AOC_，依据是_ 15（1）如图所示，点A是公路l旁的居民点，从点A向公路l修一条连接公路的小路AB，ABl，这样修所依据的数学公理是_ （2）如图所示，点B，B，C，C在同一条直线上，当AB _，CA_，BC _时，ABCABC，所依据的数学公理是_ 16如图所示，已知ABFE，ADFC，BCED下列结
5、论：AF ；/ /ABEF；/ADFC其中正确的结论是_（填序号） 17用一个实数a的值说明命题“2aa”是假命题，这个a的值可以是_ 18已知三条不同的直线 a、b、c在同一平面内，下列四条命题： 如果 a/b，ac，那么 bc； 如果 b/a，c/a，那么 b/c； 如果 ba，ca，那么 bc； 如果 ba，ca，那么 b/c 其中真命题的是_（填写所有真命题的序号） 19 命题“如果两个实数相等， 那么它们的绝对值相等”的逆命题是_， 它是_ （填“真命题”或“假命题”） 20命题 1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么222 abc命题 2：如果一个三角形的
6、三条边长分别为a，b， c，且222 abc，那么这个三角形是直角三角形则命题 1 与命题2 是_命题 三、解答题三、解答题( (共共 3 3 个小题个小题) ) 21如图，已知直线AB CD，直线 MN 分别交 AB、CD 于 M、N 两点，若 ME、NF分别是AMN、DNM的角平分线，试说明：MENF 解：AB CD，（已知） AMNDNM（ ） ME、NF分别是AMN、DNM 的角平分线，（已知） EMN AMN， FNM DNM （角平分线的定义） EMNFNM（等量代换） MENF（ ） （1） 由此我们可以得出一个结论： 两条平行线被第三条直线所截， 一对 角的平分线互相 （2）解
7、题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来 22已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系 (1)如图 1，ABEF，BCED，1 与2 的关系是_； 证明： (2)如图 2，ABEF，BCDE，则1 与2 的关系是_； 证明： (3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是_ 23如图，现有以下三个条件：/ /,ABCD,BC EF 请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题 （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可) 13.1.213.1.2 定理与证明定理
8、与证明 1 【答案】B 【解析】略 2 【答案】D 【详解】解：A、0ab，a，b 同号，则0ab或0ab ，本项错误； B、0ab，则0a b不一定正确，如a1 b2，时，a b0，本项错误； C、0a b，则0a 或0b，0ab不一定正确，故本项错误； D、0a b，则0a 或0b，本项正确； 故选择：D. 3 【答案】A 【详解】解：如图， 根据两点之间线段最短，即可判断：AB BCAC， 三角形的任意两边之和大于第三边； 故选 A. 4 【答案】B 【详解】A. 二者大小关系一目了然，能肯定； B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定； C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定； D.
9、能用多边形的外角和判断，能肯定； 故选 B. 5 【答案】B 【详解】解：几何原本的作者是：欧几里得， 故选：B 6 【答案】D 【详解】解：假设命题“a0”不成立，则 a0 故选：D 7 【答案】B 【详解】A. 两点确定一条直线是画图语句不是定义， B. 在同一平面内， 不相交的两条直线叫做平行线是定义， 平行线是被定义项， 不相交的两条直线是定义项，叫做是定义联项， C. 三角形的角平分线是一条线段说明角平分线的形状不是定义， D. 同角的余角相等是定理不是定义 故选择：B 8 【答案】C 【详解】解：A、满足条件1+2=90 ，也满足结论12，故 A 选项不符合； B、不满足条件，故
10、B 选项不符合； C、满足条件，不满足结论，故 C 选项符合； D、不满足条件，也不满足结论，故 D 选项不符合 故选：C 9 【答案】B 【详解】是题目条件或者要求,不是定理; 是三角形中位线定义,不是定理; 是定理; 是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选 B. 10 【答案】B 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如 45 ，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本
11、选项不符合题意 故选 B 11 【答案】D 【详解】解：A原命题的逆命题是：若 a是整数，则 a 的倒数为1a 此命题错误，没有排除 0，0 没有倒数，A 不符合题意 B原命题的逆命题是：若 a，b，c 是三角形的三条边，则这三个数满足222abc 此命题错误，满足是三角形的三条边不一定是直角三角形，自然也不一定满足222abc，B 不符合题意 C原命题的逆命题是：若ABC 与ABC全等，则ABC 与ABC关于某直线对称 此命题错误，全等关系与位置无关，不能推导对称关系，C 不符合题意 D原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行教材定理，显然正确，D 符合题意 故选 D 12 【答案】D 【详
