1、1.4 用一元二次方程解决问题用一元二次方程解决问题 一、选择题一、选择题 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） A （x2）2+4x2 Bx2+2x+20 Cx2+130 Dxy+21 2方程（x+1）29 的解为（ ） Ax12，x24 Bx12，x24 Cx14，x22 Dx12，x24 3如果关于 x 的方程（x9）2m+4 可以用直接开平方法求解，那么 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm4 Dm4 4关于 x 的方程 x2+4kx+2k24 的一个解是2，则 k 值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 0 D2 或 2 5某小区 A 楼居民今年从三月开始到五月底全
2、部接种新冠疫苗已知该楼常驻人口 285 人，三月已有 60人接种新冠疫苗， 四月、 五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x， 则下面所列方程正确的是 （ ） A60（1+x）2285 B60（1x）2285 C60（1+x）+60（1+x）2285 D60+60（1+x）+60（1+x）2285 6已知 2+3是关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的一个实数根，则实数 m 的值是（ ） A0 B1 C3 D1 7若方程 x2+2mx+m+20 的一个根大于 1，另一个根小于 1，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 8以下是某风景区旅游信息： 旅游人数 收费标准
3、 不超过 30 人 人均收费 80 元 超过 30 人 增加 1 人，人均收费降低 1 元，但人均收费不低于 50 元 根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 2800 元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ） A38 B40 C42 D44 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）请把答案直接填写在横线上分）请把答案直接填写在横线上 9以2 为一根且二次项系数是 1 的一元二次方程可写为 （写一个即可） 10若关于 x 的方程（m1）x2+1x1 是一元二次方程，则 m 11用公式法解一元二次方程，得：x
4、=55243123，则该一元二次方程是 12如果关于 x 的一元二次方程 x26x+m10 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 13某公园要在一块长 20 米、宽 15 米的长方形空地中央建造一个面积为 150 平方米的长方形花圃，要使四周留出一条宽相等的小路，设小路的宽为 x，则可列出方程 14已知 a、b 实数且满足（a2+b2）2（a2+b2）120，则 a2+b2的值为 15 关于 x 的方程 （x+m1）2b （m， b 为常数， 且 b0）的解是 x11，x24，则关于 x 的方程 m2+2mxbx2的解是 16对于实数 a，b，定义运算“a*b= 2 () 2( )”例
5、如 4*2，因为 42，所以 4*242428若x1，x2是一元二次方程 x28x+160 的两个根，则 x1*x2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （2021 秋龙江县期末）用适当方法解下列方程： （1）3x22x10； （2）x（x+2）2x+4 18 （2021 春百色期末）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解 19 （2022 春西湖区校级期中） 已知A
6、BC 的两边 AB， AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x22 （n1） x+n22n0 的两个根，第三边 BC 的长是 10 （1）求证：无论 n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根 （2）当 n 为何值时；ABC 为等腰三角形？并求ABC 的周长 （3）当 n 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ 20 （2022丰南区一模）已知两个整式 Ax2+2x，Bx+2，其中系数被污染 （1）若是2，化简 A+B； （2）若 x2 时，A+B 的值为 18 说明原题中是几？ 若再添加一个常数 a，使 A+B+a 的值不为负数，求 a 的最小值 21 （2019 春乳山市期中）
