1、第二节 一、两向量的数量积一、两向量的数量积 二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八八章 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W1. 定义定义 设向量 的夹角为 , 称 记作 数量积 (点积) . 引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 cossFsFW2Mba的与为baba,s上的投影为在ab记作 故 ,0,时当同理b2. 性质性质 为两个非零向量, 则有 baj rPbbabaaj rPaa) 1 (ba,)2(0ba 0ba则0,0ba3. 运算律运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
2、)( ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律 事实上, 当 0c时, 显然成立 ; 时当0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPccbaccj rPj rPacj rPcbcj rPccacb)(j rPbac例例1. 证明三角形余弦定理 cos2222abbac4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示 设 则 0zzyyxxbababa当 为非零向量时, cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 cosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(kajaiazyx)(kbjbibzyxjikjikbaba两向量的夹角公式 ,
3、 得 BM例例2. 已知三点 , )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A求 为 ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量 A解解: 单位时间内流过的体积 PA的夹角为 且 vvnv为单位向量 二、两向量的向量积二、两向量的向量积 引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQOLPQ符合右手规则 OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
4、 FoPFMFM 1. 定义定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ，的夹角为设ba,c,ac bc csinabbac称 c的与为向量babacba引例中的力矩 思考思考: 右图三角形面积 abS 2. 性质性质 为非零向量, 则 aa) 1 (0ba,)2(0baba 3. 运算律运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 ()(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 设 则 ,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(iibaxx
5、ibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法 kjixayazaxbybzb,zxzxbbaaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx例例4. 已知三点 , )7,4,2(),5,4, 3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 ABC求三 一点 M 的线速度 例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . Ml解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使 a其 在 l 上任取一点 O, O作 它与
6、则 点 M离开转轴的距离 a且 符合右手法则 的夹角为 , sinr,rv方向与旋转方向符合右手法则 , 向径 内容小结内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: ),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积: kjixayazaxbybzbba2. 向量关系: xxabyyabzzab0zzyyxxbababa0ba思考与练习思考与练习 1. 设 计算 并求 夹角 的正弦与余弦 . ) 3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案: ba,1baba,2jibkjia,baba及22343cos322)2(172. 已知向量 的夹角 且 解：解： ,43ba , 2|a, 3|b)()(babaaabb22cos2bbaa17ba22200)2(211ABCD在顶点为 三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1, 3, 1(C求 AC 边上的高 BD . 解：解： )3,4,0(AC, 5) 3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD3. 而 故有