1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 25 章章概率初步概率初步 一、选择题一、选择题 1在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%附近，则口袋中白球可能有（ ） 。 A16 个 B15 个 C13 个 D12 个 2在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） 。 A频率就是概率 B频率与试验次数无关 C概率是随机的，与频率无关 D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 3在一个不透明的盒子里，装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记
2、下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ） 。 A12 个 B16 个 C20 个 D30 个 二、填空题二、填空题 4一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子 6 颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在 0.3 左右，则盒子中黑珠子可能有 颗。 5在一个不透明的袋子中有 10 个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率约为 40%，估计袋中白球有 个。 6在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 n 个小球，其中有 5 个黑球，从袋中随机摸出一球
3、， 记下其颜色， 这称为一次摸球试验， 之后把它放回袋中， 搅匀后， 再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出 n 的值是 。 7某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示： 移植总数（n） 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 学科网（北京）股份有限公司 成活
4、的频率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为 （精确到 0.1） 8在一个不透明的口袋中，有 3 个完全相同的小球，他们的标号分别是 2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为 5 的概率是 9已知 a、b 可以取2、1、1、2 中任意一个值（ab） ，则直线 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是 三、解答题三、解答题 10在一只不透明的袋中，装着标有数字 3，4，5，7 的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出 1 个球，并计算
5、这两个球上的数字之和，当和小于 9 时小明获胜，反之小东获胜 （1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由 11甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜 （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由 12现有一个六面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 且质地均匀的正方形骰子
6、，另有三张正面分别标有数字 1，2，3 的卡片（卡片除数字外，其他都相同） ，先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张， 记下卡片上的数字 （1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为 6 的概率； （2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于 7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于 7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由 13在一个不透明的袋子中，装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同。
7、（1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率； 学科网（北京）股份有限公司 （2）如果第一次随机摸出一个球（不放回） ，充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率 （用树状图或列表法求解） 14 一只不透明的袋子， 装有分别标有数字 1、 2、 3 的三个球， 这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出 1 个球， 记录下数字后放回袋中并搅匀， 再从中任意摸出 1 个球， 记录下数字，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率。 15如图，有 A、B 两个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2
8、，3 和4，6，8 这 6 个数字同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转） ，转盘自由停止后，A 转盘中指针指向的数字记为 x，B 转盘中指针指向的数字记为y，点 Q 的坐标记为 Q（x，y） （1）用列表法或树状图表示（x，y）所有可能出现的结果； （2）求出点 Q（x，y）落在第四象限的概率。 16“中秋节”是我国的传统佳节，历来都有赏月，吃月饼的习俗小明家吃过晚饭后，小明的母亲在桌子上放了四个包装纸盒完全一样的月饼， 它们分别是 2 个豆沙， 1 个莲蓉和 1 个叉烧 （1）小明随机拿一个月饼，是莲蓉的概率是多少？ （2）小明随机拿 2 个月饼，请用树形图或列表的方法表示所有可能
9、的结果，并计算出没有拿到豆沙月饼的概率是多少？ 17三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张 （1）求甲先抽一张卡片，抽到的卡片上数字为偶数的概率； （2）用树形（状）图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率 学科网（北京）股份有限公司 18袋子中装有 3 个带号码的球，球号分别是 2，3，5，这些球除号码不同外其他均相同 （1）从袋中随机摸出一个球，求恰好是 3 号球的概率； （2）从袋中随机摸出一个球，再从剩下的球中随机摸出一个球，用树形图列出所有可能出现的结果，并求两次
10、摸出球的号码之和为 5 的概率 19有三张正面分别标有数字：1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字 （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种） ，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果； （2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标 x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标 y，求点（x，y）落在双曲线上 y=上的概率 20 为响应我市“中国梦”“宜宾梦”主题教育活动， 某中学在全校学生中开展了以“中国梦我的梦”为主题的征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖小明同学根据获奖结果，绘制成如图所示的统计表和数学统计图