7、【阅读材料】 若 m22mn+2n28n+160，求 m，n 的值 解：m22mn+2n28n+160， （m22mn+n2）+（n28n+16）0 （mn）2+（n4）20， n4，m4 【解决问题】 已知 a22a+b26b+100，求 ba的值 22 （2021 春海安市期末）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点第 n 行有 n 个点，容易发现 10 是三角点阵中前 4 行的点数和 （1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是 276？ （2）这个三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，说明理由
8、 23 （2022东莞市校级二模）国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，2019 年有耕地 7200 亩，经过改造后，2021 年有耕地 8712 亩 （1）求该村耕地两年平均增长率； （2）按照（1）中平均增长率，求 2022 年该村耕地拥有量 24 （2022开州区模拟） “绿化校园，书香开州” ，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共100 棵， 其中梧桐树苗每棵 40 元， 杉树苗每棵 35 元， 经预算， 此次购买两种树苗一共至少需要 3800 元 （1）计划购买梧桐树苗最少是多少棵？ （2）在实际购买中，因受树苗积压
9、以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于 10 元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低 1 元，梧桐树苗的销售量会增加 2 棵，杉树苗的销售量会增加 3 棵若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了 300元，则两种树苗都降低多少元？ 1.4 用一元二次方程解决问题用一元二次方程解决问题 一、选择题一、选择题 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） A （x2）2+4x2 Bx2+2x+20 Cx2+130 Dxy+21 【分析】根据一元二次方程的定义解决此题 【解析】A由（x2）2+4x2，得 4x0，那么（x2）2+4x2不是一元二次方程
10、，故 A 不符合题意 B根据一元二次方程的定义，x2+2x+20 是一元二次方程，故 B 符合题意 C根据一元二次方程的定义，x2+130 不是一元二次方程，而是分式方程，故 C 不符合题意 D根据一元二次方程，xy+21 不是一元二次方程，故 D 不符合题意 故选：B 2方程（x+1）29 的解为（ ） Ax12，x24 Bx12，x24 Cx14，x22 Dx12，x24 【分析】把方程两边开方得到 x+13，然后解两个一次方程即可 【解析】 （x+1）29， x+13， 所以 x12，x24 故选：A 3如果关于 x 的方程（x9）2m+4 可以用直接开平方法求解，那么 m 的取值范围是
11、（ ） Am3 Bm3 Cm4 Dm4 【分析】根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答 【解析】由题意得： m+40， m4， 故选：D 4关于 x 的方程 x2+4kx+2k24 的一个解是2，则 k 值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 0 D2 或 2 【分析】直接把 x2 代入方程 x2+4kx+2k24 得 48k+2k24，然后解关于 k 的一元二次方程即可 【解析】把 x2 代入方程 x2+4kx+2k24 得 48k+2k24， 整理得 k24k0，解得 k10，k24， 即 k 的值为 0 或 4 故选：B 5某小区 A 楼居民今年从三月开始到五月底全部
12、接种新冠疫苗已知该楼常驻人口 285 人，三月已有 60人接种新冠疫苗， 四月、 五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x， 则下面所列方程正确的是 （ ） A60（1+x）2285 B60（1x）2285 C60（1+x）+60（1+x）2285 D60+60（1+x）+60（1+x）2285 【分析】分别表示出四月和五月的人数即可列出方程 【解析】三月已有 60 人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为 x， 四月份接种人数为 60（1+x） ，五月份为 60（1+x）2人， 方程为：60+60（1+x）+60（1+x）2285， 故选：D 6已知 2+3是关于 x
13、 的一元二次方程 x24x+m0 的一个实数根，则实数 m 的值是（ ） A0 B1 C3 D1 【分析】把 x2+3代入方程就得到一个关于 m 的方程，就可以求出 m 的值 【解析】根据题意，得 （2+3）24（2+3）+m0， 解得 m1； 解法二：对方程变形得：x（x4）+m0，再代入 x2+3，得到： （3 +2） （3 2）+m0， 即 m10，m1 故选：B 7若方程 x2+2mx+m+20 的一个根大于 1，另一个根小于 1，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】先利用判别式的意义得到 m2 或 m1 设方程 x2+2mx+m+20 的两根为 、，利