12、解】A. 等边三角形的三个内角都等于60，逆定理为：三个内角都等于60的三角形是等边三角形，此定理存在，不符合题意， B. 在一个三角形中， 如果两边相等， 那么它们所对的角相等， 逆定理为： 在一个三角形中， 如果两角相等，那么它们所对的边相等，此定理存在，不符合题意， C. 同位角相等，两直线平行，逆定理为：两直线平行，同位角相等，此定理存在，不符合题意， D. 全等三角形的面积相等，逆定理为：面积相等的三角形是全等三角形，此定理不存在，符合题意， 故选 D 13 【答案】 已知：ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线 求证：AD 平分BAC. 【详解】已知：ABC 中，AB=
13、AC，D 为 BC 中点（或 BD=DC）； 求证：AD 平分BAC 故答案为ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点（或 BD=DC）；AD 平分BAC 14 【答案】 BOD ， 同角的余角相等 【详解】解：90AOBCOD ， AOC+BOC=90 ，BOD+BOC=90 ， 根据同角的余角相等， AOC=BOD； 故答案为BOD，同角的余角相等. 15 【答案】（1）垂线段最短；（2）A B ， CA ， BC ， SSS. 【详解】解：（1）从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， 过点 A 作ABl于点 B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短 故答案为垂线段最短 （2
14、）根据题意，当,ABA B CAC A BCB C时， 有：ABCABC （SSS）， 所依据的数学公理是 SSS； 故答案为A B ， CA ， BC ， SSS. 16 【答案】 【详解】解：BCED， BCCDED CD， BD=EC， ABFE，ADFC， ABDFEC（SSS）， A=F，B=E，ADB=FCE， / /ABEF，/ADFC， 所以都正确， 故答案为. 17 【答案】-1（答案不唯一，0a 即可） 【详解】1a时，满足a是实数，但不满足2aa， 所以1a可作为说明命题“如果a是任意实数，那么“2aa”是假命题的一个反例 故答案为：-1（答案不唯一，0a 即可） 18
15、【答案】 【详解】如果 a/b，ac，那么 bc 是真命题， 如果 b/a，c/a，那么 b/c 是真命题， 如果 ba，ca，那么 bc 是假命题， 如果 ba，ca，那么 b/c 是真命题， 真命题有， 故答案为： 19 【答案】 如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等； 假命题 【详解】“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等，结论是它们的绝对值相等，因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等”； 比如111 ，但11 ，所以是假命题 故答案为：如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题 20 【答案】互逆 【详解】根据互逆命题的定
16、义可知命题 1 与命题 2 是互逆命题， 故答案为：互逆 21 【答案】两直线平行内错角相等；12；12；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 （2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题 【详解】解：AB CD，（已知） AMN=DNM，（两直线平行内错角相等）， ME、NF分别是AMN、DNM 的角平分线，（已知）， EMN=12AMN， FNM=12DNM，（角平分线的定义）， EMN=FNM（等量代换） MENF，（内错角相等两直线平行） 故答案为：两直线平行内错角相等；12；12；内错角相等两直线平行 （1）由此我
17、们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行； 故答案为：内错；平行 （2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 22 【答案】(1)12，证明见解析 (2)12180 ，证明见解析 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【详解】（1）1=2， 证明：如图 1： ABEF， 1=3， BCED， 3=2， 1=2； 故答案为：1=2； （2）2+1=180 ， 证明：如图 2： ABEF， 1=4， BCED， 2+4=180 ， 2+1=180 ； 故答案为：2+1=180 ； （3）由（1）（2
18、）可得： 一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补 故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补 23 【答案】（1）可构造如下几个命题：如果/ /,ABCDBC 那么EF ，如果/ /,ABCDEF 那么BC ，如果BC ，,EF 那么/ABCD；（2）证明见解析 【详解】解：（1）有：如果/ /,ABCDBC 那么EF ； 如果/ /,ABCDEF 那么BC ； 如果BC ，,EF 那么/ABCD； （2）如图： ABCD， B=CDF， B=C， C=CDF， CEBF， E=F， 如果/ /,ABCDBC 那么EF 为真命题； ABCD， B=CDF， E=F， CEBF， C=CDF， B=C， 如果/ /,ABCDEF 那么BC 为真命题； E=F， CEBF， C=CDF， B=C， B=CDF， ABCD， 如果BC ，,EF 那么/ABCD为真命题