11、 等级 频数 频率 一等奖 a 0.1 二等奖 10 0.2 三等奖 b 0.4 优秀奖 15 0.3 请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）a= ，b= ，n= （2） 学校决定在获得一等奖的作者中， 随机推荐两名作者代表学校参加市级比赛， 其中王梦、李刚都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中这二人的概率 学科网（北京）股份有限公司 21小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下： （1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况； （2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？ （3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多
12、大？ 22 某中学要在全校学生中举办“中国梦我的梦”主题演讲比赛， 要求每班选一名代表参赛 九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜者参赛） 规则如下： 两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次， 向上一面的点数都是奇数，则小亮胜； 向上一面的点数都是偶数， 则小丽胜； 否则， 视为平局， 若为平局， 继续上述游戏，直至分出胜负为止 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题： （1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？ （2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方
13、法说明理由 （骰子：六个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 个小圆点的小正方体） 23长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有 A、B、C 三种型号，乙品牌有 D、E 两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠 （1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图） ； （2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么 A 型器材被选中的概率是多少？ 24 在一个不透明的盒子中放有三张卡片， 每张卡片上写有一个实数， 分别为 3，（卡片除了实数不同外，其余均相同） （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是 3 的概率； （2）先从盒子中随机
14、抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽 学科网（北京）股份有限公司 取的卡片上的实数之差为有理数的概率 25甲、乙、丙 3 人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同） ，将 3 件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件 （1）下列事件是必然事件的是（ ） A、乙抽到一件礼物 B、乙恰好抽到自己带来的礼物 C、乙没有抽到自己带来的礼物 D、只有乙抽到自己带来的礼物 （2）甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件 A） ，请列出事件 A 的所有可能的结
15、果，并求事件 A 的概率 26在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有 3 个球，其中 2 个红球，1 个白球，它们除颜色外均相同 （1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？ （2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解） 27把分别标有数字 2、3、4、5 的四个小球放入 A 袋内，把分别标有数字、的五个小球放入 B 袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B 两个袋子不透明、 （1）小明分别从 A、B 两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率； （2）当 B
16、袋中标有的小球上的数字变为 时（填写所有结果） ， （1）中的概率为 28不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同） ，其中黄球 2 个，篮球 1 个若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率是 （1）求口袋里红球的个数； （2）第一次随机摸出一个球（不放回） ，第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率 29一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出
17、的球都是白球的概率，并画出树状图 学科网（北京）股份有限公司 30“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图， 根据统计图回答下列问题： （1）若去丁地的车票占全部车票的 10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示） （2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀） ，那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？ （3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸
18、出分别标有 1、2、3、4 的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同） ，并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？ 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1D 2D 3A 二、填空题二、填空题 414 54 610 70.9 8 9 三、解答题三、解答题 10解： （1）根据题意画图如下： 学科网（北京）股份有限公司 从表中可以看出所有可能结果共有 12 种，其中数字之和小于 9 的有 4 种， P（小明获胜）=； （2）P（小明获胜）=， P（小东获胜）=1=， 这个游戏不公平 11解： （1）列表如下：
19、 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有 9 种，分别为（1，1） ； （1，2） ； （1，3） ； （2，1） ； （2，2） ； （2，3） ； （3，1） ； （3，2） ； （3，3） ， 则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有 1，2，3，2，4，6，3，6，9，共 9 种； （2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 其中积为奇数的情况有 4 种，偶数有 5 种， P（甲）P（乙） ， 则该游戏对甲乙双方不公平 12解： （1）如图所示： 共 18 种情况，数字之积为