14、用根与系数的关系得到 +2m，m+2，再利用 1，1 得到（1） （1）0， 则 m+2+2m+10，然后解关于 m 的不等式从而得到 m 的范围 【解析】根据题意得4m24（m+2）0， （m2） （m+1）0， m2 或 m1 设方程 x2+2mx+m+20 的两根为 、，则 +2m，m+2， 1，1，即 10，10， （1） （1）0， 即 （+）+10， m+2+2m+10，解得 m1， m 的范围为 m1 故选：A 8以下是某风景区旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过 30 人 人均收费 80 元 超过 30 人 增加 1 人，人均收费降低 1 元，但人均收费不低于 50 元 根据
15、以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 2800 元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ） A38 B40 C42 D44 【分析】首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游的人数为 x 人，根据总费用为 2800 元列出一元二次方程求解即可 【解析】因为 308024002800，所以人数超过 30 人； 设参加这次旅游的人数为 x 人，依题意可知：x80（x30）2800， 解之得，x40 或 x70， 当 x70 时，80（x30）80404050，故应舍去， 即：参加这次旅游的人数为 40 人 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题
16、小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）请把答案直接填写在横线上分）请把答案直接填写在横线上 9以2 为一根且二次项系数是 1 的一元二次方程可写为 x2+4x+40（答案不唯一） （写一个即可） 【分析】根据要求二次项系数为 1，有一个因式（x+2） ，另一个因式不定，方程是开放型，另一个根任选即可 【解析】一元二次方程的二次项系数为 1，且一个根为2 方程为（x+2） （x+m）0， 令 m2，则方程为（x+2） （x+2）0，即 x2+4x+40 故答案为：x2+4x+40（答案不唯一） 10若关于 x 的方程（m1）x2+1x1 是一元二次方程，则 m 1 【分析】根据一元二次方程的
17、定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，列出方程 m2+12，且 m10，继而即可得出 m 的值 【解析】根据题意，得：m10 且 m2+12， 解得 m1， 故答案为：1 11用公式法解一元二次方程，得：x=55243123，则该一元二次方程是 3x2+5x+10 【分析】根据求根公式确定出方程即可 【解析】根据题意得：a3，b5，c1， 则该一元二次方程是 3x2+5x+10， 故答案为：3x2+5x+10 12 如果关于 x 的一元二次方程 x26x+m10 有两个不相等的实数根， 那么 m 的取值范围是 m10 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解析】由题意可知：364
18、（m1） 364m+4 404m0， m10， 故答案为：m10 13某公园要在一块长 20 米、宽 15 米的长方形空地中央建造一个面积为 150 平方米的长方形花圃，要使四周留出一条宽相等的小路，设小路的宽为 x，则可列出方程 （202x） （152x）150 【分析】可设小路宽为 x，根据在一块长 20 米，宽 15 米的长方形空地的中央建造一个面积为 150 平方米的长方形花圃，要使四周留出一条宽相等的小路，可列出方程 【解析】设小路宽为 x， （202x） （152x）150 故答案为： （202x） （152x）150 14已知 a、b 实数且满足（a2+b2）2（a2+b2）12
19、0，则 a2+b2的值为 4 【分析】设 ta2+b2（t0） 由原方程得到 t2t120 求得 t 的值即可 【解析】设 ta2+b2（t0） 由原方程得到 t2t120 整理，得（t4） （t+3）0 所以 t4 或 t3（舍去） 即 a2+b2的值为 4 故答案是：4 15 关于 x 的方程 （x+m1）2b （m， b 为常数， 且 b0）的解是 x11，x24，则关于 x 的方程 m2+2mxbx2的解是 x12，x23 【分析】 可把关于 x 的方程 m2+2mxbx2看作关于 x+1 的一元二次方程， 从而得到 x+11， x+14，然后解两个一次方程即可 【解析】方程 m2+2