20、 6 的情况数有 3 种，P（数字之积为6）= （2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共 18 种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的 学科网（北京）股份有限公司 数字之积大于 7 的有 7 种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于 7 的有 11 种，所以小明赢的概率=，小王赢的概率=，故小王赢的可能性更大 13 解： （1）在一个不透明的袋子中，装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同， 摸出红球的概率为：=； （2）画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两次都摸到红球的有 2 种情况， 两次都摸到红球的概率为：= 14解：画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，
21、两次摸出的球上的数字之和为偶数的有 5 种情况， 两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率为： 15解： （1）画树状图得： 则（x，y）所有可能出现的结果有 9 种情况； （2）由（1）中的表格或树状图可知：点 Q 出现的所有可能结果有 9 种，位于第四象限的结果有 4 种， 点 Q （x，y）落在第四象限的概率为 16解： （1）共有 4 个月饼，莲蓉月饼有 1 个， 学科网（北京）股份有限公司 小明随机拿一个月饼，是莲蓉的概率是 （2）画树形图如下： 共有 12 种等可能结果，没有拿到豆沙月饼的情况有 2 种， 没有拿到豆沙月饼的概率是：= 17解： （1）甲先抽一张卡片，可能出现的点数有
22、3 种，而且点数出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有 1 种； 抽到的卡片上数字为偶数的概率为：； （2）画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，他们抽到相同数字卡片的有 3 种情况， 他们抽到相同数字卡片的概率为：= 18解： （1）袋子中装有 3 个带号码的球，球号分别是 2，3，5，这些球除号码不同外其他均相同， 从袋中随机摸出一个球，求恰好是 3 号球的概率为：； （2）画树形图得： 共有 6 种等可能的结果，两次摸出球的号码之和为 5 的有 2 种情况， 学科网（北京）股份有限公司 两次摸出球的号码之和为 5 的概率为：= 19解： （1）根据题意画出树状图如下： ； （2
23、）当 x=1 时，y=2， 当 x=1 时，y=2， 当 x=2 时，y=1， 一共有 9 种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上 y=上的有 2 种情况， 所以，P= 20解： （1）观察统计表知，二等奖的有 10 人，频率为 0.2， 故参赛的总人数为 100.2=50 人， a=500.1=5 人，b=500.4=20 n=0.4360=144， 故答案为：5，20，144； （2）列表得： A B C 王 李 A AB AC A 王 A 李 B BA BC B 王 B 李 C CA CB C 王 C 李 王 王 A 王 B 王 C 王李 李 李 A 李 B 李 C 李王 共有 20
24、种等可能的情况，恰好是王梦、李刚的有 2 种情况， 恰好选中王梦和李刚两位同学的概率 P= 21解： （1）根据题意画出树状图如下： 学科网（北京）股份有限公司 一共有 8 种情况； （2）两次绿色信号的情况数是 3 种， 所以，P（两次绿色信号）=； （3）红绿色两种信号的情况有 6 种， 所以，P（红绿色两种信号）= 22解： （1）向上一面的点数为奇数有 3 种情况， 小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是： （2）填表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5）
25、（2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由上表可知，一共有 36 种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有 9 种结果 P（小亮胜）=，P（小丽胜）=， 游戏是公平的 23 解： （1）如图所示： （2）所有的情况有 6 种， A 型器材被选中情况有 2 中，概率是= 学科网（北京）股份有限公司 24 解：（1） 在一个不透
26、明的盒子中放有三张卡片， 每张卡片上写有一个实数， 分别为 3， 从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是 3 的概率是：； （2）画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有 2 种情况， 两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：= 25解： （1）A、乙抽到一件礼物是必然事件； B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件； C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件； D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件； 故选 A； （2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为 a、b、c， 根据题意画出树状图如下： 一共有 6 种等可能的情况， 三人抽到的礼物分别为 （ab
27、c） 、（acb） 、（bac） 、（bca） 、（cab） 、（cba） ， 3 人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca） 、 （cab）有 2 种， 学科网（北京）股份有限公司 所以，P（A）= 26 解： （1）2 个红球，1 个白球，中奖的概率为； （2）根据题意画出树状图如下： 一共有 6 种情况，都是红球的有 2 种情况， 所以，P（都是红球）=， 即中特别奖的概率是 27解： （1）画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有 4 种情况， 这两个小球上的数字互为倒数的概率为：=； （2）当 B 袋中标有的小球上的数字变为或或或时， 这两个小球上
28、的数字互为倒数的有 5 种情况， 这两个小球上的数字互为倒数的概率为：= 故答案为：或或或 28解： （1）设红球有 x 个， 根据题意得：=，解得：x=1， 经检验 x=1 是原方程的根 学科网（北京）股份有限公司 则口袋中红球有 1 个； （2）列表如下： 红 黄 黄 蓝 红 （黄，红） （黄，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） 黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （黄，蓝） 所有等可能的情况有 12 种，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有 4 种， 则 P= 29解： （1）共有 3 个球，2 个白球， 随机摸出一个球是白球的概率为
29、； （2）根据题意画出树状图如下： 一共有 6 种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有 2 种， 所以，P（两次摸出的球都是白球）= 30解： （1）根据题意得： （20+40+30）（110%）=100（张） ， 则 D 地车票数为 100（20+40+30）=10（张） ，补全图形，如图所示： （2）总票数为 100 张，甲地票数为 20 张， 则员工小胡抽到去甲地的车票的概率为=； 学科网（北京）股份有限公司 （3）列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 所有等可能的情况数有 16 种， 其中小王掷得数字比小李掷得的数字小的有 6 种： （1， 2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4） ， P小王掷得的数字比小李小=，则 P小王掷得的数字不小于小李=1=，则这个规则不公平