20、mxbx2整理得（x+m1+1）2b， 把方程关于 x 的方程 m2+2mxbx2看作关于 x+1 的一元二次方程， 而关于 x 的方程 a（x+m1）2+b0 的解是 x11，x24， 所以 x+11，x+14， 所以 x12，x23 故答案为 x12，x23 16对于实数 a，b，定义运算“a*b= 2 () 2( )”例如 4*2，因为 42，所以 4*242428若x1，x2是一元二次方程 x28x+160 的两个根，则 x1*x2 0 【分析】求出 x28x+160 的解，代入新定义对应的表达式即可求解 【解析】x28x+160，解得：x4， 即 x1x24， 则 x1*x2x1x2
21、x2216160， 故答案为 0 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （2021 秋龙江县期末）用适当方法解下列方程： （1）3x22x10； （2）x（x+2）2x+4 【分析】 （1） 利用十字相乘法分解因式， 继而可得两个关于 x 的一元一次方程， 分别求解即可得出答案； （2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于 x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案 【解析】 （1）3x22x10， （3x+1） （x1）0， 3x+10 或 x10
22、， x1= 13，x21； （2）x（x+2）2x+4， x（x+2）2（x+2）0， 则（x+2） （x2）0， x+20 或 x20， x12，x22 18 （2021 春百色期末）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（3）24k0，然后解不等式即可； （2）在 k 的范围内找出最大整数值，然后利用因式分解法解方程 【解析】 （1）根据题意得（3）24k0， 解得 k94； （2）k94， k 的最大整数值为 2， 此时方程为 x23x+20， （x1
23、） （x2）0， x10 或 x20， 所以 x11，x22 19 （2022 春西湖区校级期中） 已知ABC 的两边 AB， AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x22 （n1） x+n22n0 的两个根，第三边 BC 的长是 10 （1）求证：无论 n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根 （2）当 n 为何值时；ABC 为等腰三角形？并求ABC 的周长 （3）当 n 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ 【分析】 （1）计算判别式0，即可得证； （2）根据ABC 是等腰三角形，可知 x10 是方程的一个根，代入方程，求出 n，当 n12 时，当n10 时，再根据根与系数的
24、关系，求出底，即可求出ABC 的周长； （3）根据根与系数的关系，可得 AB+AC2（n1） ，ABACn22n，再根据勾股定理列方程，求出 n的值，再检验即可确定 n 【解答】 （1）证明：2（n1）24（n22n）40， 无论 x 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得，无论 x 取何值，此方程总有两个不相等的实数根， 第三边 BC 的长是 10， 当ABC 为等腰三角形时，x10 为一元二次方程的一个根， 当 x10 时，10020（n1）+n22n0， 解得 n12 或 10， 当 n12 时，方程变为 x222x+1200， 设等腰三角形的底为 m， 根据根与系
25、数的关系，m+1022， m12， ABC 的周长为：10+10+1232； 当 n10 时，方程变为 x218x+800， 设等腰三角形的底为 n， 根据根与系数的关系，10+n18， 解得 n8， ABC 的周长为 10+10+828； 综上，当 n12 时，ABC 是等腰三角形，此时ABC 的周长为 32； 当 n10 时，ABC 是等腰三角形，此时ABC 的周长为 28； （3）解：AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x22（n1）x+n22n0 的两个根， AB+AC2（n1） ，ABACn22n， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，且 BC10， AB2+AC2BC2
26、， 即 4（n1）22（n22n）100， 解得 n8 或6， 当 n8 时，AB+AC2（81）14，符合题意， 当 n6 时，AB+AC2（61）14，不合题意， 综上，n8 时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 20 （2022丰南区一模）已知两个整式 Ax2+2x，Bx+2，其中系数被污染 （1）若是2，化简 A+B； （2）若 x2 时，A+B 的值为 18 说明原题中是几？ 若再添加一个常数 a，使 A+B+a 的值不为负数，求 a 的最小值 【分析】 （1）把2 代入确定出 B，将 A 与 B 代入 A+B 中，去括号合并即可得到结果； （2）设m，表示出 A+B，根据 A
27、+B18 求出 m 的值即可； 根据题意得到 A+B+a0，将 A+B18 代入求出 a 的范围，进而确定出 a 的最小值即可 【解析】 （1）Ax2+2x，B2x+2， A+Bx2+2x+（2x+2） x2+2x2x+2 x2+2； （2）设m， 依题意得，22+22+2m+218， 解得：m4； A+B18， A+B+a 的值不为负数时，有 A+B+a0， 18+a0，解得 a18， a 的最小值为18 21 （2019 春乳山市期中） 【阅读材料】 若 m22mn+2n28n+160，求 m，n 的值 解：m22mn+2n28n+160， （m22mn+n2）+（n28n+16）0 （m
28、n）2+（n4）20， n4，m4 【解决问题】 已知 a22a+b26b+100，求 ba的值 【分析】用完全平方公式进行配方，再利用偶次方的非负性得平方为 0 的数只有 0，从而分别得解 【解析】由：a22a+b26b+100，得： （a1）2+（b3）20， （a1）20， （b3）20， a10，b10， a1，b3， ba31=13 22 （2021 春海安市期末）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点第 n 行有 n 个点，容易发现 10 是三角点阵中前 4 行的点数和 （1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是 276？
29、 （2）这个三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，说明理由 【分析】 （1）设三角点阵中前 x 行的点数和是 276，根据前 x 行的点数和是 276，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出 x 的值； （2）根据前 n 行的点数和是 600，即可得出关于 n 的一元二次方程，解之即可得出 n 的值，再结合 n 为正整数，即可得出各 n 值均不符合题意，即这个三角点阵中前 n 行的点数和不能是 600 【解析】 （1）设三角点阵中前 x 行的点数和是 276， 依题意得：1+2+3+x276， 即(+1)2=276， 整理得：x2+x5520
30、， 解得：x123，x224（不合题意，舍去） 答：三角点阵中前 23 行的点数和是 276 （2）不能，理由如下： 依题意得：1+2+3+n600， 即(+1)2=600， 整理得：n2+n12000， 解得：n1=148012，n2=1+48012 又n 为正整数， n1=148012，n2=1+48012均不符合题意， 这个三角点阵中前 n 行的点数和不能是 600 23 （2022东莞市校级二模）国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，2019 年有耕地 7200 亩，经过改造后，2021 年有耕地 8712 亩 （1）求该村耕地两
31、年平均增长率； （2）按照（1）中平均增长率，求 2022 年该村耕地拥有量 【分析】 （1）设该村耕地两年平均增长率为 x，利用 2021 年该村耕地拥有量2019 年该村耕地拥有量（1+年平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）2021 年该村耕地拥有量2019 年该村耕地拥有量（1+年平均增长率） ，即可求出结论 【解析】 （1）设该村耕地两年平均增长率为 x， 依题意得：7200（1+x）28712， 解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去） 答：该村耕地两年平均增长率为 10% （2）8712（1+10%）9583.2（亩） 答
32、：2022 年该村拥有耕地 9583.2 亩 24 （2022开州区模拟） “绿化校园，书香开州” ，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共100 棵， 其中梧桐树苗每棵 40 元， 杉树苗每棵 35 元， 经预算， 此次购买两种树苗一共至少需要 3800 元 （1）计划购买梧桐树苗最少是多少棵？ （2）在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于 10 元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低 1 元，梧桐树苗的销售量会增加 2 棵，杉树苗的销售量会增加 3 棵若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了 300元，则两种树苗都降低多少元？ 【分析】 （1）可设计划购买梧桐树苗是 x 棵，根据题意可列出相应的一元一次不等式，求解即可； （2）设两种树苗都降低 a 元，从而可列出相应的一元二次方程，求解即可 【解析】 （1）设计划购买梧桐树苗是 x 棵，依题意得： 40 x+35（100 x）3800， 解得：x60， 答：计划购买梧桐树苗最少是 60 棵； （2）两种树苗都降低 a 元，依题意得： （40a）（60+2a）+（35a） （40+3a）3800+300， 整理得：a217a+600， 解得：a5 或 a12（不符合题意舍去） ， 答：两种树苗都降低 5 元